2017学年高中数学人教A版必修4示范教案：第三章第二节简单的三角恒等变换（第一课时）Word版含解析

第三章第二节简单的三角恒等变换第一课时作者：房增凤eq\o(\s\up7(),\s\do5(整体设计))教学分析本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．本节的内容都是用例题来展现的，通过例题的解答，引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上，从而使三角函数性质的研究得到延伸．三角恒等变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一．而对于三角变换，不仅要考虑三角函数式结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换．从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点．三维目标1．通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力．2．理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变换在数学中的应用．3．通过例题的解答，引导学生对变换对象进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．重点难点教学重点：1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练．2．三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．课时安排2课时eq\o(\s\up7(),\s\do5(教学过程))第1课时导入新课思路1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换．前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和(差)角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换．思路2.三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换．学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点．推进新课eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出问题))①α与有什么关系？②如何建立cosα与sin2之间的关系？③sin2＝，cos2＝，tan2＝这三个式子有什么共同特点？④通过上面的三个问题，你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗？⑤证明1sinαcosβ＝[sinα＋β＋sinα－β]；2sinθ＋sinφ＝2sincos.并观察这两个式子的左右两边在结构形式上有何不同？活动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cosα＝1－2sin2eq\f(α,2)，将公式中的α用eq\f(α,2)代替，解出sin2eq\f(α,2)即可．教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：α是eq\f(α,2)的二倍角．在倍角公式cos2α＝1－2sin2α中，以α代替2α，以eq\f(α,2)代替α，即得cosα＝1－2sin2eq\f(α,2)，所以sin2eq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,2).①在倍角公式cos2α＝2cos2α－1中，以α代替2α，以eq\f(α,2)代替α，即得cosα＝2cos2eq\f(α,2)－1，所以cos2eq\f(α,2)＝eq\f(1＋cosα,2).②将①②两个等式的左右两边分别相除，即得tan2eq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,1＋cosα).③教师引导学生观察上面的①②③式，可让学生总结出下列特点：(1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数；(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的)．教师与学生一起总结出这样的特点，并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到．提醒学生在以后的学习中引起注意．同时还要强调，本例的结果还可表示为：sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))，taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))，并称之为半角公式(不要求记忆)，符号由eq\f(α,2)所在象限决定．对于问题⑤：(1)如果从右边出发，仅利用和(差)的正弦公式作展开合并，就会得出左式．但为了更好地发挥本例的训练功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，引导学生思考，哪些公式包含sinαcosβ呢？想到sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.从方程角度看这个等式，sinαcosβ，cosαsinβ分别看成两个未知数．二元方程要求得确定解，必须有2个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包含sinαcosβ的公式，列出sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ后，解相应的以sinαcosβ，cosαsinβ为未知数的二元一次方程组，就容易得到所需要的结果．(2)由(1)得到以和的形式表示的积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与(1)没有什么区别．只需做个变换，令α＋β＝θ，α－β＝φ，则α＝eq\f(θ＋φ,2)，β＝eq\f(θ－φ,2)，代入(1)中的式子即得(2)中的式子．证明：(1)因为sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ，即sinαcosβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．(2)由(1)，可得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ.①设α＋β＝θ，α－β＝φ，那么α＝eq\f(θ＋φ,2)，β＝eq\f(θ－φ,2).把α，β的值代入①，即得sinθ＋sinφ＝2sineq\f(θ＋φ,2)coseq\f(θ－φ,2).教师给学生适时引导，指出这两个方程所用到的数学思想，可以总结出在本例的证明过程中用到了换元的思想，如把α＋β看作θ，α－β看作φ，从而把包含α，β的三角函数式变换成θ，φ的三角函数式．另外，把sinαcosβ看作x，cosαsinβ看作y，把等式看作x，y的方程，通过解方程求得x，这就是方程思想的体现．讨论结果：①α是eq\f(α,2)的二倍角．②sin2eq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,2).③④⑤略(见活动)．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(应用示例))思路1例1化简eq\f(1＋sinx－cosx,1＋sinx＋cosx).活动：此题考查公式的应用，利用倍角公式进行化简解题．教师提醒学生注意半角公式和倍角公式的区别，它们的功能各异，本质相同，具有对立统一的关系．解：原式＝eq\f(2sin2\f(x,2)＋2sin\f(x,2)cos\f(x,2),2cos2\f(x,2)＋2sin\f(x,2)cos\f(x,2))＝eq\f(2sin\f(x,2)sin\f(x,2)＋cos\f(x,2),2cos\f(x,2)cos\f(x,2)＋sin\f(x,2))＝taneq\f(x,2).点评：本题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系.变式训练化简sin50°(1＋eq\r(3)tan10°)．解：原式＝sin50°(1＋eq\f(\r(3)sin10°,cos10°))＝sin50°·eq\f(2\f(1,2)cos10°＋\f(\r(3),2)sin10°,cos10°)＝2sin50°·eq\f(sin30°cos10°＋cos30°sin10°,cos10°)＝2cos40°·eq\f(sin40°,cos10°)＝eq\f(sin80°,cos10°)＝eq\f(cos10°,cos10°)＝1.例2已知sinx－cosx＝eq\f(1,2)，求sin3x－cos3x的值．活动：教师引导学生利用立方差公式对原式变换化简，然后再求解．由于(a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3＝a3－b3－3ab(a－b)，∴a3－b3＝(a－b)3＋3ab(a－b)．解完此题后，教师引导学生深挖本例的思想方法，由sinx·cosx与sinx±cosx之间的转化，提升学生的运算、化简能力及整体代换思想．本题也可直接应用上述公式求之，即sin3x－cos3x＝(sinx－cosx)3＋3sinxcosx(sinx－cosx)＝eq\f(11,16).此方法往往适用于sin3x±cos3x的化简问题之中．解：由sinx－cosx＝eq\f(1,2)，得(sinx－cosx)2＝eq\f(1,4)，即1－2sinxcosx＝eq\f(1,4)，∴sinxcosx＝eq\f(3,8).∴sin3x－cos3x＝(sinx－cosx)(sin2x＋sinxcosx＋cos2x)＝eq\f(1,2)(1＋eq\f(3,8))＝eq\f(11,16).点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值，注意公式的灵活运用和化简的方法.变式训练已知sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，且eq\f(π,2)≤θ≤eq\f(3π,4)，则cos2θ的值是__________．答案：－eq\f(7,25)例3已知eq\f(cos4A,cos2B)＋eq\f(sin4A,sin2B)＝1，求证：eq\f(cos4B,cos2A)＋eq\f(sin4B,sin2A)＝1.活动：此题可从多个角度进行探究，由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致，只是将A，B的位置互换了，因此应从所给的条件等式入手，而条件等式中含有A，B角的正、余弦，可利用平方关系来减少函数的种类．从结构上看，已知条件是a2＋b2＝1的形式，可利用三角代换．证明一：∵eq\f(cos4A,cos2B)＋eq\f(sin4A,sin2B)＝1，∴cos4A·sin2B＋sin4A·cos2B＝sin2B·cos2∴cos4A(1－cos2B)＋sin4A·cos2B＝(1－cos2B)cos2即cos4A－cos2B(cos4A－sin4A)＝cos2B－cos4B.∴cos4A－2cos2Acos2B＋cos4B＝∴(cos2A－cos2B)2＝∴cos2A＝cos2B∴sin2A＝sin2B∴eq\f(cos4B,cos2A)＋eq\f(sin4B,sin2A)＝cos2B＋sin2B＝1.证明二：令eq\f(cos2A,cosB)＝cosα，eq\f(sin2A,sinB)＝sinα，则cos2A＝cosBcosα，sin2A＝sinBsinα.两式相加，得1＝cosBcosα＋sinBsinα，即cos(B－α)＝1.∴B－α＝2kπ(k∈Z)，即B＝2kπ＋α(k∈Z)．∴cosα＝cosB，sinα＝sinB.∴cos2A＝cosBcosα＝cos2B，sin2A＝sinBsinα＝sin2∴eq\f(cos4B,cos2A)＋eq\f(sin4B,sin2A)＝eq\f(cos4B,cos2B)＋eq\f(sin4B,sin2B)＝cos2B＋sin2B＝1.点评：要善于从不同的角度来观察问题，本例从角与函数的种类两方面观察，利用平方关系进行了合理消元.变式训练在锐角三角形ABC中，A、B、C是它的三个内角，记S＝eq\f(1,1＋tanA)＋eq\f(1,1＋tanB)，求证：S<1.证明：∵S＝eq\f(1＋tanA＋1＋tanB,1＋tanA1＋tanB)＝eq\f(1＋tanA＋tanB＋1,1＋tanA＋tanB＋tanAtanB)又A＋B>90°，∴90°>A>90°－B>0°.∴tanA>tan(90°－B)＝cotB>0，∴tanA·tanB>1.∴S<1.思路2例1证明eq\f(1＋sinx,cosx)＝tan(eq\f(π,4)＋eq\f(x,2))．活动：解：方法一：从右边入手，切化弦，得tan(eq\f(π,4)＋eq\f(x,2))＝eq\f(sin\f(π,4)＋\f(x,2),cos\f(π,4)＋\f(x,2))＝eq\f(sin\f(π,4)cos\f(x,2)＋cos\f(π,4)sin\f(x,2),cos\f(π,4)cos\f(x,2)－sin\f(π,4)sin\f(x,2))＝eq\f(cos\f(x,2)＋sin\f(x,2),cos\f(x,2)－sin\f(x,2))，由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以coseq\f(x,2)＋sineq\f(x,2)，得eq\f(cos\f(x,2)＋sin\f(x,2)2,cos\f(x,2)＋sin\f(x,2)cos\f(x,2)－sin\f(x,2))＝eq\f(1＋sinx,cosx).方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得eq\f(1＋sinx,cosx)＝eq\f(cos\f(x,2)＋sin\f(x,2)2,cos\f(x,2)＋sin\f(x,2)cos\f(x,2)－sin\f(x,2))＝eq\f(cos\f(x,2)＋sin\f(x,2),cos\f(x,2)－sin\f(x,2)).由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以coseq\f(x,2)，得eq\f(1＋tan\f(x,2),1－tan\f(x,2))＝eq\f(tan\f(π,4)＋tan\f(x,2),1－tan\f(π,4)tan\f(x,2))＝tan(eq\f(π,4)＋eq\f(x,2))．点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法.变式训练已知α，β∈(0，eq\f(π,2))且满足：3sin2α＋2sin2β＝1,3sin2α－2sin2β＝0，求α＋2β的值．解法一：3sin2α＋2sin2β＝1⇒3sin2α＝1－2sin2β，即3sin2α＝cos2β，①3sin2α－2sin2β＝0⇒3sinαcosα＝sin2β，②①2＋②2：9sin4α＋9sin2αcos2α＝1，即9sin2α(sin2α＋cos2α)＝1，∴sin2α＝eq\f(1,9).∵α∈(0，eq\f(π,2))，∴sinα＝eq\f(1,3).∴sin(α＋2β)＝sinαcos2β＋cosαsin2β＝sinα·3sin2α＋cosα·3sinαcosα＝3sinα(sin2α＋cos2α)＝3×eq\f(1,3)＝1.∵α，β∈(0，eq\f(π,2))，∴α＋2β∈(0，eq\f(3π,2))．∴α＋2β＝eq\f(π,2).解法二：3sin2α＋2sin2β＝1⇒cos2β＝1－2sin2β＝3sin2α，3sin2α－2sin2β＝0⇒sin2β＝eq\f(3,2)sin2α＝3sinαcosα，∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝cosα·3sin2α－sinα·3sinαcosα＝0.∵α，β∈(0，eq\f(π,2))，∴α＋2β∈(0，eq\f(3π,2))．∴α＋2β＝eq\f(π,2).解法三：由已知3sin2α＝cos2β，eq\f(3,2)sin2α＝sin2β，两式相除，得tanα＝cot2β，∴tanα＝tan(eq\f(π,2)－2β)．∵α∈(0，eq\f(π,2))，∴tanα>0.∴tan(eq\f(π,2)－2β)>0.又∵β∈(0，eq\f(π,2))，∴－eq\f(π,2)<eq\f(π,2)－2β<eq\f(π,2).结合tan(eq\f(π,2)－2β)>0，得0<eq\f(π,2)－2β<eq\f(π,2).∴由tanα＝tan(eq\f(π,2)－2β)，得α＝eq\f(π,2)－2β，即α＋2β＝eq\f(π,2).例2求证：eq\f(sinα＋βsinα－β,sin2αcos2β)＝1－eq\f(tan2β,tan2α).活动：证明三角恒等式，一般要遵循“由繁到简”的原则，另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法．证明：证法一：左边＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ,sin2αcos2β)＝eq\f(sin2αcos2β－cos2αsin2β,sin2αcos2β)＝1－eq\f(cos2αsin2β,sin2αcos2β)＝1－eq\f(tan2β,tan2α)＝右边．∴原式成立．证法二：右边＝1－eq\f(cos2αsin2β,sin2αcos2β)＝eq\f(sin2αcos2β－cos2αsin2β,sin2αcos2β)＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ,sin2αcos2β)＝eq\f(sinα＋βsinα－β,sin2αcos2β)＝左边．∴原式成立．点评：此题进一步训练学生三角恒等式的变形，灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑推理能力.变式训练求证：eq\f(1＋sin4θ－cos4θ,2tanθ)＝eq\f(1＋sin4θ＋cos4θ,1－tan2θ).分析：运用比例的基本性质，可以发现原式等价于eq\f(1＋sin4θ－cos4θ,1＋sin4θ＋cos4θ)＝eq\f(2tanθ,1－tan2θ)，此式右边就是tan2θ.证明：原等式等价于eq\f(1＋sin4θ－cos4θ,1＋sin4θ＋cos4θ)＝tan2θ.而上式左边＝eq\f(sin4θ＋1－cos4θ,sin4θ＋1＋cos4θ)＝eq\f(2sin2θcos2θ＋2sin22θ,2sin2θcos2θ＋2cos22θ)＝eq\f(2sin2θcos2θ＋sin2θ,2cos2θsin2θ＋cos2θ)＝tan2θ＝右边．∴上式成立，即原等式得证.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能训练))1．若sinα＝eq\f(5,13)，α在第二象限，则taneq\f(α,2)的值为()A．5B．－5C.