Chapter6 金融与统计模型

数据分析与可视化第六章金融与统计模型6.1确定性模型6.2随机模型6.3阈值模型第六章金融和统计模型2《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习6.1.1总回报模型6.1确定性模型3《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习金融时间序列：金融市场中常见的价格数据等常见金融时间序列模型：（1）确定性模型：回报率模型（2）随机模型：模特卡洛模拟（3）波动率模型6.1确定性模型4《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习投资收益取决于价格变化+持有资产数量总回报模型：考虑资产价格随时间变化的模型6.1确定性模型：总回报5《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习

考虑通胀：（1）何时资产翻倍？（2）回报率曲线？（3）每年通胀率如何确定？利用代码（下页）： Q：初始投资为1万美元，回报率为6%，多少年后投资会翻倍

？6《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习6.1确定性模型：总回报

例：使用matplotlib和NumPy来进行探索7《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习importmatplotlib.pyplotaspltprinciple_value=10000#investedamountgrossReturn=1.06#Rtreturn_amt=[]x=[]y=[10000]year=2010return_amt.append(principle_value)x.append(year)6.1确定性模型：总回报8《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习foriinrange(1,15):return_amt.append(return_amt[i-1]*grossReturn)print("Year-",i,"Returned:",return_amt[i])year+=1x.append(year)y.append(833.33*(year-2010)+principle_value)#setthegridtoappearplt.grid()#plotthereturnvaluescurveplt.plot(x,return_amt,color='r')plt.plot(x,y,color='b')plt.show()6.1确定性模型：总回报9《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习绘制投资回报曲线投资收益图

6.1确定性模型：总回报例：抵押贷款，35万美元的贷款金额，利率为5%，期限为30年

10《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习6.1确定性模型：总回报fromdecimalimportDecimalimportmatplotlib.pyplotasplt

colors=[(31,119,180),(174,199,232),(255,128,0),(255,15,14),(44,160,44),(152,223,138),(214,39,40),(255,173,61),(148,103,189),(197,176,213),(140,86,75),(196,156,148),(227,119,194),(247,182,210),(127,127,127),(199,199,199),(188,189,34),(219,219,141),(23,190,207),(158,218,229)]#ScaletheRGBvaluestothe[0,1]range,whichistheformatmatplotlibaccepts.foriinrange(len(colors)):r,g,b=colors[i]colors[i]=(r/255.,g/255.,b/255.)11《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习6.1确定性模型：总回报defprintHeaders(term,extra):#printheadersprint("\nExtra-Payment:$"+str(extra)+"Term:"+str(term)+"years")print("---------------------------------------------------------")print('Pmtno'.rjust(6),'','Beg.bal.'.ljust(13),'',)print('Payment'.ljust(9),'','Principal'.ljust(9),'',)print('Interest'.ljust(9),'','End.bal.'.ljust(13))print(''.rjust(6,'-'),'',''.ljust(13,'-'),'',)print(''.rjust(9,'-'),'',''.ljust(9,'-'),'',)print(''.rjust(9,'-'),'',''.ljust(13,'-'),‘‘)defpmt(principal,rate,term):ratePerTwelve=rate/(12*100.0)result=principal*(ratePerTwelve/(1-(1+ratePerTwelve)**(-term)))#Converttodecimalandroundofftotwodecimalplaces.result=Decimal(result)result=round(result,2)returnresult12《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习6.1确定性模型：总回报plt.figure(figsize=(18,14))#amortization_table(150000,4,180,500)i=0markers=['o','s','D','^','v','*','p','s','D','o','s','D','^','v','*','p','s','D']markersize=[8,8,8,12,8,8,8,12,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8]forextrainrange(100,1700,100):xv,bv,saved=amortization_table(450000,5,360,extra,False)ifextra==0:plt.plot(xv,bv,color=colors[i],lw=2.2,label='Principalonly',marker=markers[i],markersize=markersize[i])else:plt.plot(xv,bv,color=colors[i],lw=2.2,label="Principalplus\$"+str(extra)+str("/month,Saved:\$")+saved,marker=markers[i],markersize=markersize[i])i+=1plt.grid(True)plt.xlabel('Years',fontsize=18)plt.ylabel('MortgageBalance',fontsize=18)plt.title("MortgageLoanFor$350,000WithAdditionalPaymentChart",fontsize=20)plt.legend()plt.show()13《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习6.1确定性模型：总回报额外储蓄与本金储蓄

不同贷款金额的储蓄

14《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习本金抵押贷款本金的额外金额

6.1确定性模型：总回报importmatplotlib.pyplotasplt#setthesavingsvaluefrompreviousexampleyvals1=[101000,111000,121000,131000,138000,143000,148000,153000,158000]yvals2=[130000,142000,155000,160000,170000,180000,190000,194000,200000]yvals3=[125000,139000,157000,171000,183000,194000,205000,212000,220000]xvals=[500,600,700,800,900,1000,1100,1200,1300]#initializebubblesthatwillbescaledbubble1=[]bubble2=[]bubble3=[]#scaleitonsomethingthatcanbedisplayed#Itshouldbescaledto1000,butdisplaywillbetoobig#sowechoosetoscaleby5%(dividetheseby20againtorelatetorealvalues)15《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习6.1确定性模型：总回报foriinrange(0,9):bubble1.append(yvals1[i]/20)bubble2.append(yvals2[i]/20)bubble3.append(yvals3[i]/20)

#plotyvalueswithscaledbybubblesizes.#Ifbubblesarenotscaled,theydon'tfitwell.

fig,ax=plt.subplots(figsize=(10,12))plt1=ax.scatter(xvals,yvals1,c='#d82730',s=bubble1,alpha=0.5)plt2=ax.scatter(xvals,yvals2,c='#2077b4',s=bubble2,alpha=0.5)plt3=ax.scatter(xvals,yvals3,c='#ff8010',s=bubble3,alpha=0.5)

#Setthelabelsandtitleax.set_xlabel('ExtraDollarAmount',fontsize=16)ax.set_ylabel('Savings',fontsize=16)ax.set_title('MortgageSavings(PayingExtraEveryMonth)',fontsize=20)

#setxandylimits

ax.set_xlim(400,1450)

ax.set_ylim(90000,230000)

ax.grid(True)

ax.legend((plt1,plt2,plt3),('$250,000Loan','$350,000Loan','$450,000Loan'),

scatterpoints=1,loc='upperleft',markerscale=0.17,fontsize=10,ncol=1)

fig.tight_layout()

plt.show()16《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习6.1确定性模型：总回报不同贷款金额额外支付节省费用6.2.1蒙特卡洛模拟6.2.2投资组合模型6.2.3模拟模型6.2.4几何布朗运动模拟6.2.5基于扩散的模拟6.2随机模型17《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习6.2.1

蒙特卡洛模拟18《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习蒙特卡洛模拟：概率模拟

（1）用于理解风险和不确定性

（2）以随机数作为输入，迭代进行

（3）输出结果带有随机性确定性模型示意图随机性模型示意图

19《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习6.2.1

蒙特卡洛模拟20《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习6.2.1

蒙特卡洛模拟例：利用Python代码进行利润最大化importnumpyasnpfrommathimportlogimportmatplotlib.pyplotaspltx=[]y=[]#EquationthatdefinesProfitdefgenerateProfit(d):globalsifd>=s:return0.6*selse:return0.6*d-0.4*(s-d)#Althoughycomesfromuniformdistributionin[80,140]#wearerunningsimulationfordin[20,305]maxprofit=0forsinrange(20,305):foriinrange(1,1000):#generatearandomvalueofdd=np.random.randint(10,high=200)profit=generateProfit(d)ifprofit>maxprofit:maxprofit=profitx.append(s)y.append(log(maxprofit))#plottedonlogscaleplt.plot(x,y)print("MaxProfit:",maxprofit)21《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习6.2.1

蒙特卡洛模拟蒙特卡罗模拟利润值

6.2.1

蒙特卡洛模拟22《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习股票价格波动率：

（1）利用统计指标（如标准差）衡量波动率

（2）利用金融时间序列的收盘价格作为如数

（3）查看给定时间范围内的价格波动率

（4）免费平台Tushare实时下载股票交易数据例：收益波动率

23《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习6.2.1

蒙特卡洛模拟importtushareastsimportpandasaspd#注册tushare账号，可获得tokents.set_token('yourtoken')pro=_api()

defget_data(code,start,end):df=pro.daily(ts_code=code,start_date=start,end_date=end)df=df.sort_values(by="trade_date")#设置把日期作为索引df.index=pd.to_datetime(df.trade_date)df=df[['open','high','low','close','vol']]returndfimportnumpyasnpdf=get_data(code="000001.SZ",start="20180101",end="20220101")print(df)r,g,b=(31,119,180)colornow=(r/255.,g/255.,b/255.)print(df)defget_vol(df):df['volatility']=np.log(df['close']/df['close'].shift(1))returndfdf=get_vol(df)df[['close','volatility']].plot(figsize=(12,10),subplots=True,color=colornow)例：收益波动率（多只股票）24《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习6.2.1

蒙特卡洛模拟code_list=["000001.SZ","000021.SZ","000009.SZ","000012.SZ","000004.SZ","000008.SZ"]df_list=[get_vol(get_data(code=code,start="20180101",end="20220101"))forcodeincode_list]foriinrange(len(code_list)):df_list[i]=df_list[i].drop(columns=['open','high','low','close','vol'])df_list[i].columns=[code_list[i]]data=pd.concat(df_list,axis=1,join="inner").dropna()print(data)

importpandasaspdimportmatplotlib.pyplotasplt

#toplotalltogether#vstoxx_short.plot(figsize=(15,14))plt.plot(data,linewidth=0.5,label=data.columns.values)plt.legend()plt.grid()plt.title('SZ’)plt.show()6.2.1

蒙特卡洛模拟25《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习隐含波动率：（1）基于Black-Scholes-Merton模型

（2）估算期权价格时常用（3）隐含波动率：给定欧式看涨期权C,隐含波动率可由对数回报的标准差计算得到。关于波动率的期权定价公式的偏导数称为Vega。该指标指示期权价格的变动方向以及波动率提高1%的期权价格变动的程度

。

例：隐含波动率

26《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习6.2.1

蒙特卡洛模拟frommathimportlog,sqrt,expfromscipyimportstatsimportpandasaspdimportmatplotlib.pyplotasplt

colors=[(31,119,180),(174,199,232),(255,128,0),(255,15,14),(44,160,44),(152,223,138),(214,39,40),(255,152,150),(148,103,189),(197,176,213),(140,86,75),(196,156,148),(227,119,194),(247,182,210),(127,127,127),(199,199,199),(188,189,34),(219,219,141),(23,190,207),(158,218,229)]#ScaletheRGBvaluestothe[0,1]range,whichistheformatmatplotlibaccepts.foriinrange(len(colors)):r,g,b=colors[i]colors[i]=(r/255.,g/255.,b/255.)例：隐含波动率

27《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习6.2.1

蒙特卡洛模拟defblack_scholes_merton(S,r,sigma,X,T):S=float(S)logsoverx=log(S/X)halfsigmasquare=0.5*sigma**2sigmasqrtT=sigma*sqrt(T)d1=(logsoverx+((r+halfsigmasquare)*T))/sigmasqrtTd2=(logsoverx+((r-halfsigmasquare)*T))/sigmasqrtT#stats.norm.cdf—>cumulativedistributionfunctionvalue=S*stats.norm.cdf(d1,0.0,1.0)-X*exp(-r*T)*stats.norm.cdf(d2,0.0,1.0)returnvalue

defvega(S,r,sigma,X,T):S=float(S)logsoverx=log(S/X)halfsigmasquare=0.5*sigma**2sigmasqrtT=sigma*sqrt(T)d1=(logsoverx+((r+halfsigmasquare)*T))/sigmasqrtTvega=S*stats.norm.cdf(d1,0.0,1.0)*sqrt(T)returnvega

defimpliedVolatility(S,r,sigma_est,X,T,Cstar,it):

foriinrange(it):

numer=(black_scholes_merton(S,r,sigma_est,X,T)-Cstar)

denom=vega(S,r,sigma_est,X,T)

sigma_est-=numer/denom

returnsigma_est例：隐含波动率

28《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习6.2.1

蒙特卡洛模拟importpandasaspdfutures_data=pd.read_csv("./data/futures_data.csv")options_data=pd.read_csv("./data/options_data.csv")

options_data['IMP_VOL']=0.0V0=17.6639#theclosingvalueoftheindexr=0.04#riskfreeinterestratesigma_est=2tol=0.5#tolerancelevelformoneynessforoptioninoptions_data.index:#iteratingoveralloptionquotesfutureval=futures_data[futures_data['MATURITY']==options_data.loc[option]['MATURITY']]['PRICE'].values[0]#pickingtherightfuturesvalueif(futureval*(1-tol)<options_data.loc[option]['STRIKE']<futureval*(1+tol)):impliedVol=impliedVolatility(V0,r,sigma_est,options_data.loc[option]['STRIKE'],options_data.loc[option]['TTM'],options_data.loc[option]['PRICE'],#Cnit=100)#iterationsoptions_data['IMP_VOL'].loc[option]=impliedVol

例：隐含波动率

29《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习6.2.1

蒙特卡洛模拟

plot_data=options_data[options_data['IMP_VOL']>0]maturities=sorted(set(options_data['MATURITY']))plt.figure(figsize=(15,10))i=0formaturityinmaturities:data=plot_data[options_data.MATURITY==maturity]#selectdataforthismaturityplot_args={'lw':3,'markersize':9}plt.plot(data['STRIKE'],data['IMP_VOL'],label=maturity,marker='o',color=colors[i],**plot_args)i+=1plt.grid(True)plt.xlabel('Strikerate$X$',fontsize=18)plt.ylabel(r'Impliedvolatilityof$\sigma$',fontsize=18)plt.title('ShortMaturityWindow(VolatilitySmile)',fontsize=22)plt.legend()plt.show()

针对欧洲VSTOXX的罢工率隐含波动率

6.2.2投资组合估值30《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习投资组合估值：

（1）估计投资组合当前价值

（2）适用于金融资产、金融负债等

（3）构建投资组合、动态调整

（4）免费平台Tushare实时下载股票交易数据例：投资组合估值

31《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习6.2.2投资组合估值importakshareasakimportpandasaspdimportdatetime

defget_fund_data(code,start,end):df=ak.fund_etf_hist_sina(symbol=code)[['date','close']]df=df[df['date']>=datetime.date.fromisoformat(start)]df=df[df['date']<=datetime.date.fromisoformat(end)]df.index=df['date']df=df.drop(columns=['date'])df.columns=[code]returndf

df1=get_fund_data(code="sz169101",start="2018-01-01",end="2022-01-01")df2=get_fund_data(code="sz169102",start="2018-01-01",end="2022-01-01")df3=get_fund_data(code="sz169103",start="2018-01-01",end="2022-01-01")data=pd.concat([df1,df2,df3],axis=1,join="inner")print(data)三只基金收盘价走势例：投资组合估值

32《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习6.2.2投资组合估值importnumpyasnp#convertpricestologreturnsretn=data.apply(np.log).diff()#makecorrmatrixretn.corr()#makescatterplottoshowcorrelationpd.plotting.scatter_matrix(retn,figsize=(10,10))plt.show()#somemorestatsretn.skew()retn.kurt()三只基金收益相关性图

33《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习6.2.3模拟模型模拟仿真模型：

（1）基于随机数和概率

（2）对真实数据和世界进行仿真实验

（3）科研和实践的试错和检验工具

（4）复杂计算中的重要估算工具 ……几何布朗运动定义：

34《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习6.2.4几何布朗运动模拟

例：几何布朗运动模拟

35《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习importmatplotlib.pyplotaspltimportnumpyasnprect=[0.1,5.0,0.1,0.1]fig=plt.figure(figsize=(10,10))T=2mu=0.1sigma=0.04S0=20dt=0.01N=round(T/dt)t=np.linspace(0,T,N)#StandarenormaldistribW=np.random.standard_normal(size=N)W=np.cumsum(W)*np.sqrt(dt)X=(mu-0.5*sigma**2)*t+sigma*W#BrownianMotionS=S0*np.exp(X)plt.plot(t,S,lw=2)plt.xlabel("Timet",fontsize=16)plt.ylabel("S",fontsize=16)plt.title("GeometricBrownianMotion(Simulation)",fontsize=18)plt.show()几何布朗运动模拟图

6.2.4几何布朗运动模拟例：几何布朗运动模拟股票价格

36《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习6.2.4几何布朗运动模拟importpylab,randomclassStock(object):def__init__(self,price,distribution):self.price=priceself.history=[price]self.distribution=distributionself.lastChange=0defsetPrice(self,price):self.price=priceself.history.append(price)defgetPrice(self):returnself.pricedefwalkIt(self,marketBias,mo):oldPrice=self.pricebaseMove=self.distribution()+marketBiasself.price=self.price*(1.0+baseMove)ifmo:self.price=self.price+random.gauss(.5,.5)*self.lastChangeifself.price<0.01:self.price=0.0self.history.append(self.price)self.lastChange=oldPrice-self.pricedefplotIt(self,figNum):pylab.figure(figNum)pylab.plot(self.history)pylab.title('ClosingPriceSimulationRun-'+str(figNum))pylab.xlabel('Day')pylab.ylabel('Price')例：几何布朗运动模拟股票价格

37《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习6.2.4几何布朗运动模拟deftestStockSimulation():defrunSimulation(stocks,fig,mo):mean=0.0forsinstocks:fordinrange(numDays):s.walkIt(bias,mo)s.plotIt(fig)mean+=s.getPrice()mean=mean/float(numStocks)pylab.axhline(mean)pylab.figure(figsize=(12,12))numStocks=20numDays=400stocks=[]bias=0.0mo=Falsestartvalues=[100,500,200,300,100,100,100,200,200, 300,300,400,500,00,300,100,100,100,200,200,300]foriinrange(numStocks):volatility=random.uniform(0,0.2)d1=lambda:random.uniform(-volatility,volatility)stocks.append(Stock(startvalues[i],d1))runSimulation(stocks,1,mo)

testStockSimulation()pylab.show()几何布朗运动模拟图

平方根扩散模型，用于对平均回归量建模（如利率和波动性）

38《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习6.2.5基于扩散的模拟

代码实例

39《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习6.2.5基于扩散的模拟importnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotaspltimportnumpy.randomasnprS0=100#initialvaluer=0.05sigma=0.25T=2.0x0=0k=1.8theta=0.24i=100000M=50dt=T/Mdefsrd_euler():xh=np.zeros((M+1,i))x1=np.zeros_like(xh)xh[0]=x0x1[0]=x0fortinrange(1,M+1):xh[t]=(xh[t-1]+k*(theta-np.maximum(xh[t-1],0))*dt+sigma*np.sqrt(np.maximum(xh[t-1],0))*np.sqrt(dt)*npr.standard_normal(i))x1=np.maximum(xh,0)returnx1x1=srd_euler()代码实例

40《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习6.2.5基于扩散的模拟平方根扩散模型plt.figure(figsize=(10,6))plt.hist(x1[-1],bins=30,color='#98DE2f',alpha=0.85)plt.xlabel('value')plt.ylabel('frequency')plt.grid(False)plt.figure(figsize=(12,10))plt.plot(x1[:,:10],lw=2.2)plt.title("Square-RootDiffusion-Simulation")plt.xlabel('Time',fontsize=16)plt.ylabel('IndexLevel',fontsize=16)#plt.grid(True)plt.show()6.3阈值模型-谢林隔离模型41《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习谢林隔离模型（Schelling’s隔离模型）

（1）应用场景一:通过在棋盘上放置硬币并根据各种规则移动它们来进行实验。在该实验中，一个棋盘被用来类比城市，一个棋盘正方形对应一个住所，一个正方形对应一个社区。pennies和dimes（视觉上不同）可以代表两组的吸烟者、非吸烟者、男性、女性、高管、非高管、学生或教师。模拟规则指定当没有人从当前位置移动则终止，即代表所有人都满意。若有人不高兴，他们就会搬家，即产生隔离。

（2）应用场景二：模拟教室选择的过程，该模型表明即使对相邻同学的偏好较弱，也可能出现隔离模式。

（3）该模型类似于动态聚类过程。6.3阈值模型-谢林隔离模型42《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习谢林隔离模型举例：

假设一所高中每种类型有250名学生，并根据他们的第一优先级将学生类别分为三种类型：运动、高级水平学术和常规，每种类型分别为0、1和2来代表。

这些学生都住在一个单位广场上（这里可以想象成一栋教学楼建筑）。它的位置只是一个点(x,y)，其中0<x,y<1。如果它的12个最近邻居中有一半或更多属于同一类型（根据欧几里得距离），则它很高兴。

每个同学初始位置是从一个二元均匀分布中独立抽取的。我们考虑最终形成的自然隔离结果。

6.3阈值模型-谢林隔离模型43《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习fromrandomimportuniform,seedfrommathimportsqrtimportmatplotlib.pyplotaspltnum=250#ThesemanyagentsofaparticulartypenumNeighbors=12#NumberofagentsregardedasneighborsrequireSameType=8#Atleastthismanyneighborstobesametypeseed(10)#forreproduciblerandomnumbers6.3阈值模型-谢林隔离模型44《数据分析与可视化》第五章统计学与机器学习classStudentAgent:def__init__(self,type):#Studentsofdifferenttypewillbeshownincolorsself.type=typeself.show_position()

defshow_position(self):#positionchangedbyusinguniform(x,y)self.position=uniform(0,1),uniform(0,1)

defget_distance(self,other):#returnseuclideandistance