正余弦定理高考真题.教学文稿

资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除wordword可编辑高一〔下〕数学〔必修五〕第一章 解三角形正弦定理、余弦定理高考真题

cbq(baca),假设p(a(A)p(a6 3

2

C的大小为p//qp//q,则角1、〔06湖北卷〕假设ABCA满足sin2A2

，则sinAcosA

【解析】p//q(ac)(cab(bab2a2c2ab，利用余弦定理可得15A. B．15

315C．515

D．5

2cosC1，即cosC12

C3

，应选择答案B。3 3 3

3 【点评】此题考察了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角sin2A＝2sinAcosA0，可知AsinA＋cosA0，又(sinAcosA)21sin2A5，应选A3

函数，同时着重考察了同学们的运算力量。4、〔06辽宁卷〕等腰△ABC的腰为底的2A

的正切值是2、〔06安徽卷〕假设ABC

的三个内角的余弦值分别等于ABC

的三个 〔 〕11 1内角的正弦值，则

2 2 2

Ａ． Ｂ．33233

Ｃ． Ｄ．15158 71515ABC

和ABC

都是锐角三角形15151511 1151515

2 2 2

2tanA 2ABC

和ABC

都是钝角三角形

解：依题意，结合图形可得

tanA

，故tanA 2

15 ，11 1

2 2 2

2 15

A 15 7ABC

ABC

是锐角三角形

1tan2

2 1(15)211 1 2 2 2ABC

ABC

是钝角三角形 选D11 1 2 2 2AB

的三个内角的余弦值均大于AB

ABC

5〔06全国卷I〕ABCABCabab、11 1

11 1

2 2 2sinAcosAsin(A) A A 2 1

22 2 12

cc2a，则cosB22是锐角三角形，由sinB22

cosB

sin(

B，得B

B

，那么， 2

2 1 2 2 1

A．1 C． D．4 4 4 3sinC

cosC212

sin( C) C2 1

C2 1

中，a、b、c成等比数列，且

，则b= a，ABC2 2

，所以ABC2 2 2

是钝角三角形。应选D。

ABCcosBa2c2b2

=a24a22a2

c2a3，选B.3、〔06辽宁卷〕ABCABC所对边的长分别为abc设向量

2ac

4a2 4资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除wordword可编辑06山东卷ABCC的对边分别为abc=3

,a=

,b=1，

由余弦定理可解得B的大小为.33c=3(A)1 〔B〕2 〔C〕

3—1 〔D〕3

9、〔06湖北卷〕在ABC中，a

，b＝4，A＝30°，则sinB＝3 343 33sinB＝132

.323故c＝2，选B7、〔06四川卷〕abc分别是ABC的三个内角ABC所对的边，则a2bbcA2B的〔A〕充要条件 〔B〕充分而不必要条件〔C〕必要而充分条件 〔D〕既不充分又不必要条件

解：由正弦定理易得结论sinB＝ 。32310、〔06江苏卷〕在△ABC中，BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝【思路点拨】此题主要考察解三角形的根本学问解析：设abc分别是ABCABC所对的边，假设a2bbc，则 ，则1cos2a 1cos2B ，

【正确解答】由正弦定理得， ACsin45

BC AC46sin606sin2AsinB(sinBsinC)

sinBsinC2 2

【解后反思】解三角形：两角及任一边运用正弦定理，两边及其∴1(cos2Bcos2A)sinBsinC，sin(BA)sin(AB)sinBsinC，2又sin(AB)sinC，∴sin(AB)sinB，∴ABBA2B，假设△ABC中，A2B，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到

夹角运用余弦定理11〔06全国II〕△ABCABCAB＝1，a2bbc，所以a2b

bc是

A2B

的充要条件，选A.

BC＝4，则边BC上的中线AD的长为 ．解析:由ABC的三个内角ABC成等差数列可得A+C=2B而A+B+C=可得B8、〔06北京卷〕在ABC中，假设sinA:sinB:sinC5:7:8，则B的大小是 .解：sinA:sinB:sinC5:7:8abc＝578设a＝5k，b＝7k，c＝8k，

33AD为边BC上的中线可知BD=2,由余弦定理定理可得AD 。3此题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等。12、〔06上海春〕在△ABC中，BC8, AC5，三角形面积为12，则cos2C .

sinA ，2 232 2解：由三角形面积公式，得

BCCAsinC20sinC12，即sinC3．12512

tan2

BC727

sin2

A的值；2227于是cos2C12sin2C725

25．

〔2〕假设a2，S △ABC

，求b的值．13〔06湖南卷如图3,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=,Aαβ∠ABC=Aαβ

解：〔1〕由于锐角△ABC中，A＋B＋C＝sinA则

，所以cosA＝1，2 23 32 2

sin

cos2

0;

B 图 D C

tan2

2

＋sin2

A sin2＝2 cos2

B＋C2 ＋sin2AB＋C 22假设AC=

DC,求的值.

－cs

B＋C〕1

1＋cosA 1 73＝ ＋＝3解：(13，(2)2

,sinsin(2)cos2，

1＋cos〔B＋C〕2

1－cosA 3 32 2 2

〔2〕由于S

＝2，又S

＝1bcsinA＝1bc

，则bc＝3。2 2ABC2 2

ABC 2 2 3即sincos20．〔2〕．在ABC中，由正弦定理得

将a＝2，cosA＝13

，c＝3b

a2＝b2＋c2－2bccosA中得DC3DCsin3DC

AC DCsin(),sin

sin.sin

3sin

b4－6b2＋9＝03解得b＝3A15、〔06江西卷〕如图，△ABC是边长为1的正 三角形，由(1)得sincos2，sin即

cos2 3(12sin2),333．333

M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN 经过 N△ABC的中心G， M32 3sin2sin3

0.解得sin

或sin2 3

设MGA＝〔3

2〕3

B D C30302

.2 3

〔1〕试将△AGM、△AGN的面积〔分别记为S1

与S〕表示为的函数214、〔06江西卷〕在锐角△ABCA，B，C所对的边分别为a，b，c，〔2〕求y＝1

1 的最大值与最小值

当sinA=1

π,即A= 时

取得最大值为3S2 S2

2 2

,cosA+2cos 2 21 2解：〔1〕由于G1的正三角形ABC的中心，

17、〔06全国II〕在ABC中，B45,AC 10,cosC ,求332 5所以 AG＝2 ＝332 53 2 3

，MAG＝，6

5〔1〕BC?由正弦定理GM＝

得GM＝

(2)假设点D是AB的中点，求中线CD的长度。3sin sin 3

〔－－〕2 556 6 62 55

解：〔1〕由cosC

得sinC1则S＝11

GMGAsin＝ sin

同理可求得S＝ 5 52 12sin

2 sinAsin(18045C)

(cosCsinC)sin12sin〔－〕6

〔＋〕6

由正弦定理知BC ACsinB

2 1023103102sinA 10 231031022 10525〔2〕y＝1

＋1 ＝144sin2 ＋

〕＋sin2 －

〕＝72〔3＋cot2〕，

〔2〕 AC 10 1S2 S21 2

sin2 6 6

AB

sinB

2，BD2 5

AB12由于

2，所以当＝

或＝2

时，y取得最大值y

＝240 23 3 3 3当＝时，y取得最小值y ＝216

max

由余弦定理知2 min

CD BD2BC22BDBCcosB118BD2BC22BDBCcosB118213 22213mn1

18、〔06四川卷〕A,BC是三角形ABC三内角，cosA2cosBC2

取得最大值，并求出这个最大值。

向量m

1,

cosA,sinA

，且B+C π A B+C A.解:由A+B+C=π,得2 =2－2,所以有cos 2 =sin2.

〔Ⅰ〕A；〔Ⅱ〕假设1sin2Bcos2Bsin2B

tanBB+C

A A A

解：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差cosA+2cos32

2 =cosA+2sin2

=1－2sin22+2sin2

=－2(sin2－2)2+

的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算力量。〔Ⅰ〕∵mn1 即3sinAcosA1资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除3 1 , 3 1 , 2sinA cosA 1 sin A

AB

BC解得sinABCsinC

14。 2

6 2

sinC

sinA

AB 8∵0A,6

A6

56

∴A6

∴A3

所以，

cosA5

sin2Asin2AcosA5 7，〔Ⅱ〕由题知12sinBcosBcos2Bsin2B

3

sin2BsinBcosB2cos2B0

8 16且cos2A12sin2A9，且∴cosB0 ∴tan2BtanB20 16∴tanB2

或tanB1

故sin2ACsin2AcosCcos2AsinC3 7.8而tanB1使cos2Bsin2B0，舍去 ∴tanB2

20、〔07重庆理5〕在ABC中，AB 3,A450,C750,则BC=〔〕∴tanCtanAB

tanABtanAtanB1tanAtanB

2 312

85 311

A.3 3 B. 2 C.2 D.3 3【答案】：A19、〔06天津卷〕如图，在ABCAC2BC1cosC3．4

【分析】：AB 3,A450,C750,由正弦定理得：AB的值；求sin

a

csinC

BC,sin45

AB sin75

3 ,6 2本小题考察同角三角函数关系、两角和公考察根本运算力量及分析解 问题的力量.总分值12分.

4BC3 3.2107北京文12理11在△ABCtanA1C150BC1AB3〔Ⅰ〕解：由余弦定理，

△ABCtanA1，C150，∴A为锐角，sinA33

1 ，BC1，10AB2AC2BC22AC.BC.cosC41221 2.4那么，AB 2.

ABBCsinCsinA

= 10。．22207湖南理1在△ABCC所对的边分别为ca1，〔Ⅱ〕解：由cosC3，且0C,得sinC 1cos2C 7.4 4

b= 7，c 3，则B ．word可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除【答案】5π6

a2b225 ，1372113721 33【解析】由正弦定理得cosB

，所以B5π.2 6

2∴两条直角边的长分别为3，4，23、〔0712〕在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，

设直角三角形中较小的锐角为

，cosθ4，cos2θ=2cos2θ1=7。假设a1,c 3,C3

，则A= .

5 2525、〔07福建理17〕在△ABCtanA1tanB3．4 5【解析】由正弦定理得 a c sinAasinCsinA sinC c

1，所以A=π3232 6323

〔Ⅰ〕求角C的大小；17〔Ⅱ〕假设△ABC最大边的边长为17

，求最小边的边长．24、〔07重庆文13〕在△ABC中，AB=1,BC=2,B=60°，则AC＝ 。3【答案】：3【分析】：由余弦定理得：AC21222212cos603.AC 3.

本小题主要考察两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的根本12分．13解：〔Ⅰ〕 Cπ(AB)，tanCtan(AB) 4 5 1．11324、〔07北京文理13〕2002年在北京召开的国际数 学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为根底设计的弦 图是由

又〔Ⅱ〕

4 50Cπ，C0C4C3417，ABC3417tanA又 tanB，A，B0，角A最小，tanA四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形〔如图〕．假设

tanAsinA

1，

， π由 cosA 4 且A0，， 2sinCsinAsinCsinA2

sin2Acos2A， 的锐角为，那么cos2的值等于 ．解析：图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，∴每一个直角三

得sinA171717

．由AB2sinC2

BCsinA

得：BCAB ．角形的面积是 6，设直角三角形的两条直角边长分别为 a,b，则word可编辑

所以，最小边BC ．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除2607广东理16△ABC顶点的直角坐标分别为(4)B(0)C(0)．假设c5，求sin∠A的值；

夹角为．求的取值范围；〔II〕f(2sin2

3cos2的最大值与最小值．假设∠A是钝角，求c

4的取值范围． 4解析：〔1〕AB(3,4)ACc3,4)，假设c=5AC(2,4)，

本小题主要考察平面对量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等根本学问，考察推理和运算力量．∴cosAcosAC,AB616525

1，∴sin∠A＝25；5 5

2〕假设∠A为钝角，则3c9160解得c25，∴c的取值范围是25)；c0 3

3 则由1

，≤ ≤

，可得≤

≤，

π π．27〔0717〕ABB

bcsin32

0 bccos 6

0 cot

1 ∴ ，在同一水平面内的两个测点 C与

〔Ⅱ〕

π

π

4 2f()2sin24 3cos21cos22 D ． 现 测 得

3cos212sin2π1．3BCD，BDC，CDs，并在3点CA的仰角为

π

π

32π， 3

3 π ≤．3

2 36，∴2

2sin2

1 3AB．解：在△BCDCBDπ．

即当5π时，12

)max

3；当

π时，4

)min

2．由正弦定理得 BCsinBDC

CD ．sinCBD

所以BCCDsinBDCsinCBD

ssin ．sin()

〔Ⅰ〕求B

的大小；在Rt△ABC中，ABBCtanACB

stansin．sin()

〔Ⅱ〕求cosAsinC的取值范围．解：〔Ⅰ〕由a2bsinA，依据正弦定理得sinA2sinBsinA，所以sinB1，2由△ABC为锐角三角形得Bπ．28、〔07湖北理16〕△ABC的面积为3，且满足0ABAC6，设AB和AC的 6word可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除wordword可编辑 〔Ⅱ〕cosAsinCcosAsin

cosAsinA

〔2〕由于y

1 3x cosx sinx 23

6

4sin 2 cosA1cosA

sinA 3sinA．

4 3sinx2

x

5， 3332 2 333

由△ABC

A

B

，B

．

所以，当x

，即x

时，y取得最大值6 ．22 2 2 2 6 32

2A

，所以1 ．

海里的速度向正北方航行，323 3233 3 63由此有 3

sinA 233 ，33

乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于

A处时，乙船位于甲船的12 A2

3 2

北偏西105B1

处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到 cosAsinC

3．

A处时，乙船航行到甲船的北偏西120B

处，此时两船相距

，32 23中，内角

，边BC2

．设内

2 2210 海里，问乙船每小时航行多少海里？22△ABC2

A

解法一：如图，连结AB

AB

10 ，32角Bxy．32

AA30

20

11 2 2210 ，2

北120〔1〕yf(x的解析式和定义域；

1 2 60 A2AA

AB， B

10512060，112060，1

1 2 2 1 2 A

又∠AAB180 B解：〔1〕△ABCABCA

，B0，C0得0B ．11

1 2 2 甲

是等边三角形， 乙应用正弦定理，知AC BC

sinB

2 3sinx4sinx，

1 2 22，2sinA

sin

AB

AA10 1 2 1 2606045，

20，∠BAB

105BC 2 ．

11 1 1 2AB

sinAsinC4sin

x

在△AB

B中，由余弦定理，1 2 1yABBCAC，

2BB2AB2AB22AB2

2AB cos45202(10 2)222010 2

200．所以y4sinx4sin2x2 30x

2，

1 2 1 1 1

1 2 1 2 23 3

BB

10 ．21 222因此，乙船的速度的大小为10 26030220

〔海里/小时〕．

102(1 3)2(10 2)2210(1 3)10 242

200．22(1 3)22(1 3)

海里．

BB

10 ，221 222AB，22 12

乙船的速度的大小为

10 2603010 2

海里/小时．AB

20，AA

20

，∠BAA

20，2105，221 2 1 2 602

1 1 2

答：乙船每小时航行30

海里．cos60 sin45sin607cos105 cos(4560cos60 sin45sin607

3207山东文1在△ABC中角C的对边分别为，，tanC3 ．2(1 3)2(1 3)， 4 120 A2

cosC；2 105 sin105 sin(4560)sin45cos60 cos45sin60 2 105

〔2〕假设CBCA5，且ab9，求c．22(1 3)12(1 3)1tanC tanC

解：〔1〕

3

sinC7cosC37在△A

乙AB中，由余弦定理，

又sin2Ccos2C1 解得cosC1．82 1 1

tanC0，C是锐角． cosC1．AA cos105AA cos1051 2AB2AB2AA22AB2 1 2 2 1 2 1 12(12(1 3) 2 2

〔2〕CBCA5，abcosC2

5， ab20．2(10 2)2202210

204

100(42 3)

又ab9a22abb281．

a2b241．AB

10(1 3)．

c2a2b22abcosC36．c6．11由正弦定理 AB

20 2(1 3) 2，

33、〔0717〕在△ABCa，b，c分别是三个内角A，B，C的对边．sin∠AAB 11sin∠BAA 2 51 2 1 AB2 52 2

11

10(1 3) 4 2

假设a2, Cπ

，cosB

，求△ABC的面积S．∠AAB

45，即∠BAB

604515，cos15sin105

2(1 3)．

4 2 51 2 1

1 2 1

4

2cosB2

3，B

sinB4，在△BAB

AB

10

，由余弦定理， 5 51 1 2 1 2

sinAsin(πBC)sin3πB7 ，22AB cos152 2BB2AB2AB22AB cos152 2

4 101 2 1 1 2 2 2 1由正弦定理得c10， S1ac