老高考适用2023版高考数学二轮总复习第1篇核心素养谋局思想方法引领第4讲创新情境与数学文化

第一篇第4讲一、选择题1．二十四节气(The24SolarTerms)是指中国农历中表示季节变迁的24个特定节令，是根据地球在黄道(即地球绕太阳公转的轨道)上的位置变化而制定的，每一个分别相应于地球在黄道上每运动15°所到达的一定位置．根据上述描述，从秋分到小雪相应于地球在黄道上运动的度数为(A)A．60° B．－75°C．45° D．－60°【解析】从秋分到小雪相应于地球在黄道上运动的度数为4×15°＝60°．故选A．2．(文)(2022·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考)“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉、甲戌、乙亥、丙子、…、癸未、甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2016年是“干支纪年法”中的(A)A．丙申年 B．丙午年C．甲辰年 D．乙未年【解析】依题意，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．2021年是辛丑年，2020年为庚子，2019年是己亥年，2018年是戊戌年，2017年是丁酉年，2016年是丙申年．故选A．3．(2022·洛阳模拟)2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受吉祥物爱好者的喜爱，“冰墩墩”和“雪容融”将中国文化符号和冰雪运动完美融合，承载了新时代中国的形象和梦想．若某个吉祥物爱好者从装有3个“冰墩墩”和3个“雪容融”的6个盲盒的袋子中任取2个盲盒，则恰好抽到1个“冰墩墩”和1个“雪容融”的概率是(C)A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(3,10)【解析】记3个“冰墩墩”分别为a、b、c,3个“雪容融”分别为1、2、3，从6个盲盒的袋子中任取2个盲盒有：ab，ac，a1，a2，a3，bc，b1，b2，b3，c1，c2，c3,12,13,23共15种情况，其中恰好抽到1个“冰墩墩”和1个“雪容融”包含a1，a2，a3，b1，b2，b3，c1，c2，c3共9种，所以概率为：P＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5)．故选C．4．(2022·海淀区校级模拟)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花．图2中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为该正六边形的中心，圆O的半径为2，圆O的直径MN∥CD，点P在正六边形的边上运动，则eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的最小值为(D)A．5 B．6C．7 D．8【解析】正六边形ABCDEF内切圆半径为r＝OA·sin60°＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，正六边形ABCDEF外接圆半径为R＝4，又eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→)))·(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→)))＝(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→)))·(eq\o(PO,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→)))＝|eq\o(PO,\s\up6(→))|2－|eq\o(OM,\s\up6(→))|2＝|PO|2－4，而r≤|eq\o(PO,\s\up6(→))|≤R，∴eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝|eq\o(PO,\s\up6(→))|2－4≥12－4＝8．故选D．5．(2022·金凤区校级三模)明代数学家吴敬所著的《九章详注比类算法大全》一书中，记载了一道数学题：有7个人每人赶着一群羊到野外去放养，每人放养的羊(单位：头)的数量分别为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，它们恰好构成一个等差数列，若a1＋a2＋a3＝33,2a2＋9＝a7，则这7个人一共放养的总羊群的头数是(C)A．125 B．128C．133 D．136【解析】∵a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，恰好构成一个等差数列，且a1＋a2＋a3＝33,2a2＋9＝a7，设公差为d，∴3a2＝33,2a1＋2d＋9＝a1＋6d，∴d＝4，a1＝7，∴这7个人一共放养的总羊群的头数是：7a1＋eq\f(7×6,2)d＝133．故选C．6．(2022·浙江高一期末)在R上定义运算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc，若不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1a－2,a＋1x))≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为(D)A．－eq\f(1,2) B．－eq\f(3,2)C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,2)【解析】由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1a－2,a＋1x))≥1即x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1，所以a2－a－1≤x2－x恒成立，在R上x2－x的最小值为－eq\f(1,4)，所以a2－a－1≤－eq\f(1,4)，整理可得(2a＋1)(2a－3)≤0，解得－eq\f(1,2)≤a≤eq\f(3,2)，实数a的最大值为eq\f(3,2)，故选D．7．(2022·四川模拟)2022年北京冬奥会开幕式为世界奉献了一场精彩、简约、唯美、浪漫的中国文化盛宴，其中主火炬台的雪花状创意令人惊叹．如图所示的图案是一个边长为6的正六边形雪花状饰品，内部有一个多边形Ω，其形状是由边长为3的正六边形各边两个三等分点间的线段向外作正三角形(再去掉该线段)而成．若在该正六边形雪花状饰品任取一点，则该点取自于多边形Ω及其内部的概率为(A)A．eq\f(5,18) B．eq\f(1,3)C．eq\f(7,18) D．eq\f(4,9)【解析】∵S大正六边形＝6×eq\f(1,2)×6×3eq\r(3)＝54eq\r(3)，S小正六边形＝6×eq\f(1,2)×3×eq\f(3\r(3),2)＝eq\f(27,2)eq\r(3)，S正三角形＝eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)，∴满足条件的概率P＝eq\f(6×\f(\r(3),4)＋\f(27,2)\r(3),54\r(3))＝eq\f(5,18)，故选A．8．(2022·聊城三模)《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的侧面积为4eq\r(2)π，圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上，则该球的体积为(B)A．eq\f(8,3)π B．eq\f(32,3)πC．16π D．32π【解析】设球半径为R，圆锥的底面半径为r，若一个直角圆锥的侧面积为4eq\r(2)π，设母线为l，则l2＋l2＝4r2⇒l＝eq\r(2)r，所以直角圆锥的侧面积为：eq\f(1,2)×2πr·l＝eq\f(1,2)×2πr·eq\r(2)r＝4eq\r(2)π，可得：r＝2，l＝eq\r(2)r＝2eq\r(2)，圆锥的高BO1＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(8－4)＝2，由r2＋(2－R)2＝R2，解得：R＝2，所以球O的体积等于eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×8＝eq\f(32π,3)，故选B．9．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示．若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中eq\f(1,3)的酒量”，即输出值是输入值的eq\f(1,3)，则输入的x＝(C)A．eq\f(3,5) B．eq\f(9,11)C．eq\f(21,23) D．eq\f(45,47)【解析】i＝1时，x＝2x－1；i＝2时，x＝2(2x－1)－1＝4x－3；i＝3时，x＝2(4x－3)－1＝8x－7；i＝4时，退出循环．此时，8x－7＝eq\f(1,3)x，解得x＝eq\f(21,23)．故选C．10．(2022·射洪市校级模拟)图形是信息传播、互通的重要的视觉语言《画法几何》是法国著名数学家蒙日的数学巨著，该书在投影的基础上，用“三视图”来表示三维空间中立体图形．具体来说．做一个几何的“三视图”，需要观测者分别从几何体正面、左面、上面三个不同角度观察，从正投影的角度作图．如图中粗实线画出的是某三棱锥的三视图，且网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的外接球的表面积为(C)A．12π B．24πC．48π D．96π【解析】根据几何体的三视图转换为直观图，如图所示，该几何体为三棱锥，设外接球的半径为R，把该三棱锥补成一个棱长为4的正方体，则正方体的外接球即为该三棱锥的外接球，所以(2R)2＝42＋42＋42＝48，解得R2＝12，∴该三棱锥的外接球的表面积为4πR2＝4π×12＝48π，故选C．11．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设AD＝2BD，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是(A)A．eq\f(1,7) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(4,13)【解析】设BD＝x，因为△ABC是由3个全等的三角形与中间的等边三角形构成，所以AD＝2x，∠ADB＝120°，由余弦定理可知AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos120°，代入可得AB2＝(2x)2＋x2－2×2x·xcos120°，化简得AB2＝7x2，由三角形面积公式可得S△ABC＝eq\f(\r(3),4)AB2＝eq\f(7\r(3)x2,4)，同理S△DEF＝eq\f(\r(3),4)FD2＝eq\f(\r(3)x2,4)，所以由几何概型面积类型的概率可得eq\f(S△DEF,S△ABC)＝eq\f(\f(\r(3)x2,4),\f(7\r(3)x2,4))＝eq\f(1,7)．故选A．12．(2022·雅安模拟)当声音的强度为x时，对应的等级为f(x)分贝，有f(x)＝10lgeq\f(x,A0)(其中A0为常数)．若装修电钻的声音等级约为100分贝，普通室内谈话的声音等级约为60分贝，则装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为(D)A．eq\f(5,3) B．eq\f(3,5)C．10－4 D．104【解析】设装修电钻的声音强度为x1，普通室内谈话的声音强度为x2．由题意得：f(x1)＝100＝10lgeq\f(x1,A0)，f(x2)＝60＝10lgeq\f(x2,A0)，解得x1＝A0·1010，x2＝A0·106，∴装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为：eq\f(x1,x2)＝eq\f(A0·1010,A0·106)＝104．故选D．二、填空题13．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列．上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为__eq\f(67,66)__升．【解析】设该数列{an}的首项为a1，公差为d，依题意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋7d＝\f(4,3)，,d＝\f(7,66)，))则a5＝a1＋4d＝a1＋7d－3d＝eq\f(4,3)－eq\f(21,66)＝eq\f(67,66)．14．(2022·临沂三模)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，C(－4,0)，则其欧拉线方程为！！！__x－y＋2＝0__．【解析】设△ABC的重心为G，垂心为H，由重心坐标公式得x＝eq\f(0＋2＋－4,3)＝－eq\f(2,3)，y＝eq\f(0＋4＋0,3)＝eq\f(4,3)，所以Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(4,3)))，由题，△ABC的边AC上的高线所在直线方程为x＝0，直线BC：y＝x＋4，A(2,0)，所以△ABC的边BC上的高线所在直线方程为y＝－x＋2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－x＋2，))⇒H(0,2)，所以欧拉线GH的方程为y－2＝eq\f(2－\f(4,3),0－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))))x，即x－y＋2＝0．故答案为x－y＋2＝0．15．(2022·沙河口区校级一模)一般认为，民用住宅窗户面积a与地板面积b的比应不小于10%，即eq\f(1,10)≤eq\f(a,b)＜1，而且比值越大采光效果越好，若窗户面积与地板面积同时增加m，采光效果变好还是变坏？请将你的判断用不等式表示！！！__采光效果变好__，__eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b)__．【解析】根据题意，设窗户和地板同时增加m平方米，有eq\f(1,10)≤eq\f(a,b)＜1，则有eq\f(a＋m,b＋m)－eq\f(a,b)＝eq\f(ab＋bm－ab－am,b＋mb)＝eq\f(b－am,b＋mb)，又由a＜b，则eq\f(a＋m,b＋m)－eq