直线与圆的位置关系 市赛获奖

25.5直线与圆的位置关系（第3课时）切线长概念经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。如图，P是⊙O外一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点,我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长.OPAB

切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；

切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。切线和切线长OPAB··oo′p1.连结OP2.以OP为直径作⊙O′，与⊙O交于A、B两点。AB即直线PA、PB为⊙O的切线

如图，已知⊙O外一点P，你能用尺规过点P作⊙O的切线吗？通过作图你能发现什么呢？观察实验1.过圆外一点作圆的切线可以作两条2.点A和点B关于直线OP对称说明经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。切线长是一条线段·opAB如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点。如果连结OA、OB、OP，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？探究∵PA、PB是⊙O的切线，

A、B为切点∴OA⊥PA，OB⊥PB又∵OA＝OB，OP＝OP∴Rt△AOP≌Rt△BOP∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO结论切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。·opAB符号语言∵PA、PB是⊙O的切线，

A、B为切点∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO猜想如图，若连接AB，则OP与AB有什么关系？分析∵PA、PB是⊙O的切线，

A、B为切点∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO∴OP⊥AB，且OP平分ABCD归纳从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线垂直平分切点所成的弦；平分切点所成的弧。AD与BD相等吗？⌒⌒我们学过的切线，常有五个性质：1、切线和圆只有一个公共点；2、切线和圆心的距离等于圆的半径；3、切线垂直于过切点的半径；4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。六个例1已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C.（1）写出图中所有的垂直关系；（2）写出图中所有的全等三角形.（3）如果PA=4cm,PD=2cm,求半径OA的长.AOCDPBE解：(1)OA⊥PA,OB⊥PB,OP⊥AB(2)△OAP≌△OBP,△OCA≌△OCB△ACP≌△BCP.(3)设OA=xcm,则PO=PD+x=2+x(cm)

在Rt△OAP中，由勾股定理，得

PA2+OA2=OP2

即42+x2=(x+2)2

解得x=3cm

所以，半径OA的长为3cm.利用切线长定理进行计算·P·OABc如图，P为⊙O

外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，OP交⊙O于C，若PA＝6，PC＝2，求⊙O的半径OA及两切线PA、PB的夹角。解：连接OA、AC，则OA⊥AP在Rt△AOP中，设OA＝x则OP＝x＋2∴OA2＋PA2＝OP2即x2＋62＝（x＋2）2解得x＝2，即OA＝OC＝2∴OP＝4

在Rt△AOP中，OP＝2OA∴∠APO＝30°∵PA、PB是⊙O的切线∴∠APB＝2∠APO＝60°∴⊙O的半径为2，两切线的夹角为60°例2利用切线长定理进行证明·ABCDEO21例3如图，已知：在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆交AB于点E，交AC与点D。求证：DE∥OC证明：连接ＢＤ．∵∠ＡＢＣ