你中有我动静相映

你中有我动静相映——谈“函数与方程思想”专题复习舒晓懿（湖北宜昌兴山一中）摘要：函数与方程思想是高中重要思想方法之一，针对学生理解障碍的分析，探讨帮助学生理解函数与方程思想方法的途径，使得学生能够把握这一思想方法的本质并能熟练应用这一思想方法求解数学试题。关键词：函数思想；方程思想；理解障碍；专题复习。1997年开始将数学思想方法正式列入《高考考试说明》之中，函数与方程的思想是中学数学的基本思想方法之一，也是历年高考考查的考查重点，以2012年湖北数学高考考试题为例：思想方法科别客观题（序号）解答题(序号)函数思想文科1、6、14、1718、22理科3、9、13、1417、19、22方程思想文科1、3、5、7、1220、21、22理科1、5、6、7、9、10、11、14、1618、21函数与方程思想的内涵及基本应用屡见报刊，文[1]有很好的讨论，本文不再赘述，本文主要从学生一些常见错误根源入手，来谈谈笔者的看法，愿与同行商榷。一、多元表征，把握实质——准确把握函数与方程思想应用的基础在函数应用中，很多学生狭隘的将定义为自变量，定义为变量；在方程应用中，学生片面的认为就是解方程、求零点等。关注所研究对象的非数学特征，对函数概念狭隘的理解，不能用联系和变化的观点抽象其数学本质，是学生不能很好理解函数与方程思想的根源。例1：（经典试题）设不等式对于满足的一切的值都成立，求的取值范围。解法一：（变换主元法）设则恒成立等价于：且所以解法二：（分离变量法）将不等式转化为或，再求解。变式1：设不等式对于满足的一切的值都成立，求的取值范围。例题解析及教学建议：对于解法1，众说纷纭：“此解法学生只停留在欣赏层面”、“此解法不具备通性，可以用分离变量法”（文[2]等）。。。。。。等等不一而足，但文[2]指出这些评论都没有回答一个事实：学生为何不能掌握这种解法？文[3]进生缺乏“变量的认识”——如把2x和y作为两个变量，可以把2x与y理解为方程的两个实根，见解法2；如把“2x+y”作为一个变量，就可以构建这一变量的函数，见解法1；缺乏“目标意识”——求“最大值”构造关于目标的函数是基本方法之一。现摘录其中两种解法：解法1：令得，代入已知条件得，②所以解得当且仅当即时右边等号成立；同理时左边等号成立。解法2：由得所以③的两个实根所以，后同解法1。（3）向量是高中数学的重要知识点,包含了代数(坐标运算)和几何(平行四边形法则、三角形法则)两方面知识，众多报刊对此进行了讨论。从学生反馈的情况来看，主要是在考虑几何意义求解时陷入困境的，下面仅展示其中三种代数解法：法1：由条件两边平方得④后解略。法2：以为原点，直线为轴建立直角坐标系转化为函数求解。法3：设，即所以变式3、（1）（08年天津理科）设，若仅有一个常数c使得对于任意的，都有满足方程，这时，的取值的集合为.（2）已知，判断三角形解的个数。例题解析及教学建议：“数学的发现的本质就在于做出正确的选择”（彭加勒语）。学生思维定势的形成与教师在教学中只注重试题解法的一招一式是分不开的，在数列教学中只选择数列方法，向量教学中反复训练几何意义，对于不同的解法只注重“呈现”，不讲明“为何这样思考”、“不同解法之间内在联系或者差异”，不能站在整个高中数学体系上对试题进行分拆、重组、构建，这是不利于学生思想方法形成。函数是分析和研究数量关系的一种数学模型，探索变量之间的数量关系和最值问题是高考常见的题型之一，解决这类问题的基本策略就是运用函数与方程思想。例3的载体虽然分别为数列、二元二次式、向量，但本质是函数与方程之间的互相转化，那么在解法中出现①、②、③、④这些同样的表达式就不是偶然的了。在二轮复习中，选择“形同质异”、“形异质同”变式题组帮助学生理解数学思想方法是可行的。可见，在二轮复习中教师要强化目标意识，在指导学生解题时，要引导学生思考：只能用试题本身体现的知识点求解吗？是否可以转化为其它方法如函数与方程思想方法求解？只有具备了目标意识，主动分析量之间对应关系，变式3（1）就可以构造关于的函数求解，变3（2）就可以构造关于的函数求解！看透实质才是解法的根源！三、图形为线，具体入微——准确把握函数与方程思想的互相转化是函数，是方程，这种相互转化关系是函数与方程思想具体体现，这种转化几乎渗透到高中数学的每一个章节，在每一年高考试题中都有大量的体现。例4（2012年高考山东理科）设函数若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是（）（A）当时,（B）当时,（C）当时,（D）当时,解法1：由，得，即。由题意，是方程的两个根，不妨设是方程的二重根。由三次方程根与系数的关系，得（也可以由待定系数法得）①且②由于均不为0，故由①式可得；由②式得与同号。（1）当时，（2）当时，解法2：,则方程与同解,故其有且仅有两个不同零点。由得或。结合三次函数图像得或,因为，所以解得.不妨设,则，故,比较系数得,故。所以,由此知。解法3:令可得.设不妨设,结合图形可知,当时如右图,此时,即,此时,，即;同理可由图形经过推理可得当时.答案选B.变式4：（1）（2012年高考浙江理科）设aR,若x>0时均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,则a=______________。（2）（2006年高考湖北理科）关于的方程，给出下列四个命题：①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根；其中假命题的个数是(A)0(B)1(C)2(D)3例题解析及教学建议：例4是山东卷理科选择题的压轴题，以反比例函数与二次函数为素材，考察两个函数图像有且仅有两个交点的问题，入手较宽（文[6]）。部分文章认为解法1、2计算量大，“属于下策”，这说明部份教师对解法的选取多倾向技巧性，对于计算量较大的往往不加分析利弊就舍弃。将函数图像交点问题转化为方程根的问题是解决此类问题的通法，解法1利用根与系数的关系求解（实质就是一种函数关系），抓住了问题的本质，深刻展示了函数与方程的思想方法；解法2借助于“导数”这个强大的工具，将图像的交点转化为方程的根，再一次将方程的根又转化为图像的交点，深刻体现了“思想搭台、图形为线”的函数与方程思想！特别是函数问题借助“导数”这一重要工具，更增添了函数与方程思想的活力；中含有两个参数，使得函数图像变化丰富，难于有效的利用数形结合求解，解法3巧妙的将方程转化为方程，再转化为相应图像的交点，调整结构，重新构造函数求解方程，很好的体现了函数与方程思想。试题的“巧解”、“妙解”、“美解”，只有建立在通法分析的基础上得出才具有生命力，故变式4（1）可以将解含参数的不等式问题转化为比较两个函数图像的位置，变式4（2）通过换元将方程的根转化为图像的交点。在“等”与“不等”的转化中，在函数图像交点与方程根的个数的转化中，以图形为“媒”，不正是函数与方程思想完美的体现吗？！四、动静相映，你中有我——融会贯通函数与方程思想的本质联系在高考试题中解析几何、函数与不等式等已成为压轴题的首选。对解析几何的考察，主要是直线与圆锥曲线的位置关系，往往借助一元二次方程的韦达定理化简求解，涉及到圆锥曲线上的动点在某个条件下的变化过程中相互联系、相互制约的关系，则可构成函数关系，然后应用函数方程思想方法求解。学生对解析几何有畏惧情绪，除了计算能力差以外，不能准确将条件转化为方程和函数关系仍然是主要根源。例5：（2012年高考湖北理科）设是单位圆上的任意一点,是过点与轴垂直的直线,是直线与轴的交点,点在直线上,且满足.当点在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线.(Ⅰ)求曲线的方程,判断曲线为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;(Ⅱ)过原点且斜率为的直线交曲线于,两点,其中在第一象限,它在轴上的射影为点,直线交曲线于另一点.是否存在,使得对任意的,都有?若存在,求的值;若不存在,请说明理由。解(Ⅰ)如图1,设,,则由,可得,,所以,.①因为点在单位圆上运动,所以.②将①式代入②式即得所求曲线的方程为.因为,所以当时,曲线是焦点在轴上的椭圆,两焦点坐标分别为,;当时,曲线是焦点在轴上的椭圆,两焦点坐标分别为,.(Ⅱ)解法1:如图2、3,,设,,则,,直线的方程为,将其代入椭圆的方程并整理可得.依题意可知此方程的两根为,,于是由韦达定理可得,即.因为点H在直线QN上,所以.于是,.而等价于,即,又,得,图2图3图1ODxyAM故存在,使得在其对应的椭圆上,对任意的,都有图2图3图1ODxyAM解法2:如图2、3,,设,,则,,因为,两点在椭圆上,所以两式相减可得.③依题意,由点在第一象限可知,点也在第一象限,且,不重合,故.于是由③式可得.④又,,三点共线,所以,即.于是由④式可得.而等价于,即,又,得,故存在,使得在其对应的椭圆上,对任意的,都有。变式5：（1）（2012年高考湖南文科）已知函数f(x)=ex-ax,其中a>0.①若对一切x∈R,f(x)1恒成立,求a的取值集合；②在函数f(x)的图像上去定点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为k,证明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立。（2）（2012年高考湖南理科）已知函数=,其中a≠0.①若对一切x∈R,≥1恒成立,求a的取值集合.②在函数的图像上取定两点,,记直线AB的斜率为K,问:是否存在x0∈(x1,x2),使成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.例题解析及教学建议：在例5的解题过程中涉及到的转化有：①“是单位圆上的任意一点”——点坐标满足圆方程；②“是直线与轴的交点”——令解方程；③“点在直线上”——点坐标满足直线方程；④“.”——根据距离公式构建方程；⑤“当点在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线”——变化：目标函数；⑥“过原点且斜率为的直线交曲线于,两点”——方程有两解或,两点坐标满足曲线的方程；⑦“直线交曲线于另一点”——方程求根；⑧“”——构建方程；对第二问的解答方法的不同只是对条件“过原点且斜率为的直线交曲线于,两点”的不同解读而已。直线与圆锥曲线的位置关系是高中数学一个教学难点，简单地将解法归纳为某一模式或某一种思想方法都是有失偏颇的，只有对所给的问题观察、分析、转化以达到理解思想方法的实质，才能使学生准确把握思想方法，才能激发学生自觉创造的能力。从例5的8组转化来看，在高三的第二轮复习中，要紧紧抓住“函数与方程”这一数学思想的主线，不断的加以渗透，使学生切实把握这一思想的内涵。方程中有函数，函数中有方程，例5的求解以及变式5文理科的第（2）问的对比求解，很好的诠释了方程与函数“动静相依、你中有