第五章三角函数5.2三角函数的概念(新教材教师用书)

eq\o(\s\up7(),\s\do5(第五章三角函数,5.2三角函数的概念))课时作业44三角函数的概念知识点一三角函数的定义1.已知角α的终边与单位圆交于点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，则cosα的值为()A．－eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(1,2)答案A解析由三角函数的定义可知cosα＝－eq\f(\r(3),2).2．若角α的终边上有一点P(－4a,3a)(a≠0)，则2sinα＋cosα的值是()A．eq\f(2,5) B．eq\f(2,5)或－eq\f(2,5)C．－eq\f(2,5) D．与a有关但不能确定答案B解析当a>0时，sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，2sinα＋cosα＝eq\f(2,5)；当a<0时，sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，2sinα＋cosα＝－eq\f(2,5).故2sinα＋cosα的值是eq\f(2,5)或－eq\f(2,5).3．已知角α的终边经过点P(5m,12)，且cosα＝－eq\f(5,13)，则m＝________.答案－1解析cosα＝－eq\f(5,13)<0，则α的终边在第二或第三象限，又点P的纵坐标是正数，所以α是第二象限角，所以m<0，由eq\f(5m,\r(25m2＋144))＝－eq\f(5,13)，解得m＝－1.4．已知角α终边上一点P(－eq\r(3)，y)，且sinα＝eq\f(\r(3),4)y，求cosα和tanα的值．解sinα＝eq\f(y,\r(3＋y2))＝eq\f(\r(3),4)y.当y＝0时，sinα＝0，cosα＝－1，tanα＝0.当y≠0时，由eq\f(y,\r(3＋y2))＝eq\f(\r(3),4)y，解得y＝±eq\f(\r(21),3).当y＝eq\f(\r(21),3)时，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(\r(21),3)))，r＝eq\f(4\r(3),3)，∴cosα＝－eq\f(3,4)，tanα＝－eq\f(\r(7),3).当y＝－eq\f(\r(21),3)时，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，－\f(\r(21),3)))，r＝eq\f(4\r(3),3)，∴cosα＝－eq\f(3,4)，tanα＝eq\f(\r(7),3).知识点二三角函数的符号5.若sinθ<cosθ，且sinθ·cosθ<0，则角θ的终边位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案D解析由sinθ·cosθ<0，可知sinθ，cosθ一正一负，又sinθ<cosθ，可知cosθ>0，sinθ<0，则θ为第四象限角，故选D．6．α是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)))＝－coseq\f(α,2)，则eq\f(α,2)所在象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案B解析因为α是第三象限角，所以2kπ＋π<α<2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z.所以kπ＋eq\f(π,2)<eq\f(α,2)<kπ＋eq\f(3π,4)，所以eq\f(α,2)在第二、四象限．又因为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)))＝－coseq\f(α,2)，所以coseq\f(α,2)<0，所以eq\f(α,2)在第二象限．7．当α为第二象限角时，eq\f(|sinα|,sinα)－eq\f(cosα,|cosα|)的值是()A．1 B．0C．2 D．－2答案C解析∵α为第二象限角，∴sinα>0，cosα<0.∴eq\f(|sinα|,sinα)－eq\f(cosα,|cosα|)＝eq\f(sinα,sinα)－eq\f(cosα,－cosα)＝2.8．已知eq\f(1,|sinα|)＝－eq\f(1,sinα)，且lg(cosα)有意义，则角α在第________象限．答案四解析由eq\f(1,|sinα|)＝－eq\f(1,sinα)，得sinα<0，由lg(cosα)有意义，可知cosα>0，所以α在第四象限.知识点三三角函数求值9.求下列各式的值．(1)coseq\f(25π,3)＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))；(2)sin420°cos750°＋sin(－690°)cos(－660°)．解(1)因为coseq\f(25π,3)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋8π))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,4)))＝taneq\f(π,4)＝1，所以coseq\f(25π,3)＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2).(2)因为sin420°＝sin(360°＋60°)＝sin60°＝eq\f(\r(3),2)，cos750°＝cos(2×360°＋30°)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)，sin(－690°)＝sin(－2×360°＋30°)＝sin30°＝eq\f(1,2)，cos(－660°)＝cos(－2×360°＋60°)＝cos60°＝eq\f(1,2)，所以sin420°cos750°＋sin(－690°)cos(－660°)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝1.一、选择题1．cos1110°的值为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2) D．－eq\f(\r(3),2)答案B解析cos1110°＝cos(3×360°＋30°)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2).2．若tanα>0，则()A．sinα>0 B．cosα>0C．sin2α>0 D．cos2α>0答案C解析因为tanα>0，所以α为第一或第三象限角，即2kπ<α<2kπ＋eq\f(π,2)或2kπ＋π<α<2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z.那么4kπ<2α<4kπ＋π或4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z.所以2α为第一或第二象限角或终边在y轴的非负半轴上，从而sin2α>0.3．已知角α终边上一点P的坐标是(2sin2，－2cos2)，则sinα等于()A．sin2 B．－sin2C．cos2 D．－cos2答案D解析因为r＝eq\r(2sin22＋－2cos22)＝2，由任意三角函数的定义，得sinα＝eq\f(y,r)＝－cos2.故选D．4．若点P(sinα，tanα)在第三象限，则角α是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角答案D解析因为点P(sinα，tanα)在第三象限，所以sinα<0，tanα<0，所以α是第四象限角，故选D．5．若角α的终边在直线y＝2x上，则sinα等于()A．±eq\f(1,5) B．±eq\f(\r(5),5)C．±eq\f(2\r(5),5) D．±eq\f(1,2)答案C解析当角α的终边在第一象限时，可设直线上一点P(1,2)，sinα＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)；当角α的终边在第三象限时，可设直线上一点P(－1，－2)，此时sinα＝eq\f(－2,\r(5))＝－eq\f(2\r(5),5)，∴sinα＝±eq\f(2\r(5),5).二、填空题6．如果角α的终边经过点(2sin30°，－2cos30°)，则sinα＝________.答案－eq\f(\r(3),2)解析所给点的坐标为(1，－eq\r(3))，故sinα＝－eq\f(\r(3),2).7．求值：coseq\f(13π,6)＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,3)))＝________.答案eq\f(3\r(3),2)解析原式＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,6)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(5π,3)))＝coseq\f(π,6)＋taneq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)＋eq\r(3)＝eq\f(3\r(3),2).8．已知α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sinα>0，cosα<0，则a的取值范围是________．答案(－2,3)解析∵α终边过(3a－9，a＋2)，则sinα＝eq\f(a＋2,\r(3a－92＋a＋22))>0，且cosα＝eq\f(3a－9,\r(3a－92＋a＋22))<0，即a＋2>0且3a－9<0，解得－2<a<3.三、解答题9．已知角α的终边落在直线y＝x上，求sinα，cosα，tanα的值．解当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P(1,1)，由r＝eq\r(2)，得sinα＝eq\f(\r(2),2)，cosα＝eq\f(\r(2),2)，tanα＝1；当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q(－1，－1)，由r＝eq\r(2)，得sinα＝－eq\f(\r(2),2)，cosα＝－eq\f(\r(2),2)，tanα＝1.10．计算：(1)sin390°＋cos(－660°)＋3tan405°－cos540°；(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,2)))＋tanπ－2cos0°＋taneq\f(9π,4)－sineq\f(7π,3).解(1)原式＝sin(360°＋30°)＋cos(－2×360°＋60°)＋3tan(360°＋45°)－cos(360°＋180°)＝sin30°＋cos60°＋3tan45°－cos180°＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋3×1－(－1)＝5.(2)原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,2)))＋tanπ－2cos0°＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,4)))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,3)))＝sineq\f(π,2)＋tanπ－2cos0°＋taneq\f(π,4)－sineq\f(π,3)＝1＋0－2＋1－eq\f(\r(3),2)＝－eq\f(\r(3),2).课时作业45同角三角函数的基本关系知识点一利用同角三角函数的基本关系求值1.若sinα＝eq\f(4,5)，且α是第二象限角，则cosα等于()A．－eq\f(3,5) B．eq\f(3,5)C．±eq\f(3,5) D．±eq\f(3,4)答案A解析由α是第二象限角，得cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2)＝－eq\f(3,5).2．已知sinα＋cosα＝eq\f(7,13)，α∈(0，π)，则tanα＝________.答案－eq\f(12,5)解析∵sinα＋cosα＝eq\f(7,13)，∴(sinα＋cosα)2＝eq\f(49,169)，即2sinαcosα＝－eq\f(120,169)<0，又α∈(0，π)，则sinα>0，cosα<0，∴α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，故sinα－cosα＝eq\r(sinα＋cosα2－4sinαcosα)＝eq\f(17,13)，可得sinα＝eq\f(12,13)，cosα＝－eq\f(5,13)，tanα＝－eq\f(12,5).3．已知sinα＝eq\f(4,5)，求cosα，tanα的值．解因为sinα>0，sinα≠1，所以α是第一或第二象限角．由sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1－sin2α＝eq\f(9,25).若α是第一象限角，则cosα>0，于是cosα＝eq\f(3,5)，从而tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(4,3)；若α是第二象限角，则cosα＝－eq\f(3,5)，tanα＝－eq\f(4,3).4．已知－eq\f(π,2)<x<0，sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，求下列各式的值．(1)sinx－cosx；(2)eq\f(1,cos2x－sin2x).解(1)∵sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，∴(sinx＋cosx)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2，即1＋2sinxcosx＝eq\f(1,25)，∴2sinxcosx＝－eq\f(24,25).∵(sinx－cosx)2＝sin2x－2sinxcosx＋cos2x＝1－2sinxcosx＝1＋eq\f(24,25)＝eq\f(49,25)，又－eq\f(π,2)<x<0，∴sinx<0，cosx>0，∴sinx－cosx<0，∴sinx－cosx＝－eq\f(7,5).(2)解法一：由已知条件及(1)，可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx＋cosx＝\f(1,5)，,sinx－cosx＝－\f(7,5)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx＝－\f(3,5)，,cosx＝\f(4,5)，))∴eq\f(1,cos2x－sin2x)＝eq\f(1,\f(16,25)－\f(9,25))＝eq\f(25,7).解法二：由已知条件及(1)，可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx＋cosx＝\f(1,5)，,sinx－cosx＝－\f(7,5)，))∴eq\f(1,cos2x－sin2x)＝eq\f(1,cosx＋sinxcosx－sinx)＝eq\f(1,\f(1,5)×\f(7,5))＝eq\f(25,7).5．已知tanα＝3，求下列各式的值：(1)eq\f(sin2α－2sinαcosα－cos2α,4cos2α－3sin2α)；(2)eq\f(3,4)sin2α＋eq\f(1,2)cos2α.解(1)∵tanα＝3，∴cosα≠0.原式的分子、分母同除以cos2α，得原式＝eq\f(tan2α－2tanα－1,4－3tan2α)＝eq\f(9－2×3－1,4－3×32)＝－eq\f(2,23).(2)原式＝eq\f(\f(3,4)sin2α＋\f(1,2)cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(\f(3,4)tan2α＋\f(1,2),tan2α＋1)＝eq\f(\f(3,4)×9＋\f(1,2),9＋1)＝eq\f(29,40).知识点二三角函数式的化简与证明6.化简：eq\f(cos36°－\r(1－cos236°),\r(1－2sin36°cos36°)).解原式＝eq\f(cos36°－sin36°,\r(sin236°＋cos236°－2sin36°cos36°))＝eq\f(cos36°－sin36°,\r(cos36°－sin36°2))＝eq\f(cos36°－sin36°,|cos36°－sin36°|)＝eq\f(cos36°－sin36°,cos36°－sin36°)＝1.7．求证：eq\f(1－2sin2xcos2x,cos22x－sin22x)＝eq\f(1－tan2x,1＋tan2x).证明左边＝eq\f(cos22x＋sin22x－2sin2xcos2x,cos22x－sin22x)＝eq\f(cos2x－sin2x2,cos2x－sin2xcos2x＋sin2x)＝eq\f(cos2x－sin2x,cos2x＋sin2x)＝eq\f(1－tan2x,1＋tan2x)＝右边．∴原等式成立．一、选择题1．化简eq\r(1－sin2160°)的结果是()A．cos160° B．±|cos160°|C．±cos160° D．－cos160°答案D解析eq\r(1－sin2160°)＝eq\r(cos2160°)＝|cos160°|＝－cos160°.2．已知sinα－cosα＝－eq\f(5,4)，则sinα·cosα等于()A．eq\f(\r(7),4) B．－eq\f(9,16)C．－eq\f(9,32) D．eq\f(9,32)答案C解析因为sinα－cosα＝－eq\f(5,4)，平方可得1－2sinαcosα＝eq\f(25,16)，所以2sinαcosα＝－eq\f(9,16)，即sinαcosα＝－eq\f(9,32).3．已知eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝2，则sinθcosθ的值是()A．eq\f(3,4) B．±eq\f(3,10)C．eq\f(3,10) D．－eq\f(3,10)答案C解析由条件得sinθ＋cosθ＝2sinθ－2cosθ，即3cosθ＝sinθ，tanθ＝3，∴sinθcosθ＝eq\f(sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tanθ,1＋tan2θ)＝eq\f(3,1＋32)＝eq\f(3,10).4．已知eq\f(1＋sinx,cosx)＝－eq\f(1,2)，那么eq\f(cosx,sinx－1)的值是()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．2 D．－2答案A解析因eq\f(1＋sinx,cosx)·eq\f(sinx－1,cosx)＝eq\f(sin2x－1,cos2x)＝－1，故eq\f(cosx,sinx－1)＝eq\f(1,2).5．若cosα＋2sinα＝eq\r(5)，则tanα＝()A．eq\f(1,2) B．2C．－eq\f(1,2) D．－2答案B解析解法一：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα＋2sinα＝\r(5)，,sin2α＋cos2α＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(2\r(5),5)，,cosα＝\f(\r(5),5)，))所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝2.解法二：∵cosα＋2sinα＝eq\r(5)，∴(cosα＋2sinα)2＝5，则eq\f(cosα＋2sinα2,sin2α＋cos2α)＝5，即eq\f(cos2α＋4sin2α＋4sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝5，∴eq\f(1＋4tan2α＋4tanα,1＋tan2α)＝5，解得tanα＝2.解法三：设tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝t，则sinα＝tcosα，代入题设cosα＋2sinα＝eq\r(5)，得sinα＝eq\f(\r(5)t,2t＋1)，cosα＝eq\f(\r(5),2t＋1)，又sin2α＋cos2α＝1，所以t＝2.解法四(秒杀解)：注意到本题中的勾股数为(1,2，eq\r(5))，因此可以用eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(5))，\f(2,\r(5))))代入条件式验证，注意到eq\f(1,\r(5))＋2×eq\f(2,\r(5))＝eq\r(5)，因此有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(2\r(5),5)，,cosα＝\f(\r(5),5)，))所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝2.二、填空题6．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1,3)，0<α<eq\f(π,2)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝________.答案eq\f(2\r(2),3)解析∵0<α<eq\f(π,2)，∴eq\f(π,4)<α＋eq\f(π,4)<eq\f(3π,4)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)＝eq\f(2\r(2),3).7．化简eq\f(cosθ,1＋cosθ)－eq\f(cosθ,1－cosθ)的结果是________．答案－eq\f(2,tan2θ)解析原式＝eq\f(cosθ－cos2θ－cosθ－cos2θ,1＋cosθ1－cosθ)＝eq\f(－2cos2θ,1－cos2θ)＝eq\f(－2cos2θ,sin2θ)＝－eq\f(2,tan2θ).8．在△ABC中，若tanA＝eq\f(\r(2),3)