2022年上海市民星高级中学高三数学理期末试题含解析

2022年上海市民星高级中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知命题，命题，则()A.命题是假命题

B.命题是真命题C.命题是真命题

D.命题是假命题参考答案：C2.已知函数的图像关于点对称，则=（

）A，1

B，-1

C，2

D，-2参考答案：C3.双曲线的左右焦点分别为、，点P是双曲线右支上一点，若双曲线的一条渐近线垂直平分，则该双曲线的离心率是A．

B．2

C．

D．5参考答案：C4.双曲线与椭圆有相同的焦点，该双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．参考答案：A5.已知函数图象如图所示，则下列关于函数的说法中正确的是（

）． A．对称轴方程是 B．对称中心坐标是C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增参考答案：D由图知，，∴．∵图象过点，∴，，∴，∴，由正弦函数的对称轴可得，可得对称轴为，错；由正弦函数的对称中心可得，，可得对称中心为，，错，由正弦函数的性质，当时，即时，函数单调递增，错；当，即时，函数在上单调递减，对．6.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A.-3 B. C.2 D.参考答案：C：i=0，满足条件i＜4，执行循环体，i=1，s=满足条件i＜4，执行循环体，i=2，s=﹣满足条件i＜4，执行循环体，i=3，s=﹣3满足条件i＜4，执行循环体，i=4，s=2不满足条件i＜4，退出循环体，此时s=2故选：C点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7.关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为(

)①将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化；②在线性回归分析中，相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱；③某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为15人． A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B考点：众数、中位数、平均数；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（1）将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数发生变化，标准差均没有变化，可判断（1）；（2）在线性回归分析中，相关系数r→﹣1，表明两个变量负相关越强，可判断（2）；（3）利用分层抽样的概念及运算公式可求得样本容量为n的值，从而可判断（3）．解答： 解：（1）将一组数据中的每个数据都减去同一个数a后，平均数为原平均数减去a，其标准差没有变化，故（1）错误；（2）在线性回归分析中，相关系数r接近﹣1，表明两个变量负相关越强，故（2）错误；（3）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，设样本容量为n，则=，解得n=15，故（3）正确．故正确结论的个数为1个，故选：B．点评：本题考查概率统计中的均值与方差、回归分析中的相关系数的概念及应用、分层抽样及线面垂直的定义，属于中档题8.函数y=的图象可能是(

) A． B． C． D．参考答案：B考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：当x＞0时，，当x＜0时，，作出函数图象为B．解答： 解：函数y=的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称．当x＞0时，，当x＜0时，，此时函数图象与当x＞0时函数的图象关于原点对称．故选B点评：本题考查了函数奇偶性的概念、判断及性质，考查了分段函数的图象及图象变换的能力．9.曲线在点处的切线方程为A.

B.C.

D.参考答案：C略10.若向量与的夹角为120°，且，则有（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量，，且与的夹角为，若，则实数的取值范围是．参考答案：略12.如果执行如图3所示的程序框图，输入,则输出的数

=

.参考答案：4算法的功能是赋值，通过四次赋值得，输出.【点评】本题考查算法流程图，考查分析问题解决问题的能力，平时学习时注意对分析问题能力的培养.13.某人从分别标有1、2、3、4的四张卡片中任意抽取两张,并按如下约定记录抽取结果:如果出现两个偶数或两个奇数,就将两数相加的和记录下来;如果出现一奇一偶,则记下它们的差的绝对值,则出现记录结果不大于3的概率为____________.参考答案：14.已知A，B，C，是圆上的三点，且，其中O为坐标原点，=

。参考答案：略15.设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则，

，

，成等比数列．参考答案：16.正三角形的边长为2，将它沿高翻折，使点与点间的距离为1，此时四面体外接球表面积为____________．

参考答案：略17.一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则=

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知数列满足．

（1）设，证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．参考答案：解：（1），……2分

为等差数列．又，．……………4分．………………………6分（2）设，则3．．…10分．．

…………14分

略19.定义在[﹣1，1]上的奇函数f（x）满足当﹣1≤x＜0时，f（x）=﹣，（Ⅰ）求f（x）在[﹣1，1]上的解析式；（Ⅱ）判断并证明f（x）在（0，1]上的单调性；（Ⅲ）当x∈（0，1]时，函数g（x）=﹣m有零点，试求实数m的取值范围．参考答案：【考点】函数的零点；奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；证明题；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）可知f（0）=0，再设0＜x≤1，则﹣1≤﹣x＜0，从而得到f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣）=，从而解得；（Ⅱ）先判断f（x）在（0，1]上为减函数，再由复合函数的单调性证明即可．（Ⅲ）可化为m=4x+1﹣2x=（2x﹣）2+，从而求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）在[﹣1，1]上的奇函数，∴f（0）=0，设0＜x≤1，则﹣1≤﹣x＜0，故f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣）=，故f（x）=；（Ⅱ）f（x）在（0，1]上为减函数，证明如下，∵f（x）==，且y=2x在（0，1]上是增函数，y=x+在（1，2]上是增函数，y=在（2，]上是减函数；∴由复合函数的单调性可知，f（x）=（0，1]上为减函数．（Ⅲ）当x∈（0，1]时，函数g（x）=﹣m=4x+1﹣2x﹣m，故m=4x+1﹣2x=（2x﹣）2+，∵x∈（0，1]，∴2x∈（1，2]，∴1＜4x+1﹣2x≤13，故实数m的取值范围为（1，13]．【点评】本题考查了函数的单调性的判断与应用，同时考查了函数的奇偶性的应用．20.（本小题满分12分）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。参考答案：解：方案1：①需要测量的数据有：的之间距离点到的俯角点到的俯角②第一步：计算，由正弦定理，第二步：计算，由正弦定理，ks5u第三步：计算，由余弦定理，方案2：①需要测量的数据有：的之间距离点到的俯角点到的俯角②第一步：计算，由正弦定理，第二步：计算，由正弦定理，第三步：计算，由余弦定理，21.已知抛物线C：的焦点为F，Q是抛物线上的一点，．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点(2,0)作直线l与抛物线C交于M，N两点，在x轴上是否存在一点A，使得x轴平分？若存在，求出点A的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）存在，【分析】（Ⅰ）由题意可知，设，由即可求出p的值，从而得到抛物线C的方程；（Ⅱ）对直线l的斜率分情况讨论，当直线l的斜率不存在时，由抛物线的对称性可知x轴上任意一点A（不与点重合），都可使得x轴平分；当直线l的斜率存在时，由题意可得，设直线l的方程为：与抛物线方程联立，利用韦达定理代入得，解得，故点．【详解】解：（Ⅰ）由题意可知，，∵点Q在物线C：上，∴设，，∴，解得，∴抛物线C的方程为：；（Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，由抛物线的对称性可知x轴上任意一点A（不与点重合），都可使得x轴平分；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：，设，，联立方程，消去y得：，，（*），假设在x轴上是否存在一点，使得x轴平分，∴，∴，∴，又，，∴，把（*）式代入上式化简得：，∴，∴点，综上所求，在x轴上存在一点，使得x轴平分．【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的知识，解决直线与圆锥曲线的问题时，往往会采用设而不求的思想进行求解.22.已知椭圆的右顶点为A，上顶点为，右焦点为F.连接BF并延长与椭圆相交于点C，且（1）求椭圆的方程；（2）设经过点(1,0)的直线与椭圆相交于不同的两点M，N，直线AM，AN分别与直线相交于点P，点Q.若的面积是的面积的2倍，求直线的方程.参考答案：(1).(2)或.分析：（1）根据椭圆的上顶点坐标，求出的值，由已知条件求出C点坐标的表达式，代入椭圆方程中，求出的值，这样求出椭圆的方程；（2）设直线MN的方程为，设，联立直线与椭圆方程，得，求出的表达式，直线AM的方程为，直线AN的方程为，求出P,Q点的纵坐标的表达式，