2022-2023学年上海市莘格高级中学高二数学文测试题含解析

2022-2023学年上海市莘格高级中学高二数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（） A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，53参考答案：A【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差． 【专题】计算题． 【分析】直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差，即可． 【解答】解：由题意可知茎叶图共有30个数值，所以中位数为第15和16个数的平均值：=46． 众数是45，极差为：68﹣12=56． 故选：A． 【点评】本题考查该样本的中位数、众数、极差，茎叶图的应用，考查计算能力． 2.不等式的解集为

()

A.

B.

C.

D.参考答案：D3.若p是假命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题 C．￢p是假命题 D．￢q是假命题参考答案：B【考点】复合命题的真假．【分析】利用复合命题的真假写出结果即可．【解答】解：p是假命题，q是假命题，￢p是真命题，￢q是真命题，可得p∨q是假命题．故选：B．4.已知变量x与y之间的一组数据：x23456y3461012根据数据表可得回归直线方程，其中，，据此模型预测当时，y的估计值是（

）A．19

B．20

C．21

D．22参考答案：A5.a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0必过定点(

)．A． B．

C．

D．参考答案：B6.设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(

)A． B． C． D．参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选C．【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．7.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，所有直角三角形的面积和为（）A. B. C.3 D.4参考答案：B【分析】首先将三视图还原几何体，然后利用几何体的表面积公式可得到结果．【详解】由几何体的三视图可知该几何体为：此四棱锥的三个侧面都为直角三角形．故．故选：B．【点睛】解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图,考查空间想象能力，属于中档题.8.等比数列中，S2=7，S6=91，则S4=（）

A．28

B．32 C．35

D．49参考答案：A9.若，且函数在处有极值，则的最大值等于(

)

A.2

B.3

C.6 D.9参考答案：D10.已知，且满足，那么的最小值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B

考点：基本不等式的应用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知命题p：?x∈R，x2+2x+a≤0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是．（用区间表示）参考答案：（1，+∞）【考点】特称命题．【专题】不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】根据题意，写出命题p的否定命题，利用p与￢p真假相反得到￢p为真命题，再应用判别式求出a的取值范围．【解答】解：∵命题p：?x∈R，x2+2x+a≤0，当命题p是假命题时，命题￢p：?x∈R，x2+2x+a＞0是真命题；即△=4﹣4a＜0，∴a＞1；∴实数a的取值范围是（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．【点评】本题考查了命题与命题的否定的真假性相反问题，也考查了二次不等式恒成立的问题，是基础题目．12.抛物线的焦点坐标是__________.参考答案：13.已知函数，若，且，都有不等式成立，则实数的取值范围是_____________

参考答案：14.若三点A（3，3），B（a，0），C（0，b）（其中a?b≠0）共线，则+=

．参考答案：【考点】三点共线．【分析】利用向量的坐标公式：终点坐标减去始点坐标，求出向量的坐标；据三点共线则它们确定的向量共线，利用向量共线的充要条件列出方程得到a，b的关系．【解答】解：∵点A（3，3）、B（a，0）、C（0，b）（ab≠0）∴=（a﹣3，﹣3），=（﹣3，b﹣3），∵点A（3，3）、B（a，0）、C（0，b）（ab≠0）共线∴∴（a﹣3）×（b﹣3）=﹣3×（﹣3）所以ab﹣3a﹣3b=0，∴+=，故答案为：．【点评】本题考查利用点的坐标求向量的坐标、向量共线的充要条件、向量共线与三点共线的关系．15.若圆锥的全面积是底面积的倍，则它的侧面展开图的圆心角是

．参考答案：16.已知双曲线左、右焦点分别为，过点作与轴垂直的直线与双曲线一个交点为，且，则双曲线的渐近线方程为_______.参考答案：17.已知函数，若存在常数，对任意存在唯一的，使得，则称常数是函数在上的“湖中平均数”．若已知函数，则在上的“湖中平均数”是

▲

．参考答案：试题分析：函数在定义域内是单调递减函数，若函数在区间存在“湖中平均数”，那么一定是最大值和最小值的几何平均数，即,并且满足在定义域内的任意一个，总存在定义域内的，满足，所以在上的“湖中平均数”是.考点：新定义三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）若{an}是各项均不为零的等差数列,公差为d,Sn为其前n项和,且满足。数列{bn}满足为数列{bn}的前n项和。（Ⅰ）求an和Tn;（Ⅱ）是否存在正整数m、n（1<m<n）,使得T1、Tm、Tn成等比数列?若存在,求出所有m、n的值;若不存在,请说明理由。参考答案：19.某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，按其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图中的信息，回答下列问题：（Ⅰ）补全频率分布直方图；（Ⅱ）估计本次考试的数学平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生成绩中抽取一个容量为6的样本，再从这6个样本中任取2人成绩，求至多有1人成绩在分数段[120，130）内的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）求出分数在[120，130）内的频率，补充的长方形的高，由此能补全频率分布直方图．（Ⅱ）利用频率分布直方图能估计平均分．（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生成绩中抽取一个容量为6的样本，需在[110，120）分数段内抽取2人成绩，分别记为m，n，在[120，130）分数段内抽取4人成绩，分别记为a，b，c，d，由此利用列举法能求出至多有1人成绩在分数段[120，130）内的概率．【解答】解：（Ⅰ）分数在[120，130）内的频率1﹣（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=1﹣0.7=0.3，因此补充的长方形的高为0.03，补全频率分布直方图为：…..（Ⅱ）估计平均分为…..（Ⅲ）由题意，[110，120）分数段的人数与[120，130）分数段的人数之比为1：2，用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生成绩中抽取一个容量为6的样本，需在[110，120）分数段内抽取2人成绩，分别记为m，n，在[120，130）分数段内抽取4人成绩，分别记为a，b，c，d，设“从6个样本中任取2人成绩，至多有1人成绩在分数段[120，130）内”为事件A，则基本事件共有{（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）}，共15个．事件A包含的基本事件有{（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d）}共9个．∴P（A）==．…..20.参考答案：（1）PQAB，RSABPQAB四边形PQRS是平行四边形。（3）在AB上取一点M，使得AM=，CMAB，DMAB，CMDM=M，AB平面MCD，从而ABCD又AB//PQ,QR//CD,

ＰＱＣＭ，ＰＱＣＤ，CMCD=C，故ＰＱ平面ＭＣＤ，ＰＱ平面ＰＱＲＳ，平面ＰＱＲＳ平面ＭＣＤ21.一个计算装置有两个数据输入口Ⅰ、Ⅱ与一个运算结果输出口Ⅲ，当Ⅰ、Ⅱ分别输入正整数时，输出结果记为，且计算装置运算原理如下：①若Ⅰ、Ⅱ分别输入1，则；②若Ⅰ输入固定的正整数，Ⅱ输入的正整数增大1，则输出结果比原来增大3；③若Ⅱ输入1，Ⅰ输入正整数增大1，则输出结果为原来3倍。试求：（1）的表达式；（2）的表达式；

（3）若Ⅰ、Ⅱ都输入正整数，则输出结果能否为2013？若能，求出相应的；若不能，则请说明理由。参考答案：解：（1）

(2)

(3)，∵，

∴输出结果不可能为2013。

略22.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=，∠ABC=60°．（1）证明：AB⊥A1C；（2）（理）求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值大小．（文）求此棱柱的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法．【专题】数形结合；数形结合法；空间角．【分析】分析1）欲证AB⊥A1C，而A1C?平面ACC1A1，可先证AB⊥平面ACC1A1，根据三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，可知AB⊥AA1，由正弦定理得AB⊥AC，满足线面垂直的判定定理所需条件；（2）（理）作AD⊥A1C交A1C于D点，连接BD，由三垂线定理知BD⊥A1C，则∠ADB为二面角A﹣A1C﹣B的平面角，在Rt△BAD中，求出二面角A﹣A1C﹣B的余弦值即可．（文）根据柱体的体积公式求解即可．【解答】解：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=，∠ABC=60°∴AA1⊥AB，∵三角形ABC中AB=1，AC=，∠ABC=60°，∴由正弦定理得=，∠ACB=30°∴∠BAC=90°，∴AB