极值点偏移问题（原卷版）

极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量色．1.已知函数f(x)图象的顶点的横坐标就是极值点x0，若f(x)＝c的两根的中点刚好满足eq\f(x1＋x2,2)＝x0，即极值点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏移，此时函数f(x)在x＝x0两侧，函数值变化快慢相同，如图(1)所示．2.若eq\f(x1＋x2,2)≠x0，则极值点偏移，此时函数f(x)在x＝x0两侧，函数值变化快慢不同，如图(2)(3)所示．图(1)(无偏移，左右对称，二次函数)若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝2x0图(2)(左陡右缓，极值点向左偏移)若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2>2x0图(3)(左缓右陡，极值点向右偏移)若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2<2x0

考法1对称构造法求极值点偏移问题【例1】(2022·启东模拟)已知函数，若有两个不同的零点、．证明：【解题指导】由→令→求导→由的单调性→函数求导→分析的单调性→得到结论【解析】由，得，令，则，由，得；由，得．所以在上单调递增，在上单调递减，由于、是方程的实根，不妨设，【技巧】不妨设，（只要证明一种情况即可）要证，只要证．由于在单调递减，故只要证，由于，故只要证，令，【技巧】对称构造则，因为，所以，，所以，即，所以，所以在上为增函数．所以，即有成立，所以．【例2】（2022·黑龙江·鹤岗一中高三期末）已知函数有两个不同的零点，求证：.【解题指导】→函数求导→分析的单调性→得到结论【解析】由题意，假设，要证明，只需证明.只需证，又.即只需证，构造函数.【卡壳点】对称构造法构造函数，所以在单调递减.，即成立，即所以原命题成立.【解题技法】对称变换求极值点偏移的三步骤第一步：求导，获得的单调性,极值情况,作出的图像,由得,的取值范围；第二步：构造辅助函数（对结论,构造；对结论,构造）,求导,限定范围（或的范围）,判定符号,获得不等式；第三步：代入（或）,利用及的单调性证明最终结论．【跟踪训练】（2022·山东省青岛二中高三模拟）已知函数，．（1）若函数有两个零点，求的取值范围；（2）设，是函数的两个零点，证明：．【解析】（1）由得，令，，由得，函数在单调递增，由得，函数在上单调递减，当时，函数有极小值同时也是最小值，，当时，，当时，，且，则要使有两个不同的零点，则，即当时，函数有两个零点．（2）证明：，是函数的两个零点，由图象知，且，不妨设，，则，令，则，当时，，此时在上为增函数，，即，即，，，，由（1）知，在上为减函数，，即．考法2消参减元法求极值点偏移问题【例3】已知函数,为常数,若函数有两个零点，试证明：【解题指导】由函数f(x)有两个零点x1、x2→lnx1﹣ax1＝0，lnx2﹣ax2＝0→→转化为证lnx1+lnx2＞2→lnx1+lnx2＝a（x1+x2）→证明（x1＞x2）→换元后利用导数得到证明．【解析】不妨设,∵,∴,∴,欲证明,即证.∵,∴即证,∴原命题等价于证明,即证：,令,【卡壳点】利用参数作为媒介消参，换元后构造新函数构造，在上单调递增，又（1），（1），，即．【例4】（2022届广东省普宁市高三期中）已知函数,存在,有成立,证明：．【解题指导】由→→令→转化为证lnx1+lnx2＞2→lnx1+lnx2＝a（x1+x2）→证明（x1＞x2）→换元后利用导数得到证明．【解析】设,由,∴,即．令,,则,即该函数在单调递增,∴,即,∴,∴．【点拨】注意要证,只需证明,令,即,只需证明,设,则在上,【卡壳点】利用参数作为媒介消参，换元后构造新函数∴在上单调递减,,即成立,∴,得证.【解题技法】含参数的极值点偏移问题,在原有的两个变元的基础上,又多了一个参数,故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数,从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介,构造出一个变元的新的函数.由于可导函数的极值点是的零点,也是方程的实根,所以有些与零点或方程实根有关的问题可以利用求解极值点偏移问题的方法去解决.【跟踪训练】已知函数有两个零点，．证明：．【解析】由题意得，令，两式相除得，变形得，欲证，即证，即证，记，，故在上单调递减，从而，即，所以，得证．考法3比（差）值换元法求极值点偏移问题【例5】已知函数，如果，且．证明：．【解题指导】函数求导→函数的单调性→由→→令→→→→函数→利用导数求得函数的单调性与最值→得到结论.【解析】由题意，函数，可得，当时，；当时，，可得函数在上单调递增，在上单调递减，因为，得，化简得…①，不妨设，可得，令，则，代入①式，可得，解得，则，故要证，即证，又因为，等价于证明：…②，构造函数，则，故在上单调递增，，从而也在上单调递增，，即证②式成立，也即原不等式成立．【例5】（2022·山东枣庄滕州一中高三模拟）已知f(x)＝xlnx－eq\f(1,2)mx2－x，若f(x)有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1x2＞e2(e为自然对数的底数)．【解题指导】f(x)求导→极值点为→→→→→→可证得结论.【解析】，在上存在两个极值点，且

且，即设，则要证，即证只需证明，即证明设，则则在上单调递增，即

【解题技法】比(差)值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之比(差)作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值或差值(一般用t表示)表示两个极值点，继而将所求解问题转化为关于t的函数问题．【跟踪训练】（2022届黑龙江省大庆市高三二模）已知函数，若有两个相异零点,求证：.【解析】因为有两个相异零点,,由（1）可知,,不妨设,因为,,所以,,所以,要证,即证,等价于证明,而,所以等价于证明,也就是.（*）令,则,于是欲证（*）成立,等价于证明成立,设函数,求导得,所以函数是上的增函数,所以,即成立,所以成立.模拟训练模拟训练1．（2023·山西晋中·统考二模）已知函数．(1)讨论在上的单调性；(2)若时，方程有两个不等实根，，求证：．2．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）已知函数(1)若时，求的最值；(2)若函数，且为的两个极值点，证明：3．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，证明：.4．（2022·湖南永州·统考一模）已知，(1)不等式对任意恒成立，求的取值范围；(2)当有两个极值点时，求证：.5．（2022·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）已知函数．(1)当时，证明；(2)若存在极值点，且对任意满足的，都有，求a的取值范围．6．（2022·江苏泰州·统考模拟预测）已知函数，其中a，b为常数，为自然对数底数，．(1)当时，若函数，求实数b的取值范围；(2)当时，若函数有两个极值点，，现有如下三个命题：①；②；③；请从①②③中任选一个进行证明．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）7．（2022·安徽淮北·统考一模）已知函数，(1)讨论函数的单调性；(2)若函数在上有两个不相等的零点，求证：.8．（2021·