2022年河北省沧州市大褚村中学高一数学文上学期期末试题含解析

2022年河北省沧州市大褚村中学高一数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若直线被圆截得弦长为4，则的最小值是（）A.9 B.4 C. D.参考答案：A圆的标准方程为：（x+1）2+（y﹣2）2=4，它表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于2的圆；设弦心距为d，由题意可得22+d2=4，求得d=0，可得直线经过圆心，故有﹣2a﹣2b+2=0，即a+b=1，再由a＞0，b＞0，可得=（）（a+b）=5+≥5+2当且仅当=时取等号，∴的最小值是9．故选：A．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.2.与为同一函数的是（

）.

A．

B.

C.

D.参考答案：B3.若cos（-α）=，则cos（+2α）的值为（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】利用二倍角公式求出的值，再利用诱导公式求出的值．【详解】∵cos＝，∴cos＝2－1＝2×－1＝－，∴cos＝cos＝－cos＝.故选：A.【点睛】本题考查了余弦二倍角公式与诱导公式的应用问题，是基础题．4.已知为偶函数，当时，，则满足的实数的个数为A．2

B．4

C．6

D．8参考答案：D5.已知，则f（3）为（

） A．2

B．3

C．4

D．5参考答案：A6.已知，则点P(sinα，tanα)所在的象限是()

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：D7.三个数从大到小的顺序是（A） （B）（C）

（D）参考答案：A8.的值是(

)A.

B.

C.

D.

参考答案：C由题得原式==

9.已知，，，则m、n、p的大小关系（

）A．.

B．

C．

D．参考答案：略10.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则（?UP）∩Q=（）A．{3，5} B．{2，4} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，5}参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由已知，先求出C∪P，再求（CUP）∩Q．【解答】解：∵U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，∴C∪P={2，4，6}，（CUP）∩Q={2，4}故选B．【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在明朝程大位《算术统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”.这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说“宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？”根据上述条件，从上往下数第二层有___________盏灯．参考答案：6.【分析】根据题意可将问题转化为等比数列中，已知和，求解的问题；利用等比数列前项和公式可求得，利用求得结果.【详解】由题意可知，每层悬挂的红灯数成等比数列，设为设第7层悬挂红灯数为，向下依次为

且

即从上往下数第二层有6盏灯本题正确结果：6【点睛】本题考查利用等比数列前项和求解基本量的问题，属于基础题.12.在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用系统抽样方法从中抽取容量为20的样本，则三级品a被抽到的可能性为________．参考答案：略13.已知函数(其中)的图象为，则函数的图象一定不过第

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象限.参考答案：四14.已知sinx+siny=，cosx+cosy=，则cos（x﹣y）=

．参考答案：﹣

【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】对已知两式分别平方相加，逆用两角和与差的余弦函数公式即可求得答案．【解答】解：∵sinx+siny=，①cosx+cosy=，②①2+②2得：2+2sinxsiny+2cosxcosy=，∴cos（x﹣y）=sinxsiny+cosxcosy=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查两角和与差的余弦函数，考查三角函数的平方关系的应用，属于基础题．15.已知为第二象限角，，则

参考答案：略16.（5分）已知定义在R上偶函数f（x）满足f（x+6）=f（x），若f（1）=﹣2，则f（﹣13）的值为

．参考答案：﹣2考点： 函数的值．专题： 函数的性质及应用．分析： 由f（x）是偶函数，得f（﹣13）=f（13），由f（x+6）=f（x），得f（13）=f（1），由此能求出结果．解答： ∵定义在R上偶函数f（x）满足f（x+6）=f（x），f（1）=﹣2，∴f（﹣13）=f（13）=f（1）=﹣2．故答案为：﹣2．点评： 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．17.经过点A（3，0），且与直线2x+y﹣5=0垂直的直线是．参考答案：x﹣2y﹣3=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】根据垂直关系设所求直线的方程为x﹣2y+c=0，把点（3，0）代入直线方程求出c的值，即可得到所求直线的方程．【解答】解：设所求直线的方程为x﹣2y+c=0，把点（3，0）代入直线方程可得3+c=0，∴c=﹣3，故所求直线的方程为：x﹣2y﹣3=0，故答案为：x﹣2y﹣3=0．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知是定义在上的奇函数，且。若对任意都有。

（1）判断函数的单调性，并简要说明理由；（2）若，求实数的取值范围；

（3）若不等式≤对所有和都恒成立，求实数的取值范围。参考答案：解：（1）设任意满足，由题意可得

，

∴在定义域上位增函数。………………4分

（2）由（1）知。

∴即的取值范围为。……………………8分19.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．（1）现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数f（x）的图象，并根据图象写出函数f（x）的增区间；（2）写出函数f（x）的解析式和值域．参考答案：【考点】二次函数的图象；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数的单调性及单调区间．【专题】计算题；作图题．【分析】（1）因为函数为偶函数，故图象关于y轴对称，由此补出完整函数f（x）的图象即可，再由图象直接可写出f（x）的增区间．（2）可由图象利用待定系数法求出x＞0时的解析式，也可利用偶函数求解析式，值域可从图形直接观察得到．【解答】解：（1）因为函数为偶函数，故图象关于y轴对称，补出完整函数图象如有图：所以f（x）的递增区间是（﹣1，0），（1，+∞）．（2）设x＞0，则﹣x＜0，所以f（﹣x）=x2﹣2x，因为f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（﹣x）=f（x），所以x＞0时，f（x）=x2﹣2x，故f（x）的解析式为值域为{y|y≥﹣1}【点评】本题考查分段函数求解析式、作图，同时考查函数的函数的奇偶性和值域等性质．20.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x?v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．参考答案：【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在20≤x≤200时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；（Ⅱ）先在区间（0，20]上，函数f（x）为增函数，得最大值为f（20）=1200，然后在区间[20，200]上用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．

（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．21.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，点D是AB的中点．（1）求证：；

（2）求证：平面；（3）求异面直线与所成角的余弦值．参考答案：试题分析：（1）由勾股定理计算得AC⊥BC，再由直棱柱性质得C1C⊥AC，最后根据线面垂直判定定理得AC⊥平面BCC1B1，即得AC⊥BC1.（2）设CB1与C1B的交点为E，由三角形中位线性质得DE∥AC1，再根据线面平行判定定理得结论（3）因为DE∥AC1，所以∠CED为AC1与B1C所成的角．再根据解三角形得所成角的余弦值．试题解析：(1)证明：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC.又∵C1C⊥AC.∴AC⊥平面BCC1B1.∵BC1?平面BCC1B，∴AC⊥BC1.(2)证明：设CB1与C1B的交点为E，连接DE，又四边形BCC1B1为正方形．∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1.∵DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1.(3)∵DE∥AC1，∴∠CED为AC1与B1C所成的角．在△CED中，ED＝AC1＝，CD＝AB＝，CE＝CB1＝2，∴cos∠CED＝＝.∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为.点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明