2022-2023学年内蒙古自治区呼和浩特市单台子中学高三数学理模拟试卷含解析

2022-2023学年内蒙古自治区呼和浩特市单台子中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线C：的离心率是，F是双曲线C的左焦点，A（，1），P是双曲线右支上的动点，则｜PF｜＋｜PA｜的最小值为A．

B．

C．＋4

D．＋8参考答案：C2.已知向量=（2，3），=（﹣1，2），若﹣2与非零向量m+n共线，则等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣ D．参考答案：C【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用．【分析】先求出﹣2和m+n，再由向量共线的性质求解．【解答】解：∵向量=（2，3），=（﹣1，2），∴﹣2=（2，3）﹣（﹣2，4）=（4，﹣1），m+n=（2m﹣n，3m+2n），∵﹣2与非零向量m+n共线，∴，解得14m=﹣7n，=﹣．故选：C．【点评】本题考查两实数比值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量共线的性质的合理运用．3.若数列的前n项和为，则下列命题：

（1）若数列是递增数列，则数列也是递增数列；

（2）数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数；

（3）若是等差数列（公差），则的充要条件是

（4）若是等比数列，则的充要条件是

其中，正确命题的个数是（

）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个参考答案：B4.直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（）A．[﹣，0] B．[﹣∞，﹣]∪[0，+∞] C．[﹣，] D．[﹣，0]参考答案：A【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】由弦长公式得，当圆心到直线的距离等于1时，弦长等于2，故当弦长大于或等于2时，圆心到直线的距离小于或等于1，解此不等式求出k的取值范围．【解答】解：设圆心（3，2）到直线y=kx+3的距离为d，由弦长公式得，MN=2≥2，故d≤1，即≤1，化简得8k（k+）≤0，∴﹣≤k≤0，故k的取值范围是[﹣，0]．故选：A【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，以及弦长公式的应用，属于中档题．5.已知定义在R上的奇函数f(x)满足（），则（

）A． B．C． D．参考答案：B设g（x）=，定义在R上的奇函数f（x），所以g（x）是奇函数，x＞0时，g′（x）=，因为函数f（x）满足2f（x）﹣xf'（x）＞0（x＞0），所以g′（x）＞0，所以g（x）是增函数，g（﹣）=＜，可得：．故选：B．

6.某几何体的三视图如图1所示,它的体积为（

）A． B． C． D．

参考答案：略7.已知α为第二象限角，sin（α+）=，则tanα的值为（）A． B． C． D．﹣3参考答案：C【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GI：三角函数的化简求值．【分析】由已知利用两角和的正弦函数公式可得sinα+cosα=，两边平方，利用同角三角函数基本关系式可得12tan2α+25tanα+12=0，进而解得tanα的值．【解答】解：∵α为第二象限角，sin（α+）=，可得：（sinα+cosα）=，可得：sinα+cosα=，∴两边平方，可得：1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα===﹣，整理可得：12tan2α+25tanα+12=0，∴解得：tanα=﹣，或﹣．∵tanα=﹣=．可得：sinα=﹣cosα，解得cosα=＞0，由于α为第二象限角，矛盾．故舍去．∴tanα=﹣．故选：C．8.已知向量a，b满足，则向量b在向量a方向上的投影是

A．

B．-1

C．

D．1参考答案：B9.若复数z满足i（z﹣1）=1+i（i虚数单位），则z=（）A．2﹣i B．2+i C．1﹣2i D．1+2i参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由i（z﹣1）=1+i，得z﹣1=，∴z=2﹣i．故选：A．10.设向量，，定义一种向量积：==．已知=，=，点在的图象上运动，点在的图象上运动，且满足=+（其中为坐标原点），则的最大值是

．参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.球O被平面α所截得的截面圆的面积为π，且球心到α的距离为，则球O的表面积为．参考答案：64π【考点】球的体积和表面积．【分析】先确定截面圆的半径，再求球的半径，从而可得球的表面积【解答】解：∵截面的面积为π，∴截面圆的半径为1，∵球心O到平面α的距离为，∴球的半径为=4∴球的表面积为4π×42=64π．故答案为64π．12.已知，则_____________．参考答案：略13.程序：M=1

M=M+1

M=M+2

PRINTM

END

M的最后输出值为（

）A．1

B．2

C．

3

D．4参考答案：D14.已知函数，则

．参考答案：16，因此，即，所以即15.已知数列{an}的前n项和为Sn，满足，则an=_____．参考答案：【分析】由数列满足，则，两式相减可得，化简得，得到数列表示首项为，公比为的等比数列，即可求解.【详解】由题意，数列满足，则，两式相减可得，即整理得，即，即，当时，，即，解得，所以数列表示首项为，公比为的等比数列，所以，所以.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式，以及等比数列的通项公式的应用，其中解答根据数列的递推公式和等比数列的定义，得到数列表示首项为，公比为2的等比数列是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.16.己知抛物线y2=4x的焦点为F，若点A，B是该抛物线上的点，，线段AB的中点M在抛物线的准线上的射影为N，则的最大值为_________．参考答案：略17.已知，函数若，则实数t的取值范围为

．参考答案：（0，+∞）试题分析：当时，函数单调递增，且，当时，函数单调递增，且，即函数在上单调递增，由，得，解得，则由，得，即；故填（0，+∞）．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，∠BCC1=，AB=BB1=2，BC=1，D为CC1中点．（1）求证：DB1⊥平面ABD；（2）求二面角A﹣B1D﹣A1的平面角的余弦值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）利用余弦定理计算BD，B1D，再由勾股定理的逆定理得出BD⊥B1D，由AB⊥平面BB1C1C得出AB⊥B1D，于是得出B1D⊥平面ABD；（2）以B为原点建立坐标系，求出平面AB1D的法向量，平面A1B1D的法向量，计算cos＜，＞即可得出二面角的余弦值．【解答】证明：（1）∵BC=B1C1=1，CD=C1D=BB1=1，∠BCC1=，∠B1C1D=π﹣∠BCC1=，∴BD=1，B1D=，∴BB12=BD2+B1D2，∴BD⊥B1D．∵AB⊥平面BB1C1C，BD?平面BB1C1C，∴AB⊥B1D，又AB?平面ABD，BD?平面ABD，AB∩BD=B，∴DB1⊥平面ABD．（2）以B为原点，以BB1，BA所在直线为x轴，z轴建立空间直角坐标系B﹣xyz，如图所示：则A（0，0，2），D（，，0），B1（2，0，0），A1（2，0，2），∴=（，﹣，0），=（﹣2，0，2），=（0，0，2）．设平面AB1D的法向量为=（x1，y1，z1），平面A1B1D的法向量为=（x2，y2，z2），则，，即，，令x1=1得=（1，，1），令x2=1得=（1，，0）．∴cos＜，＞===．∵二面角A﹣B1D﹣A1是锐角，∴二面角A﹣B1D﹣A1的平面角的余弦值为．19.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数，）.以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系.设曲线C的极坐标方程为.（1）设为曲线C上任意一点，求的取值范围；（2）若直线l与曲线C交于两点A，B，求的最小值.参考答案：（1）（2）4.试题分析:(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,将化为关于的二次函数,求出范围;(2)将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中,由直线参数方程的几何意义求出表达式,求出最小值.试题解析:（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，∵为曲线上任意一点，∴，∴的取值范围是；（2）将代入，整理，得，∴，设方程的两根分别为，所以，当时，取得最小值4.20.在标有“甲”的袋中有4个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．（Ⅰ）若从袋中依次取出3个球，求在第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率；（Ⅱ）现从甲袋中取出个2红球，1个白球，装入标有“乙”的空袋．若从甲袋中任取2球，乙袋中任取1球，记取出的红球的个数为X，求X的分布列和数学期望EX．参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用条件概率公式计算所求的概率值；（Ⅱ）由题意知X的所有可能取值，计算对应的概率值，写出随机变量X的分布列，计算数学期望值．【解答】解：（Ⅰ）记“第一次取到红球”为事件A，“后两次均取到白球”为事件B，则，；所以，“第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率”为；…（或）

…（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，3；

…则，，，；

…所以随机变量X的分布列为：X0123P…数学期望为．…21.已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若不过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，与直线OM交于点N，并且点N是线段AB的中点，求△OAB面积的最大值.参考答案：（1）因为，所以，……①

…1分将点坐标代入椭圆标准方程，得到……②

………………2分联立①②，解得……………………3分所以椭圆的标准方程为.………………4分（2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，并设，，线段中点在直线上，所以……………5分因为，两式相减得到因为所以………………6分由，消去得到关于的一元二次方程并化简得，解得………………7分……………8分原点到直线的距离…………………9分…………10分……………………11分当且仅当时取等号…………12分综上，当时，面积最大值为，此时直线方程为.（没有总结语，扣1分）22.（12分）某学校为了了解学生使用手机的情况，分别在高一和高二两个年级各随机抽取了100名学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生日均使用手机时间的频数分布表和频率分布直方图，将使用手机时间不低于80分钟的学生称为“手机迷”．

高一学生日均使用手机时间的频数分布表时间分组频数[0，20）12[20，40）20[40，60）24[60，80）18[80，100）22[100，120]4

高二学生日均使用手机时间的频率分布直方图（1）将频率视为概率，估计哪个年级的学生是“手机迷”的概率大？请说明理由．（2）在高二的抽查中，已知随机抽到的女生共有55名，其中10名为“手机迷”．根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你有多大的把握认为“手机迷”与性别有关？

非手机迷手机迷合计男

女

合计

附：随机变量（其中为样本总量）．参考数据0.1500.1000.0500.0252.0722.7063.8415.024

参考答案：（1）由频数分布表可知，高一学生是“手机迷”的概率为..（2分）由频率分布直方图可知，高二学生是“手机迷”的概率为......（4分）因为P1＞P2，所以高一年级的学生是“手机迷”的概率大．...........................（5分）（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“手机迷”有（0.010+0.0025）×20×100=25（人），非手机迷有100﹣25