浙江省杭州市四校2023-2024学年高二上学期10月联考数学试题

2023学年第一学期高二年级10月四校联考数学学科试题卷考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.直线的斜率与y轴上的截距分别为（）A. B. C. D.2.如果一个复数的实部与虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数为“等部复数”，则实数a的值为（）A.-1 B.1 C.2 D.-23.平面，互相平行的一个充分条件是（）A.，都垂直于同一平面 B.某一直线与，所成角相等C.，都平行于同一直线 D.，都垂直于同一直线4.已知直三棱柱，，，那么异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.5.设非零向量和的夹角为，定义运算：.已知，，则（）A.2 B. C.3 D.6.点在圆上运动，则的取值范围（）A. B. C. D.7.在中，，，点C在直线上运动，则内切圆的半径的最大值是（）A. B. C. D.8.在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则该三棱锥外接球半径是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知实数，，那么（）A. B. C. D.10.已知圆台的上底半径为1，下底半径为3，球O与圆台的两个底面和侧面都相切，则（）A.圆台的母线长为4 B.圆台的高为4C.圆台的表面积为 D.球O的表面积为11.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，事件“两枚硬币朝上的面相同”，事件“两枚硬币朝上的面不同”，则（）A.事件A和B互斥 B.事件C和D互斥C.事件A和B相互独立 D.事件C和D相互独立12.过抛物线上一点P作圆C：的两条切线，切点为E，F，则（）A.使的点P共有2个B.既有最大值又有最小值C.使四边形面积最小的点P有且只有一个D.直线过定点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在空间直角坐标系中，若，，且，则.14.设，若函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围是______.15.直线l：与圆C：交A，B两点，若D为圆C上一点，且为等边三角形，则r的值为______.16.若关于x的方程；在上有实数根，则的最小值是______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）如图，已知平面，底面为正方形，，M，N分别为，的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.18.（12分）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且.（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若，求边上高的最大值.19.（12分）已知为过点的指数函数，为定义域为R的奇函数.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围.20.（12分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）求样本成绩的第75百分位数；（Ⅲ）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.21.（12分）设抛物线与两坐标轴的交点分别记为M，N，G，曲线C是经过这三点的圆.（Ⅰ）求圆C的方程.（Ⅱ）过作直线l与圆C相交于A，B两点，（i）用坐标法证明：是定值.（ii）设，求的最大值.22.（12分）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，在锐角三角形中，.（Ⅰ）点E满足，试确定的值，使得直线平面，并说明理由.（Ⅱ）当的长为何值时，直线与平面所成的角的正弦值为.高二数学参考答案一、选择题BCDACBDC二、多选题9.BC 10.ACD 11.BC 12.AC三、填空题13. 14. 15. 16.17.答案：解：（1）取的中点，连接，，又为的中点，为的中点，，又，，所以四边形为平行四边形，所以平面，，又平面，又，为的中点，平面，平面（2）以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间坐标系，则，，，平面的法向量，平面的法向量平面与平面所成锐二面角的余弦值为18.得到：，算得，进而，（2）由（1）及余弦定理得：，，当且仅当时等号成立（含当且仅当1分）设边上的高为，又，.备注：（2）问：画外接圆，当为正三角形时，边上高最大，最大值为19.略20.（1）利用每组小矩形的面积之和为1可得，，解得（2）成绩落在内的频率为，落在内的频率为，设第75百分位数为，由，得，故第75百分位数为84；（3）由图可知，成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为，故；由样本方差计算总体方差公式可得总方差为21.解：（I）算对圆方程，直接给4分；若圆方程有误，，给2分，若不对，但有，给1分，半径对给2分.其中（i）若设点斜式方程，并验证斜率不存在也符合，正确的给4分；联立方程与韦达定理合计；（i）若只用圆切割线定理，得到正确结果，给2分（ii）利用基本不等式求最大值，正确给2分；（ii）方法二：设中点为，利用中线公式：方法二：记关于t的方程有实数根，利用（未验证即扣1分）22.（1）时，平面，证明如下：连接，与交于点，因为，所以，面，平面.（2）直线与平面所