几何直观课题讲座

讲座:培养小学生几何直观的策略及思考

刘萍几何直观作为《数学课程标准（2011年版）》的核心概念之一，在数学课程的学习中有着重要的地位和意义，对它的认识和理解，以及在教学中的准确把握是实施数学课程的基础。无论是在图形与几何领域还是在其他知识领域的教学中，都应重视几何直观的培养。一、几何直观的本真把握数学家克莱因认为：“数学的直观是对概念、证明的直接把握。”徐利治先生提出“几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。”希尔伯特在《几何直观》一书中指出：“几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”孔凡哲、史宁中教授认为，在中小学数学中几何直观具体表现为四种形式：即实物直观、简约符号直观、图形直观和替代物直观。几何直观不仅仅应用于“图形和几何”的教学，它在小学数学教学的整个过程中都非常重要。《数学课程标准（2011年版）》指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变的简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要的作用。”几何直观是指利用图形的几何性质表征数学事实，描述、分析和解决数学问题的学习过程。可见，几何直观是数学教学中不可少的有效工具，我们要充分利用几何直观来揭示研究对象的性质和关系，使学生认识几何直观在数学学习中的意义和作用，学会并掌握这种学习方式。二、几何直观的教学价值《数学课程标准（2011年版）》首次提出在义务教育阶段应当注重培养学生的几何直观，凸显了几何直观在学生数学学习过程中的地位和作用，彰显了几何直观的教学价值。1、 发展空间观念，把握数学本质。几何直观是一种思维方式，更是一种以几何图形为载体进行推理证明的数学研究方式。很多时候，解决数学问题的灵感来自于几何直观。把要研究的问题变成可借用的几何直观问题，可以帮助我们理解和接受抽象的内容和方法，解释研究对象的性质和关系，是思维很容易转向更高级更抽象的空间形式。可见，几何直观可以培养学生的空间感，发展学生的空间观念，进而理解和把握数学的本质。2、 培养推理能力，促进数学理解。推理能力是一种贯穿于整个数学学习过程中的重要能力，推理是根据已知判断得出新判断的思维过程，是数学的基本思维方式。而几何直观具有发现功能，能让学生依赖直观来推动对数学的思考，加强对数学的理解。借助几何直观和几何解释，能启迪思路，帮助理解和接受抽象的内容和方法，提供证明的思路和技巧，增强学生的数学推理能力，从而促进学生对数学的理解。3、启迪解题策略，深化数学思考。学习过程中，图形可以帮助学生刻画和描述问题，使问题变的直观、简单。几何直观作为核心概念对于深入理解和掌握相关数学知识不可缺少，同时也是学生是否能够把握数学思想、数学的思维和恰当地运用数学知识与方法解决问题的重要标志。几何直观可以培养学生的直观洞察力，探寻解决问题的思路，启迪解决问题的策略，深化学生对数学的思考。三、培养几何直观的教学策略几何直观可以帮助学生更好的理解数学、学习数学。在小学数学教学中，要从直观教学开始，引导学生用画图的策略分析题意，将直观图形与数学语言、符号语言进行合情转换，即：用图形说话，用图形描述问题，讨论问题。在解决数学问题的过程中感悟数与形、形与数之间的转化，让几何直观的培养贯穿在整个小学数学学习过程中。1、借助图形形成直观，培养学生空间想象力几何直观是借助图形认识事物，对图形的学习认识及运用图形的意识和能力就是几何直观的基础。教学中要关注学生的基本生活经验和生活经历，注重引导学生把生活中对图形的感受与有关知识建立联系，让学生积极主动的参与到学习中。在教认识角时，都会让学生摸一摸折的角的顶点，然后学生说有顶点是尖尖的，扎上有痛的感觉，老师依据学生认知起点及初始经验加以引导就得出教的数学本质特征。王芳老师收集我们日常生活中有许多长方体、正方体纸盒，（课件出示）像药盒、牙膏盒、鞋盒、酒盒等，工人师傅在制作这纸盒时至少要用多少纸板呢?利用学生很熟悉的生活中的物体引出我们要研究的问题一一长方体和正方体的表面积。如在上学期四年级教研组特色活动中马小婷和马媛老师同课异教四年级《直线、射线与线段》一课时，能充分唤醒学生对手电筒照射这一原有生活经进行教学，通过演示一束光课件，视觉上给学生直观的认识，通过几何直观让学生感受到射线的特点：只有一个端点，可以向一端无限延长。在日常教学中我们的老师都能借助学生的生活经验并采用学生喜爱的“看一看、摆一摆、折一折、剪一剪、拼一拼、量一量、画一画”等具体、实际的活动方式，引导学生在活动中掌握图形特征，在识图中更好地感知几何直观，从而培养学生逐步形成空间想象力。（分数的初步认识课件）2、操作体验感知直观，培养学生几何直观能力。几何直观的优势就是可以通过动手操作来思考研究数学问题，得出数学结论。以《平行四边形面积》为例，这节课的内容在整个教材体系中起到承上启下的作用，这部分知识的学习运用会为学生学习后面的三角形，梯形等平面图形的面积奠定良好的基础。是促进学生空间观念及几何直观的发展，渗透转化、等积变形等数学思想方法的重要环节。教学中让学生简单记忆公式并不难，难的是让学生理解公式。课堂上，我们可以将数学方法传递给学生，而数学眼光却无法传递，因此应着重把握好对数学思想的教学，这样有利于学生主动探索解决问题的方法，体会解决问题的策略，提高数学的应用意识。杨老师就很好地利用始终贯穿几何教学的最重要的转化的思想方法，通过“割”或“补”放手让学生将自己准备的平行四边形通过剪拼转化成长方形，学生积极参与到图形知识的学习中，积极主动的操作、理解、表述，有非常直观的“转化”感受。将平行四边形转化成学生学过的长方形来计算它们的面积，探索出平行四边形的面积公式。在突出重点，突破难点时，学生合作动手操作把平行四边形转化为长方形的过程，更明白了长方形的面积与原平行四边形的面积相等，长方形的长相当于平行四边形的底，长方形的宽相当于平行四边形的高，因为长方形的面积=长乂宽，所以平行四边形的面积=底乂高。学生通过亲自动手实践，实现新旧图形的转化，学生知其然还知其所以然。有利于学生主动构建新的认知结构，使知识的掌握更长久、牢固。同时在动手操作的过程中，学生的主体地位得到确立，边操作边思考，边观察边寻思，从中有所悟。真正让学生经历了“大胆想象一一操作转化一一验证猜想”这一过程，让学生在理解公式推导的过程中以长方形面积计算为基础，以图形间内在联系为线索，以未知向已知转化为基本方法开展学习，学会解决问题。王芳老师这节课是长方体和正方体的展开图和表面积概念教学相结合，让学生通过看一看，摸一摸，想一想，直观感受几何直观，教学的难点在于，学生往往因不能根据给出的长方体的长、宽、高，想像出每个面的长和宽各是多少，以致在计算中出现错误。为了使学生更好地建立表面积的概念，王老师让每个学生拿一个长方体或正方体纸盒，沿着棱剪开，再展开，看一看展开后的形状。然后，让学生在展开后的图形中，分别用“上”“下”“前”“后”“左”“右”标明6个面。这样，可以使学生把展开后每个面与展开前这个面的位置联系起来，更清楚地看出长方体相对的面的面积相等，每个面的长和宽与长方体的长、宽、高之间的关系，为下面学习计算长方体的表面积做好准备。在这以后，概括出表面积的含义。即求出长方体表面积6个面的面积之和就求出了表面积。杨老师这节课，也是让学生在观察、操作、分析中知道了长方体所含体积单位的数量=每排的个数x每层的排数x层数，每排的个数、排数、层数和长方体的长，宽，高到底有什么关系，用过观察、分析、发现测量长方体时，每排所含体积单位个数就是长的厘米数，每层的排数正好是宽的厘米数，层数正好是高的厘米数，进而确定长方体的体积就是与它的长、宽、高有关，就是等于长X宽X高。沟通联系，归纳推理出长方体的体积公式。3、数形结合运用直观，发展学生几何直观能力。我国著名数学家华罗庚曾说过“形缺数时难入微，数缺形时少直观。”数形结合的思想方法，就是使抽象思维和形象思维相互作用，实现数量关系与图形性质的相互转化，将抽象的数量关系和直观的图形结合起来研究数学问题。关键要使学生想到画图、正确画图、用图分析和体验画图解决问题的好处。我们用的最多的是画线段图，通过线段图让学生把复杂的数学问题直观化，利用图形理解问题，解决问题，更容易突破难点。比如上学期实验老师王芳和刘萍的在科研月集中展示的同课异教《植树问题》的研究课，用“一一对应”的数学思想统领整个课堂教学。通过植树的活动，引导学生画图说明、独立思考、交流讨论、总结方法，帮助学生沟通间隔数与所种树的棵树两者之间的关系，建立一一对应思想，这种数形结合策略非常直观地让学生弄清楚两端都不种、两端都种、只有一端种这三种情况的联系与区别。例如：在一年级“排队问题”中，常会出现这样两种题目。（1）小朋友们排队，小红前面有4人，后面有5人。这一队一共有多少人？（2）小朋友们排队，从前往后数，小红排在第4个；从后往前数，小红排在第5个。这一队一共有多少人？这两个问题学生理解、区分起来有一定的难度，“前面有4人”、“小红排在第4个”很难用语言向学生解释清楚这当中的区别。然而引导学生画图，很快得到了这样的两幅图：用不同颜色的圆区分小红和其他同学，非常醒目，而且又准确地表达出“几”和“第几”的不同，同时清楚地认识到第一题的4个和5个是不包括小红在内的人数，第二幅图中的4个和5个都数到了小红。运用这样的直观图，两道题目表达的意思一目了然。如：学习“求一个数是另一个数的几倍”的解决问题。如：杨树有5棵，柳树的棵数是杨树的3倍，柳树有多少棵？有学生把5棵杨树看成一份，用一个圈把它们圈起来，柳树5棵为一份，画一画，看看其中有几个5棵；还有孩子用画线段图来表示，还有的学生直接列式计算（我要求学生一定要画图而且要规范画图），学生通过动手操作后很容易就理解了题意，使解题变得简单了。学生正是由于亲自动手操作，才有了切身的感受和体验，所以很自然地把“求一个数的几倍是多少转化成了求几个几是多少的应用题”，主动完成了知识的化归。学生有了规范画图的意识，以后学习中解决和倍问题、年龄问题都会倍加轻松，如：学校举行踢毽子比赛，小红和小丽一共踢了408个，小红踢得数量是小丽的4倍，小丽和小红分别踢了多少个？4年前妈妈的年龄是女儿的4倍，再过4年，妈妈和女儿一共是51岁，4年前女儿多少岁？（课件）由此可见，“数形结合”思想的实质是把数学问题中的运算、数量关系等与几何图形与直观图像结合起来进行思考，从而使“数”与“形”各展其长，优势互补，相辅相成，使逻辑思维与形象思维完美地统一起来，从而顺利、有效地解决问题。4、化静为动辅助直观，拓展学生几何直观能力。化静为动的策略在小学数学中有两种体现。一是让学生感受图形的变换，比如基本图形组合成组合图形，组合图形分解成基本图形。还有基本图形通过平移或者旋转变成新的图案。这里主要体现图形的运动。但是在小学数学课中，化静为动更多的体现是，把静止的数量关系转化为可见的图形。例如:长方体的教学，让学生通过看一看，摸一摸，数一数，比一比，想一想等活动，引导学生认识长方体的面、棱、顶点的特征后。这时教师运用多媒体演示，从实物图中抽象分离出长方体的立体图形，让学生看清实物的长、宽、高与立体图上的各条棱长之间的对应关系，认清实物的各个面与立体图上各个面之间的对应关系，并进行比较，使学生建立起长方体特征的空间观念。这种化静为动，让学生直观、生动、形象地了解到这些知识，加深学生对这些知识的理解，提高学生的学习的兴趣和积极性，以达到最佳的教学效果。当然，在课堂教学中，积累经验、操作体验、数形结合、化静为动这四种培养几何直观的策略，往往配合使用，为培养学生的几何直观能力发挥作用。四、小学数学教学中，运用几何直观应注意的问题。教学中运用几何直观，可以把复杂的数学问题变得形象、简单，有助于学生探索方法，解决问题。然而在教学实践中，常常会出现狭隘地理解几何直观的现象。因此，我们在教学中运用几何直观时应注意以下几方面的问题。第一，运用几何直观要适时。我们在教学中使用直观教具，目的是为了引导学生思考，抽象出真理。但往往直观教具出示的不适时，就会束缚学生注意力，阻碍他们思考。因此，几何直观的使用一定要实时，这样才能起到应有的效果。第二，运用几何直观要准确。在我们的教学中，不论教师还是学生作图一定要准确。很多学生就是由于作图不准确，最后导致分析错误，无法正确解答数学问题