七年级数学上册专题12 一元一次方程概念及其解法考点分类复习（解析版）

/专题12一元一次方程概念及其解法考点分类复习考点一一元一次方程的概念【知识点睛】一元一次方程：只含有1个未知数（元），未知数的最高次数是1次的整式方程叫做一元一次方程。【类题训练】1．．已知下列方程：（1）x﹣2＝；（2）0.3x＝1；（3）＝5x+1；（4）x+2y＝0；（5）x2﹣4x＝3．其中是一元一次方程的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据一元一次方程是含有一个未知数并且未知数的最高次数为1的整式方程，可得其中（2）符合定义，找一找还有哪些方程符合一元一次方程的特征；（1）分母中含有字母，不符合一元一次方程的定义，即可得到答案．【解答】解：根据一元一次方程的定义，可知（2）（3）是一元一次方程．（1）中分母中含有未知数，不是整式方程；（4）中含有两个未知数不是一元一次方程；（5）的未知数的最高次数为2次，不是一元一次方程．故选：A．2．解关于x的方程：ax＝b，下列说法正确的是.（按字母顺序填写所有正确结论的序号，如abc）a．方程的解为x＝；b．当a≠0，x＝；c．当a＝0，b＝0时，x为任意值；d．当a＝0，b＝0时，原方程无解；e．当a＝0，b≠0，原方程无解．【分析】根据方程的解的定义解决此题．【解答】解：a．根据等式性质，当a≠0，这个方程的解为x＝，那么a不正确．b．与a同理，那么b正确．c．当a＝0，b＝0时，x为任意值，那么c正确．d．与c同理，那么d不正确．e．当a＝0，b≠0，原方程无解，那么e正确．综上：正确的有bce．故答案为：bce．3．在有理数范围内定义一个新的运算法则“*”；当a≥b时，a*b＝ab；当a＜b时，a*b＝ab．根据这个法则，方程4*（4*x）＝256的解是x＝．【分析】根据运算法则当a≥b时，a*b＝ab；当a＜b时，a*b＝ab，分类讨论4与x的大小关系求解．【解答】解：由题意得①当x≤4时，4*（4*x）＝4*（4x），当4≥4x时，4*（4x）＝4＝256，解得x＝1．当4＜4x时，4*（4x）＝4x+1＝256，解得x＝3．②当x＞4时，4*（4*x）＝4*（4x）＝16x＝256，解得x＝16．故答案为：1，3，16．4．小红在解关于x的方程：﹣3x+1＝3a﹣2时，误将方程中的“﹣3”看成了“3”，求得方程的解为x＝1，则原方程的解为．【分析】把x＝1代入3x+1＝3a﹣2，求出a的值，再把a的值代入原方程求解即可．【解答】解：把x＝1代入3x+1＝3a﹣2，得3+1＝3a﹣2，解得a＝2，故原方程为﹣3x+1＝6﹣2，﹣3x＝3，解得x＝﹣1．故答案为：x＝﹣1．5．已知下列各式：①x﹣2＝；②0.4x＝1；③＝2x﹣2；④x﹣y＝6；⑤x＝0；⑥x+π＞3；⑦x﹣2；⑧2+3＝5x；⑨x2﹣1＝0．其中一元一次方程有（填正确答案的序号）【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．即可判断．【解答】解：根据一元一次方程定义可知：一元一次方程有②⑤⑧．故答案为：②⑤⑧6．已知（m﹣1）x|m|﹣2022＝2025是关于x的一元一次方程，则m＝．【分析】根据一元一次方程的定义得出m﹣1≠0且|m|＝1，再求出m即可．【解答】解：∵（m﹣1）x|m|﹣2022＝2025是关于x的一元一次方程，∴m﹣1≠0且|m|＝1，解得：m＝﹣1，故答案为：﹣1．7．若x|k﹣3|+2＝0是关于x的一元一次方程，则k＝．【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．【解答】解：∵x|k﹣3|+2＝0是关于x的一元一次方程，|k﹣3|＝1，解答k＝2或4．故答案为：2或4．8．当a＝时，方程（a2﹣1）x2+（2﹣2a）x﹣3＝0是关于x的一元一次方程．【分析】根据一元一次方程的定义列出关于a的方程组，求出a的值即可．【解答】解：∵（a2﹣1）x2+（2﹣2a）x﹣3＝0是关于x的一元一次方程，∴，解得a＝﹣1．故答案为：﹣1．9．已知代数式M＝3（a﹣2b）﹣（b+2a）．（1）化简M；（2）如果（a+1）x2+4xb﹣2﹣3＝0是关于x的一元一次方程，求M的值．【分析】（1）首先去括号，然后再合并同类项即可；（2）根据一元二次方程定义可得a+1＝0，b﹣2＝1，再解可得a、b的值，然后再代入（1）化简的式子可得答案．【解答】解：（1）M＝3（a﹣2b）﹣（b+2a）＝3a﹣6b﹣b﹣2a＝a﹣7b；（2）由题意得：a+1＝0，b﹣2＝1，解得：a＝﹣1，b＝3，则M＝﹣1﹣7×3＝﹣22．考点二等式的基本性质【知识点睛】等式的基本性质等式的概念表示相等关系的式子，叫做等式等式的性质性质1如果a=b，那么a±c=b±c性质2如果a=b，那么a·c=b·c；如果a=b，那么等式的传递性如果a=b，b=c，那么a=c【类题训练】10．若a＝b，下列等式不一定成立的是（）A．a+5＝b+5 B．a﹣5＝b﹣5 C．ac＝bc D．【分析】根据等式的性质即可得结论．【解答】解：A、在等式a＝b的两边同时加上5，等式仍成立，原变形正确，故本选项不符合题意；B、在等式a＝b的两边同时减去5，等式仍成立，原变形正确，故本选不项符合题意；C、在等式a＝b的两边同时乘以c，等式仍成立，原变形正确，故本选项不符合题意；D、在等式a＝b的两边同时除以c（c≠0），等式成立，原变形不一定成立，故本选项符合题意；故选：D．11．根据等式的性质，下列变形正确的是（）A．若，则a＝b B．若，则3x+4x＝1 C．若ab＝bc，则a＝c D．若4x＝a，则x＝4a【分析】根据等式的性质逐项进行判断即可．【解答】解：A．若，而c≠0，两边都乘以c可得a＝b，因此选项A符合题意；B．若，两边都乘以12可得3x+4x＝12，因此选项B不符合题意；C．当b＝0时，就不成立，因此选项C不符合题意；D．若4x＝a，则x＝，因此选项D不符合题意；故选：A．12．下列说法中，正确的有（）A．等式两边各加上一个式子，所得的结果仍是等式 B．等式两边各乘以一个数，所得的结果仍是等式 C．等式两边都除以同一个数，所得的结果仍是等式 D．一个等式的左右两边分别与另一个等式的左右两边相加，所得的结果仍是等式【分析】根据等式的性质进行判断即可．【解答】解：A、根据等式性质1，等式两边都加上同一个整式，所得结果仍是等式，故本选项错误，不符合题意；B、等式的两边都乘以同一个实数，所得的结果仍是等式，故本选项错误，不符合题意；C、根据等式性质2，等式两边都除以同一个不为0的数，所得结果仍是等式，故本选项错误，不符合题意；D、一个等式的左右两边分别与另一个等式的左右两边相加，所得的结果仍是等式，正确，符合题意；故选：D．13．若x+y＝5，2x﹣3y＝10，则x﹣4y的值为（）A．15 B．﹣5 C．5 D．3【分析】利用等式的性质进行变形就可得到结果．【解答】解：x+y＝5①，2x﹣3y＝10②，②﹣①得x﹣4y＝5，故选：C．14．若a＝+，其中a，b，c是实数，则（）A．b+c＝a B．b+c＝ C．b+c＝ D．b+c＝abc【分析】根据等式性质，等式两边乘以bc即可选出正确答案．【解答】解：∵a＝+．根据等式的性质，等式两边乘以bc，等式仍然成立．∴a•bc＝•bc+•bc．∴abc＝c+b．故选：D．考点三方程的解【知识点睛】方程的解：使方程成立的未知数的值【类题训练】15．若方程x+2a＝﹣3的解为x＝1，则a为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】把x＝1代入方程得出1+2a＝﹣3，求出方程的解即可．【解答】解：∵方程x+2a＝﹣3的解为x＝1，∴1+2a＝﹣3，解得a＝﹣2．故选：D．16．若不论k取什么实数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是x＝1，则a+b的值是（）A．﹣0.5 B．0.5 C．﹣1.5 D．1.5【分析】把x＝1代入得出（b+4）k＝7﹣2a，根据方程总有根x＝1，推出b+4＝0，7﹣2a＝0，求出即可．【解答】解：把x＝1代入得：，去分母得：4k+2a﹣1+kb＝6，∴（b+4）k＝7﹣2a，∵不论k取什么实数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是x＝1，∴b+4＝0，7﹣2a＝0，∴a＝，b＝﹣4，∴a+b＝﹣4＝﹣，故选：A．17．已知关于x的方程（k2﹣4）x2+（k﹣2）x＝k+6是一元一次方程，则方程的解为（）A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．﹣1【分析】根据一元一次方程的定义得出k2﹣4＝0且k﹣2≠0，求出k的值即可得到一元一次方程，解方程即可．【解答】解：∵方程（k2﹣4）x2+（k﹣2）x＝k+6是关于x的一元一次方程，∴，解得：k＝﹣2，所以方程为﹣4x＝﹣2+6，解得：x＝﹣1，故选：D．考点四解一元一次方程【知识点睛】解一元一次方程的一般步骤及注意事项：步骤名称方法注意事项1去分母在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数）①不含分母的项也要乘以最小公倍数；②分子是多项式的一定要先用括号括起来2去括号去括号法则（可先分配再去括号）注意正确的去掉括号前带负数的括号3移项把未知项移到议程的一边（左边），常数项移到另一边（右边）移项一定要改变符号4合并同类项分别将未知项的系数相加、常数项相加单独的一个未知数的系数为“±1”5系数化为“1”在方程两边同时除以未知数的系数（即方程两边同时乘以未知数系数的倒数）不要颠倒了被除数和除数（未知数的系数作除数——分母）*6检根x=a方法：把x=a分别代入原方程的两边，分别计算出结果。①若左边＝右边，则x=a是方程的解；②若左边≠右边，则x=a不是方程的解。注：当题目要求时，此步骤必须表达出来。上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说解每一个方程都必须经过五个步骤；解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解【类题训练】18．方程3x﹣2（x﹣3）＝5去括号变形正确的是（）A．3x﹣2x﹣3＝5 B．3x﹣2x﹣6＝5 C．3x﹣2x+3＝5 D．3x﹣2x+6＝5【分析】由去括号法则可得3x﹣2（x﹣3）＝3x﹣2x+6．【解答】解：3x﹣2（x﹣3）＝3x﹣2x+3×2＝3x﹣2x+6＝﹣x+6，故选：D．19．解方程，去分母正确的是（）A．2（2x+1）＝1﹣3（x﹣1） B．2（2x+1）＝6﹣3x﹣3 C．2（2x+1）＝6﹣3（x﹣1） D．3（2x+1）＝6﹣2（x﹣1）【分析】根据等式的性质去分母解决此题．【解答】解：，去分母得2（2x+1）＝6﹣3（x﹣1）．故选：C．20．下列方程变形不正确的是（）A．4x﹣3＝3x+2变形得：4x﹣3x＝2+3 B．3x＝2变形得： C．2（3x﹣2）＝3（x+1）变形得：6x﹣4＝3x+3 D．变形得：4x﹣1＝3x+18【分析】各项方程变形得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、4x﹣3＝3x+2变形得：4x﹣3x＝2+3，不符合题意；B、3x＝2变形得：x＝，不符合题意；C、2（3x﹣2）＝3（x+1）变形得：6x﹣4＝3x+3，不符合题意；D、x﹣1＝x+3变形得：4x﹣6＝3x+18，符合题意．故选：D．21．解方程时，小刚在去分母的过程中，右边的“﹣1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为x＝2，则方程正确的解是（）A．x＝﹣3 B．x＝﹣2 C． D．【分析】根据“在去分母的过程中，右边的“﹣1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为x＝2”可得x＝2是方程2（2x﹣1）＝3（x+a）﹣1的解，进而求出a的值，再根据求解一元一次方程的步骤进行求解即可．【解答】解：由题意得，x＝2是方程2（2x﹣1）＝3（x+a）﹣1的解，所以a＝，则正确解为：去分母得，2（2x﹣1）＝3（x+）﹣6，去括号得，4x﹣2＝3x+1﹣6，移项合并同类项得，x＝﹣3，故选：A．22．关于x的方程﹣x＝+1变形正确的是（）A．﹣x＝+1 B．﹣x＝+1 C．﹣10x＝+100 D．﹣100x＝+100【分析】根据等式的基本性质进行变形即可．【解答】解：﹣x＝+1，＝即，故选：B．23．定义运算：a⊕b＝5a+4b，那么当x⊕9＝61时，⊕x＝．【分析】根据a⊕b＝5a+4b，由x⊕9＝61，得x＝5，进而解决此题．【解答】解：∵x⊕9＝61，∴5x+36＝61．∴x＝5．∴⊕x＝⊕5＝5×+4×5＝．故答案为：．24．如图的框图表示了琳琳同学解方程+1＝的流程，你认为琳琳同学在解这个方程的过程中从第步开始出现问题，正确完成这一步的依据是．【分析】琳琳同学在解这个方程的过程中从第三步开始出现问题，应该是：4x﹣9x＝3+2﹣6，正确完成这一步的依据是等式的基本性质1．【解答】解：琳琳同学在解这个方程的过程中从第三步开始出现问题，正确完成这一步的依据是等式的基本性质1．故答案为：三；等式的基本性质1．25．整式mx+n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值：x﹣2﹣1012mx+n﹣12﹣8﹣404则关于x的方程﹣mx+n＝8的解为（）A．x＝﹣3 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝2【分析】首先根据题意，可得：n＝﹣4，m+n＝0，据此求出m的值是多少；然后根据解一元一次方程的方法，求出关于x的方程﹣mx+n＝8的解为多少即可．【解答】解：∵x＝0、1时，mx+n的值分别是﹣4、0，∴n＝﹣4，m+n＝0，∴m＝4，∴﹣4x﹣4＝8，移项，可得：﹣4x＝8+4，合并同类项，可得：﹣4x＝12，系数化为1，可得：x＝﹣3．故选：A．26．对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b两数中较大的数，例如max{2，﹣4}＝2．则方程max{x，﹣x}＝3x+4的解为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣1或﹣2 D．1或2【分析】分类讨论x与﹣x的大小，利用题中的新定义化简已知方程，求出解即可．【解答】解：当x＞﹣x，即x＞0时，已知方程变形得：x＝3x+4，解得：x＝﹣2＜0，舍去；当x＜﹣x，即x＜0时，已知方程变形得：﹣x＝3x+4，解得：x＝﹣1，则方程的解为﹣1．故选：A．27．解下列方程：（1）4x﹣3＝7﹣x；（2）4x﹣2（3x﹣2）＝2（x﹣1）；（3）2﹣＝．（4）；．（6）．（7）．（8）．【分析】（1）通过移项、合并同类项、x的系数化为1解决此题．（2）通过去括号、移项、合并同类项、x的系数化为1解决此题．（3）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．（4）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、x的系数化为解决此题．（5）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、x的系数化为1解决此题．（6）方程去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1即可．（7）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1，即可求解．（8）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、x的系数化为1解决此题．【解答】解：（1）∵4x﹣3＝7﹣x，∴4x+x＝7+3．∴5x＝10．∴x＝2．（2）∵4x﹣2（3x﹣2）＝2（x﹣1），∴4x﹣6x+4＝2x﹣2．∴4x﹣6x﹣2x＝﹣2﹣4．∴﹣4x＝﹣6．∴x＝．（3）去分母，可得：12﹣2（2x+1）＝3（1+x），去括号，可得：12﹣4x﹣2＝3+3x，移项，可得：﹣4x﹣3x＝3﹣12+2，合并同类项，可得：﹣7x＝﹣7，系数化为1，可得：x＝1．（4）∵，∴6x﹣3（3x+2）＝18﹣2（5x﹣2）．∴6x﹣9x﹣6＝18﹣10x+4．∴6x﹣9x+10x＝18+4+6．∴7x＝28．∴x＝4．（5），方程两边同乘3，得x﹣4＝9﹣2（x﹣4）．去括号，得x﹣4＝9﹣2x+8．移项，得x+2x＝9+8+4．合并同类项，得3x＝21．x的系数化为1，得x＝7．∴这个方程的解为x＝7．（6）去分母，得3（2x﹣1）＝x﹣2，去括号，得6x﹣3＝x﹣2，移项，得6x﹣x＝3﹣2，合并同类项，得5x＝1，系数化成1，得x＝．（7），5（2x+1）＝15﹣3（x﹣1），10x+5＝15﹣3x+3，10x+3x＝18﹣5，13x＝13，x＝1．（8）∵，∴30（0.6x+0.5）﹣100（0.03x+0.2）＝2（x﹣9）．∴18x+15﹣3x﹣20＝2x﹣18．∴18x﹣3x﹣2x＝﹣18+20﹣15．∴13x＝﹣13．∴x＝﹣1．28．对于方程＝1，某同学解法如下：解：方程两边同乘6，得2x﹣3（x﹣1）＝1①去括号，得2x﹣3x﹣3＝1②合并同类项，得﹣x﹣3＝1③移项，得﹣x＝4④∴x＝﹣4⑤（1）上述解答过程从第步开始出现错误．（2）请写出正确的解答过程．【分析】（1）观察解题过程，找出出错的步骤即可；（2）写出正确的解答过程即可．【解答】解：（1）上述解答过程从第①步开始出现错误；（2）正确解答过程为：方程两边同乘6，得2x﹣3（x﹣1）＝6，去括号，得2x﹣3x+3＝6，合并同类项，得﹣x+3＝6，移项，得﹣x＝3，∴x＝﹣3．29．我们知道，，…因此关于x的方程＝120的解是；当于x的方程＝2021的解是（用含n的式子表示）．【分析】先化简，再合并同类项，最后将x的系数化为，进而解决此题．【解答】解：∵＝120，∴（1﹣）x+．∴＝120．∴．∴x＝160．∵＝2021，∴．∴．∴．∴x＝．故答案为：x＝160，x＝．考点五解含绝对值的一元一次方程【知识点睛】【类题训练】30．方程|2x+1|＝5的解是（）A．2 B．﹣3 C．±2 D．2或﹣3【分析】绝对值等于5的数有±5，根据题意列出方程2x+1＝5或2x+1＝﹣5，然后解出答案．【解答】解：根据题意，原方程可化为：2x+1＝5或2x+1＝﹣5，解得x＝2或x＝﹣3，故选：D．31．如果|2x+3|＝|1﹣x|，那么x的值为（）A．﹣ B．﹣或1 C．﹣或﹣2 D．﹣或﹣4【分析】根据绝对值的意义得到2x+3＝1﹣x或2x+3＝﹣（1﹣x），然后解两个一次方程即可．【解答】解：∵|2x+3|＝|1﹣x|，∴2x+3＝1﹣x或2x+3＝﹣（1﹣x），∴x＝﹣或x＝﹣4．故选：D．32．若|2x﹣3|﹣3+2x＝0，则代数式2x﹣5的绝对值等于（）A．2x﹣5 B．5﹣2x C．﹣2 D．﹣5【分析】根据已知得出|2x﹣3|＝3﹣2x，求出2x﹣3≤0，求出x的范围，根据x的范围确定2x﹣5＜0，根据负数的绝对值等于它的相反数求出即可．【解答】解：∵|2x﹣3|﹣3+2x＝0，∴|2x﹣3|＝3﹣2x，即一个数的绝对值等于它的相反数，∴2x﹣3≤0，即x≤，∴2x﹣5≤3﹣5＝﹣2＜0，∴|2x﹣5|＝﹣（2x﹣5）＝5﹣2x．故选：B．33．先阅读下列解题过程，然后解答问题．解方程：|x﹣5|＝2．解：当x﹣5≥0时，原方程可化为x﹣5＝2，解得x＝7；当x﹣5＜0时，原方程可化为x﹣5＝﹣2，解得x＝3．所以原方程的解是x＝7或x＝3．（1）解方程：|2x+1|＝7．（2）已知关于x的方程|x+3|＝m﹣1．①若方程无解，则m的取值范围是；②若方程只有一个解，则m的值为；③若方程有两个解，则m的取值范围是．【分析】（1）类比题干的解题过程，根据绝对值的定义，解决问题（1）．（2）根据绝对值的非负性，任意a，|a|≥0．进而解决问题（2）．【解答】解：（1）当2x+1≥0时，原方程可化为2x+1＝7，解得x＝3；当2x+1＜0时，原方程可化为2x+1＝﹣7，解得x＝﹣4．∴原方程的解是x＝3或x＝﹣4．（2）①∵任意a，|a|≥0，∴若关于x的方程|x+3|＝m﹣1无解，则m﹣1＜0．∴m＜1．②若关于x的方程|x+3|＝m﹣1只有一个解，则m﹣1＝0．∴m＝1．③若关于x的方程|x+3|＝m﹣1