初中数学三角函数综合练习试题整理

...wd......wd......wd...三角函数综合练习题一．选择题〔共10小题〕1．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是〔〕A．2 B． C． D．2．如图，点D〔0，3〕，O〔0，0〕，C〔4，0〕在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=〔〕A． B． C． D．3．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是〔〕A．msin35° B．mcos35° C． D．4．如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为〔〕A． B． C． D．5．如图，厂房屋顶人字形〔等腰三角形〕钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD〔D为底边中点〕的长是〔〕A．5sin36°米 B．5cos36°米 C．5tan36°米 D．10tan36°米6．一座楼梯的示意图如以下图，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要〔〕A．米2 B．米2 C．〔4+〕米2 D．〔4+4tanθ〕米27．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为〔〕A．160m B．120m C．300m D．160m8．如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于〔〕A．8〔〕m B．8〔〕m C．16〔〕m D．16〔〕m9．某数学兴趣小组同学进展测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度〔或坡比〕i=1：2.4，那么大树CD的高度约为〔参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73〕〔〕A．8.1米 B．17.2米 C．19.7米 D．25.5米10．如图是一个3×2的长方形网格，组成网格的小长方形长为宽的2倍，△ABC的顶点都是网格中的格点，则cos∠ABC的值是〔〕A． B． C． D．二．解答题〔共13小题〕11．计算：〔﹣〕0+〔〕﹣1﹣|tan45°﹣|12．计算：．13．计算：sin45°+cos230°﹣+2sin60°．14．计算：cos245°﹣+cot230°．15．计算：sin45°+sin60°﹣2tan45°．16．计算：cos245°+tan60°•cos30°﹣3cot260°．17．如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离〔B，F，C在一条直线上〕．〔1〕求办公楼AB的高度；〔2〕假设要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．〔参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22〕18．某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测对在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．〔结果准确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7〕19．如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直〞的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．〔1〕求AB段山坡的高度EF；〔2〕求山峰的高度CF．〔1.414，CF结果准确到米〕20．如以下图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得C的仰角为45°，OA=200米，山坡坡度为〔即tan∠PAB=〕，且O，A，B在同一条直线上，求电视塔OC的高度以及此人所在的位置点P的垂直高度．〔侧倾器的高度忽略不计，结果保存根号〕21．如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60米的点D〔点D与楼底C在同一水平面上〕出发，沿斜面坡度为i=1：的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度〔参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值〕．22．如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°〔点B，C，E在同一水平直线上〕，AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离〔结果准确到0.1m〕〔参考数据：≈1.414，≈1.732〕23．某型号飞机的机翼形状如图，根据图示尺寸计算AC和AB的长度〔准确到0.1米，≈1.41，≈1.73〕．2016年12月23日三角函数综合练习题初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题〔共10小题〕1．〔2016•安顺〕如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是〔〕A．2 B． C． D．【分析】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．【解答】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，应选：D．【点评】此题考察了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．2．〔2016•攀枝花〕如图，点D〔0，3〕，O〔0，0〕，C〔4，0〕在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=〔〕A． B． C． D．【分析】连接CD，可得出∠OBD=∠OCD，根据点D〔0，3〕，C〔4，0〕，得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OBD即可．【解答】解：∵D〔0，3〕，C〔4，0〕，∴OD=3，OC=4，∵∠COD=90°，∴CD==5，连接CD，如以下图：∵∠OBD=∠OCD，∴sin∠OBD=sin∠OCD==．应选：D．【点评】此题考察了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．3．〔2016•三明〕如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是〔〕A．msin35° B．mcos35° C． D．【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦可得答案．【解答】解：sin∠A=，∵AB=m，∠A=35°，∴BC=msin35°，应选：A．【点评】此题主要考察了锐角三角函数，关键是掌握正弦定义．4．〔2016•绵阳〕如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为〔〕A． B． C． D．【分析】先根据等腰三角形的性质与判定以及三角形内角和定理得出∠EBC=36°，∠BEC=72°，AE=BE=BC．再证明△BCE∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式=，求出AE，然后在△ADE中利用余弦函数定义求出cosA的值．【解答】解：∵△ABC中，AB=AC=4，∠C=72°，∴∠ABC=∠C=72°，∠A=36°，∵D是AB中点，DE⊥AB，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=36°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=36°，∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠C=72°，∴∠BEC=∠C=72°，∴BE=BC，∴AE=BE=BC．设AE=x，则BE=BC=x，EC=4﹣x．在△BCE与△ABC中，，∴△BCE∽△ABC，∴=，即=，解得x=﹣2±2〔负值舍去〕，∴AE=﹣2+2．在△ADE中，∵∠ADE=90°，∴cosA===．应选C．【点评】此题考察了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中．证明△BCE∽△ABC是解题的关键．5．〔2016•南宁〕如图，厂房屋顶人字形〔等腰三角形〕钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD〔D为底边中点〕的长是〔〕A．5sin36°米 B．5cos36°米 C．5tan36°米 D．10tan36°米【分析】根据等腰三角形的性质得到DC=BD=5米，在Rt△ABD中，利用∠B的正切进展计算即可得到AD的长度．【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，BC=10米，∴DC=BD=5米，在Rt△ADC中，∠B=36°，∴tan36°=，即AD=BD•tan36°=5tan36°〔米〕．应选：C．【点评】此题考察了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的根基上建设数学模型，把实际问题转化为数学问题．6．〔2016•金华〕一座楼梯的示意图如以下图，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要〔〕A．米2 B．米2 C．〔4+〕米2 D．〔4+4tanθ〕米2【分析】由三角函数表示出BC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果．【解答】解：在Rt△ABC中，BC=AC•tanθ=4tanθ〔米〕，∴AC+BC=4+4tanθ〔米〕，∴地毯的面积至少需要1×〔4+4tanθ〕=4+4tanθ〔米2〕；应选：D．【点评】此题考察了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出BC是解决问题的关键．7．〔2016•长沙〕如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为〔〕A．160m B．120m C．300m D．160m【分析】首先过点A作AD⊥BC于点D，根据题意得∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，然后利用三角函数求解即可求得答案．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，则∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，在Rt△ABD中，BD=AD•tan30°=120×=40〔m〕，在Rt△ACD中，CD=AD•tan60°=120×=120〔m〕，∴BC=BD+CD=160〔m〕．应选A．【点评】此题考察了仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解此题的关键．8．〔2016•南通〕如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于〔〕A．8〔〕m B．8〔〕m C．16〔〕m D．16〔〕m【分析】设MN=xm，由题意可知△BMN是等腰直角三角形，所以BN=MN=x，则AN=16+x，在Rt△AMN中，利用30°角的正切列式求出x的值．【解答】解：设MN=xm，在Rt△BMN中，∵∠MBN=45°，∴BN=MN=x，在Rt△AMN中，tan∠MAN=，∴tan30°==，解得：x=8〔+1〕，则建筑物MN的高度等于8〔+1〕m；应选A．【点评】此题是解直角三角形的应用，考察了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角或俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角；并与三角函数相结合求边的长．9．〔2016•重庆〕某数学兴趣小组同学进展测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度〔或坡比〕i=1：2.4，那么大树CD的高度约为〔参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73〕〔〕A．8.1米 B．17.2米 C．19.7米 D．25.5米【分析】作BF⊥AE于F，则FE=BD=6米，DE=BF，设BF=x米，则AF=2.4米，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程，解方程求出DE=BF=5米，AF=12米，得出AE的长度，在Rt△ACE中，由三角函数求出CE，即可得出结果．【解答】解：作BF⊥AE于F，如以下图：则FE=BD=6米，DE=BF，∵斜面AB的坡度i=1：2.4，∴AF=2.4BF，设BF=x米，则AF=2.4x米，在Rt△ABF中，由勾股定理得：x2+〔2.4x〕2=132，解得：x=5，∴DE=BF=5米，AF=12米，∴AE=AF+FE=18米，在Rt△ACE中，CE=AE•tan36°=18×0.73=13.14米，∴CD=CE﹣DE=13.14米﹣5米≈8.1米；应选：A．【点评】此题考察了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由勾股定理得出方程是解决问题的关键．10．〔2016•广东模拟〕如图是一个3×2的长方形网格，组成网格的小长方形长为宽的2倍，△ABC的顶点都是网格中的格点，则cos∠ABC的值是〔〕A． B． C． D．【分析】根据题意可得∠D=90°，AD=3×1=3，BD=2×2=4，然后由勾股定理求得AB的长，又由余弦的定义，即可求得答案．【解答】解：如图，∵由6块长为2、宽为1的长方形，∴∠D=90°，AD=3×1=3，BD=2×2=4，∴在Rt△ABD中，AB==5，∴cos∠ABC==．应选D．【点评】此题考察了锐角三角函数的定义以及勾股定理．此题比拟简单，注意数形结合思想的应用．二．解答题〔共13小题〕11．〔2016•成都模拟〕计算：〔﹣〕0+〔〕﹣1﹣|tan45°﹣|【分析】此题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进展计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=1+3×﹣︳1﹣︳=1+2﹣+1=．【点评】此题考察实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．12．〔2016•顺义区二模〕计算：．【分析】要根据负指数，绝对值的性质和三角函数值进展计算．注意：〔〕﹣1=3，|1﹣|=﹣1，cos45°=．【解答】解：原式===2．【点评】此题考察实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．注意：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数．13．〔2016•天门模拟〕计算：sin45°+cos230°﹣+2sin60°．【分析】先把各特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式混合运算的法则进展计算即可．【解答】解：原式=•+〔〕2﹣+2×=+﹣+=1+．【点评】此题考察的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．14．〔2016•黄浦区一模〕计算：cos245°﹣+cot230°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式=〔〕2﹣+〔〕2=﹣+3=．【点评】此题考察了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．15．〔2016•深圳校级模拟〕计算：sin45°+sin60°﹣2tan45°．【分析】根据特殊角的三角函数值进展计算．【解答】解：原式=×+2×﹣2×1=+3﹣2=．【点评】此题考察了特殊角的三角函数值．特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．sin30°=；cos30°=；tan30°=；sin45°=；cos45°=；tan45°=1；sin60°=；cos60°=；tan60°=．16．〔2016•虹口区一模〕计算：cos245°+tan60°•cos30°﹣3cot260°．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式=〔〕2+×﹣3×〔〕2=1．【点评】此题考察了特殊角的三角函数值，解答此题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．17．〔2016•青海〕如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离〔B，F，C在一条直线上〕．〔1〕求办公楼AB的高度；〔2〕假设要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．〔参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22〕【分析】〔1〕首先构造直角三角形△AEM，利用tan22°=，求出即可；〔2〕利用Rt△AME中，cos22°=，求出AE即可【解答】解：〔1〕如图，过点E作EM⊥AB，垂足为M．设AB为x．Rt△ABF中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x，∴BC=BF+FC=x+25，在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB﹣BM=AB﹣CE=x﹣2，tan22°=，则=，解得：x=20．即教学楼的高20m．〔2〕由〔1〕可得ME=BC=x+25=20+25=45．在Rt△AME中，cos22°=．∴AE=，即A、E之间的距离约为48m【点评】此题主要考察了解直角三角形的应用，根据得出tan22°=是解题关键18．〔2016•自贡〕某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测对在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．〔结果准确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7〕【分析】过C点作AB的垂线交AB的延长线于点D，通过解Rt△ADC得到AD=2CD=2x，在Rt△BDC中利用锐角三角函数的定义即可求出CD的值．【解答】解：作CD⊥AB交AB延长线于D，设CD=x米．在Rt△ADC中，∠DAC=25°，所以tan25°==0.5，所以AD==2x．Rt△BDC中，∠DBC=60°，由tan60°==，解得：x≈3．即生命迹象所在位置C的深度约为3米．【点评】此题考察的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．19．〔2016•黄石〕如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直〞的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．〔1〕求AB段山坡的高度EF；〔2〕求山峰的高度CF．〔1.414，CF结果准确到米〕【分析】〔1〕作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中根据正弦的定义可计算出BH的长，从而得到EF的长；〔2〕先在Rt△CBE中利用∠CBE的正弦计算出CE，然后计算CE和EF的和即可．【解答】解：〔1〕作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中，∵sin∠BAH=，∴BH=800•sin30°=400，∴EF=BH=400m；〔2〕在Rt△CBE中，∵sin∠CBE=，∴CE=200•sin45°=100≈141.4，∴CF=CE+EF=141.4+400≈541〔m〕．答：AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米．【点评】此题考察了解直角三角形的应用﹣坡度与坡角问题：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i═tanα．20．〔2016•天水〕如以下图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得C的仰角为45°，OA=200米，山坡坡度为〔即tan∠PAB=〕，且O，A，B在同一条直线上，求电视塔OC的高度以及此人所在的位置点P的垂直高度．〔侧倾器的高度忽略不计，结果保存根号〕【分析】在直角△AOC中，利用三角函数即可求解；在图中共有三个直角三角形，即RT△AOC、RT△PCF、RT△PAE，利用60°、45°以及坡度比，分别求出CO、CF、PE，然后根据三者之间的关系，列方程求解即可解决．【解答】解：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，在Rt△AOC中，AO=200米，∠CAO=60°，∴CO=AO•tan60°=200〔米〕〔2〕设PE=x米，∵tan∠PAB==，∴AE=3x．在Rt△PCF中，∠CPF=45°，CF=200﹣x，PF=OA+AE=200+3x，∵PF=CF，∴200+3x=200﹣x，解得x=50〔﹣1〕米．答：电视塔OC的高度是200米，所在位置点P的铅直高度是50〔﹣1〕米．【点评】考察了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题以及坡度坡角问题，此题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．21．〔2016•泸州〕如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60米的点D〔点D与楼底C在同一水平面上〕出发，沿斜面坡度为i=1：的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度〔参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值〕．【分析】如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M，先在RT△BDN中求出线段BN，在RT△ABM中求出AM，再证明四边形CMBN是矩形，得CM=BN即可解决问题．【解答】解：如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M．在RT△BDN中，B