2021年辽宁省铁岭市县第二高级中学高三数学理期末试题含解析

2021年辽宁省铁岭市县第二高级中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.平面向量，共线的充要条件是（

）A.，方向相同

B.，两向量中至少有一个为零向量

C.，

D.存在不全为零的实数，，参考答案：B2.不等式的解集为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A3.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，该三棱锥的体积为，则球的表面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A4.某简单几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A.圆柱 B.圆锥 C.圆台 D.棱锥参考答案：C5.下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递减的是（）A．f（x）= B．f（x）=x2+1 C．f（x）=x3 D．f（x）=2﹣x参考答案：B【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【解答】解：A．f（x）=为偶函数，在区间（﹣∞，0）上单调递增，不满足条件．B．f（x）=x2+1为偶函数，在区间（﹣∞，0）上单调递减，满足条件．C．f（x）=x3为奇函数，在区间（﹣∞，0）上单调递增，不满足条件．D．f（x）=2﹣x为非奇非偶函数，在区间（﹣∞，0）上单调递减，不满足条件．故选：B【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．6.设的值为

A．1

B.－1

C．－

D．参考答案：D7.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且，，则A. B. C. D.参考答案：D试题分析：设等比数列的公比为，则，解得，.故选D．考点：1、等比数列的通项公式；2、等比数列的前项和公式．8.复数的共轭复数为 A． B．

C．

D．参考答案：D略9.设a，b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列命题：

①若

②若

③若

④若

其中正确命题的个数是

（

）

A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：B10.已知斜率为3的直线l与双曲线C：=1（a＞0，b＞0）交于A，B两点，若点P（6，2）是AB的中点，则双曲线C的离心率等于（）A． B． C．2 D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据AB的中点P的坐标，表示出斜率，从而得到关于a、b的关系式，再求离心率．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则代入双曲线方程，相减可得﹣，∵点P（6，2）是AB的中点，∴x1+x2=12，y1+y2=4，∵直线l的斜率为3，∴=3，∴a2=b2，c2=2a2，∴e=．故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数是定义在（0，+）上的增函数，且对一切x>0,y>0满足，则不等式的解集为

参考答案：（0，+）12.两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，图中的实心点的个数1、5、12、22、…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1＝1，第2个五角形数记作a2＝5，第3个五角形数记作a3＝12，第4个五角形数记作a4＝22，……，若按此规律继续下去，则a5＝____，若an＝145，则n＝___.

参考答案：3510略13.已知等比数列{an}中，a1+a6=33，a2a5=32，公比q＞1，则S5=

．参考答案：31【考点】等比数列的前n项和．【专题】方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】a1+a6=33，a2a5=32，公比q＞1，可得，再利用前n项和公式即可得出．【解答】解：∵a1+a6=33，a2a5=32，公比q＞1，∴，解得a1=1，q=2．则S5==31．故答案为：31．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.如图已知线段AB的长度为2，它的两个端点在⊙O的圆周上运动，则=

。参考答案：215.已知公比为整数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且，，若，则数列{bn}的前100项和为______.参考答案：5050【分析】根据等比数列的通项公式，求出首项和公比，即可求出相应的通项公式，又由等差数列求和公式求得结果．【详解】令数列{an}是首项为（≠0），公比为q的等比数列，由，可知，∴，解得q=2或（舍），∴，，∴数列的前100项和T100，故答案为5050.【点睛】本题主要考查等差数列前n项和的计算，考查了等比数列通项公式，考查计算能力，属于基础题．16.在高三某次数学测试中，40名优秀学生的成绩如图所示：若将成绩由低到高编为1～40号，再用系统抽样的方法从中抽取8人，则其中成绩在区间[123，134]上的学生人数为

．参考答案：3【考点】系统抽样方法．【分析】根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征，求出所要抽取的人数．【解答】解：根据茎叶图，成绩在区间[123，134]上的数据有15个，所以，用系统抽样的方法从所有的40人中抽取8人，成绩在区间[123，134]上的学生人数为8×=3．故答案为：3．【点评】本题考查了系统抽样方法的应用问题，也考查了茎叶图的应用问题，是基础题．17.曲线在点处的切线方程为_____________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列的前n项和为Tn，求证：．参考答案：19.(12分)已知在锐角中,角、、的对边分别为、、,且,(I)求；

(II)求函数的最小值及单调递减区间.参考答案：解析：(1)由题意得,………2分；从而,………4分又,所以

………6分(2)由(1)得………8分因为,所以,所以当时,取得最小值为1…10分且的单调递减区间为

………………12分20.（14分）

如图，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱.（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACC1A1;（Ⅱ）]若二面角C1—BD—C的大小为60o,求异面直线BC1与AC所成角的大小.参考答案：

解析：解法一：（Ⅰ）∵ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，∴CC1⊥平面ADCD,∴BD⊥CC1∵ABCD是正方形

∴BD⊥AC

又∵AC，CC1平面ACC1A1,且AC∩CC1=C,

∴BD⊥平面ACC1A1.

(Ⅱ)设BD与AC相交于O,连接C1O.

∵CC1⊥平面ADCD,∴BD⊥AC,

∴BD⊥C1O,

∴∠C1OC∠是二面角C1—BD—C的平面角，∴∠C1OC=60o.

连接A1B.

∵A1C1//AC,

∴∠A1C1B是BC1与AC所成的角.设BC=a,则∴异面直线BC1与AC所成角的大小为解法二：

（Ⅰ）建立空间直角坐标系D—xyz，如图.

设AD=a,DD1=b,则有D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),C1(0,a,b),(Ⅱ)设BD与AC相交于O,连接C1O,则点O坐标为∴异面直线BC1与AC所成角的大小为21.已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|，x∈R．（1）解不等式f（x）≤5；（2）若不等式m2﹣m＜f（x），?x∈R都成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）原不等式等价于①，或②，或③．分别求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．（2）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为2，可得m2﹣m＜2，由此解得实数m的取值范围．【解答】解：（1）原不等式等价于①，或②，或③．解①求得，解②求得，解③求得，因此不等式的解集为．（2）∵f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|≥|2x﹣1﹣（2x﹣3）|=2，∴m2﹣m＜2，解得﹣1＜m＜2，即实数m的取值范围为（﹣1，2）．22.坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，是过定点P（4,2）且倾斜角为的直线；在极坐标系（以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同长度单位）中，曲线C的极坐标方程为.（Ⅰ）写出直线的参数方程，并将曲线C的