2022-2023学年江苏省南京市高一年级下册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省南京市高一下学期期末数学试题一、单选题1．若复数满足，则（

）A． B．5 C． D．6【答案】A【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再计算模即可.【详解】因为，所以，所以.故选：A2．2023年3月1日，“中国日报视觉”学习强国号上线．某党支部理论学习小组抽取了10位党员在该学习平台的学习成绩如下：83，85，88，90，91，91，92，93，96，97，则这10名党员学习成绩的分位数为（

）A．90 B．92 C．93 D．92.5【答案】C【分析】由百分位数定义可得答案.【详解】根据题意，10个数据从小到大依次为83，85，88，90，91，91，92，93，96，97，而，则这10名党员学习成绩的分位数为第8项数据93．故选：C．3．甲、乙两人独立地解决某个数学难题，甲解决出该难题的概率为0.4，乙解决出该难题的概率为0.5，则该难题被解决出的概率为（

）A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.2【答案】C【分析】利用独立事件的概率乘法公式求出该难题没被解出的概率，然后由对立事件的概率关系求解.【详解】该难题没被解出的概率为，所以该难题被解决出的概率为．故选：C．4．滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，若某人在点A测得滕王阁顶端仰角为，此人往膝王阁方向走了42米到达点B，测得滕王阁顶端的仰角为，则滕王阁的高度最接近于（

）（忽略人的身高）（参考数据：）A．49米 B．51米 C．54米 D．57米【答案】D【分析】设滕王阁的高度为，由题设可得，即可求滕王阁的高度.【详解】设滕王阁的高度为，由题设知：，所以，则，又，可得米.故选：D5．陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一.如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其中总高度为，圆柱部分高度为，已知陀螺的总体积为，则此陀螺圆柱底面的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，代入求解即可【详解】由题，圆锥部分高度为，故，即，可解得，故选：B6．已知都是锐角，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由已知条件求出，再由两边取余弦函数化简可求得结果【详解】因为为锐角，，所以，因为都是锐角，所以，因为，所以，所以，故选：B7．如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】建立平面直角坐标系，因为点在上，则，又，利用平面向量的基本定理求出的值，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值.【详解】建立如图所示平面直角坐标系．

已知，，，得，，，，，，，，，因为点在上，则，又，且、不共线，可得，且，解得．，．故选：D．8．在锐角中，角的对边分别为，为的面积，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角形面积公式及余弦定理得到，结合同角三角函数关系得到，，由正弦定理得到，且根据三角形为锐角三角形，得到，求出，利用对勾函数得到的最值，求出的取值范围.【详解】由三角形面积公式可得：，故，，故，因为，所以，解得：或0，因为为锐角三角形，所以舍去，故，，由正弦定理得：，其中，因为为锐角三角形所以，故，所以，，，，令，则为对勾函数，在上单调递减，在上单调递增，则，又，因为，所以，则.故选：C【点睛】解三角形中求解取值范围问题，通常有两种思路，一是利用正弦定理将角转化为边，利用基本不等式进行求解，二是利用正弦定理将边转化为角，结合三角函数的图象，求出答案.二、多选题9．已知向量，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】AB【分析】根据向量平行的坐标表示判断A，根据向量垂直的坐标表示判断B，根据向量的模的坐标表示判断C，D.【详解】对于A，因为，所以，所以，A正确；对于B，因为，所以，所以，B正确；对于C，因为，所以，所以，C错误；对于D，因为，所以，所以或，D错误；故选：AB.10．已知函数，，则（

）A．B．在区间上只有1个零点C．的最小正周期为D．为图象的一条对称轴【答案】AC【分析】将的解析式化为，然后逐一判断即可.【详解】所以，故A正确令可得，满足的有，故B错误的最小正周期为，故C正确当时，，所以不是图象的一条对称轴，故D错误故选：AC11．一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件M为“第一次向下的数字为3或4”，事件N为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（）A．事件M发生的概率为 B．事件M与事件N互斥C．事件M与事件N相互独立 D．事件发生的概率为【答案】AC【分析】A应用互斥事件加法求概率；B由互斥事件的定义，结合题设描述判断；C判断是否成立即可；D应用对立事件的概率求法求发生的概率即可判断.【详解】由题设知：，A正确；由：“第一次向下的数字为3或4”与：“两次向下的数字之和为偶数”，而发生同时也有可能发生，故不是互斥事件，B错误；因为，而，故，即事件M与事件N相互独立，C正确；，表示“第一次向下的数字为1或2”且“两次向下的数字之和为奇数”，故，所以，D错误.故选：AC.12．已知棱长为1的正方体，以为圆心，为半径作圆弧为圆弧的三等分点（靠近点），则下列命题正确的是（

）A．B．四棱锥的表面积为C．三棱锥的外接球的体积为D．若为上的动点，则的最小值为【答案】ABD【分析】过作，连接，根据条件求出、，进而可以判断A正确；分别求出四棱锥五个面的面积即可判断B正确；根据条件找到球心，根据几何关系求出球的半径，即可判断C错误；如图所示将平面沿着展开，即可判断D正确.【详解】如图所示，过作，连接，因为为圆弧的三等分点（靠近点），所以，则，，由题意可得平面，在中，，，则，故A正确；由题意可得，，则，,,，在中，因为，，，，四棱锥的表面积为；故B正确；取中点，的重心，因为为等腰直角三角形，所以其外接圆圆心为，因为为等边三角形，所以其外接圆圆心为，过作平面的垂线，过作平面的垂线，、交于点，则为三棱锥的外接球的球心，则，，所以，即外接球的半径，三棱锥的外接球的体积为，故C错误；如图所示将平面沿着展开，连接，交于点，则根据两点之间距离最短可知此时最小，最小值为，故D正确.故选：ABD.三、填空题13．某医院老年医生、中年医生和青年医生的人数分别为72，120，160，为了解该医院医生的出诊情况，按年龄采用比例分配的分层随机抽样方法抽取样本，已知抽取青年医生的人数为20，则抽取老年医生的人数为．【答案】【分析】根据抽样比相等即可求解.【详解】由题意可得：抽样比为，所以抽取老年医生的人数为，故答案为：.四、解答题14．已知，，且，，求角的值．【答案】【分析】利用两角和的正切公式求出，再根据的范围求出.【详解】，又，故．【点睛】本题考查两角和的正切公式、已知正切值求角，属于基础题.五、填空题15．已知样本容量为5的样本的平均数为3，方差为，在此基础上获得新数据9，把新数据加入原样本得到样本容量为6的新样本，则该新样本的方差为．【答案】8【分析】根据均值公式与方差公式计算．【详解】记原来的数据为，新增数据为，由题意，，，则，，所以新方差为．故答案为：8.16．已知三棱锥中，平面，，异面直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为．【答案】/【分析】分别取的中点，得到为异面直线与所成的角，得出，设，由余弦定理求得的值，再找出三棱锥的外接球的球心，利用勾股定理求得外接球的半径，代入球的表面积公式，即可求解.【详解】如图，

分别取、、、的中点、、、，连接、、、、，可得，，则为异面直线与所成角，∴，由面，而，故面，面，则，设，可得，，，，则，在中，由余弦定理，可得，，解得，设底面三角形的中心为，三棱锥的外接球的球心为，连接，则平面，由底面三角形是边长为2的等边三角形，可得，∴为三棱锥外接球的球心，∴，则，，又，可得，则三棱锥的外接球的半径．∴三棱锥的外接球的表面积为．故答案为：．六、解答题17．已知复数．(1)若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围；(2)若z是纯虚数，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据第四象限的复数实部为正，虚部为负求解即可；（2）根据纯虚数的实部为0，虚部不为0求解即可【详解】（1）由题意可得，

解得；的取值范围为；（2）由题意可得，

解得．的值为．18．已知向量，.（1）求；（2）求向量与向量的夹角的余弦值；（3）若，且，求向量与向量的夹角.【答案】（1）；（2）；（3）..【分析】（1）先求出的坐标，再求其模；（2）利用向量的夹角公式直接求解即可；（3）由，得化简结合已知条件可得答案【详解】解：（1）因为，，所以.所以.（2）因为，，，所以.（3）因为，所以.即.所以.即，所以.因为，所以.19．北京时间2022年6月5日，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F遥十四运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，约577秒后，神舟十四号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将陈冬、刘洋、蔡旭哲3名航天员送入太空，顺利进入天和核心舱．为激发广大学生努力学习科学文化知识的热情，某校团委举行了一场名为”学习航天精神，致航空英雄”的航天航空科普知识竞赛，满分100分，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40，90]之间，其得分的频率分布直方图如图所示．(1)根据频率分布直方图，求这100名同学得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)用分层抽样的方法从得分在[60，70），[70，80），[80，90]这三组中选6名学生，再从这6名学生中随机选取2名作为代表参加团委座谈会，求这2名学生的得分不在同一组的概率．【答案】(1)64.5(2)【分析】（1）首先根据频率和为1，求，再根据平均数公式，即可求解；（2）首先确定各组抽取的人数，再通过列举的方法求古典概型的概率.【详解】（1）根据题意知，解得，

所以这100名同学得分的平均数是答：平均数是64.5．（2）由条件知从抽取3名，从中抽取2名，从抽取1名，分别记为，

因此样本空间可记为用A表示“这2名同学的得分不在同一组”，则

A包含样本点的个数为11，所以答：这2名同学的成绩分别在各一名的概率是20．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．(1)求角B的大小；(2)若，D为AC边上的一点，，且______，求的面积．①BD是的平分线；②D为线段AC的中点．（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化简，再根据三角形中角的范围可求得；（2）若选①：利用三角形面积关系和余弦定理求得，然后根据面积公式即可；若选②：根据中点的向量关系式并同时平方，结合余弦定理求得，然后根据面积公式即可.【详解】（1）由正弦定理知：又：代入上式可得：，则故有：又，则故的大小为：（2）若选①：由BD平分得：则有：，即在中，由余弦定理可得：又，则有：联立可得：解得：（舍去）故若选②：可得：，，可得：在中，由余弦定理可得：，即联立解得：故21．如图，三棱锥的底面是等腰直角三角形，其中，，平面平面，点，，，分别是，，，的中点.（1）证明：平面平面；（2）当与平面所成的角为时，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）首先根据面面垂直的性质定理证明线面垂直，再通过线面垂直证明面面垂直；（2）首先找到直线PF与平面ABC所成角，计算得到PE的长，方法一是由向量法求角，再根据角是钝角，进而求得角的余弦值；方法二是根据几何法找角，再边长求角的余弦值.【详解】（1）证明：由题意可得，，点，分别是，的中点，故，故，平面平面，交线为，故平面又在平面内，故平面平面；（2）连结，由，点是的中点，可知，再由平面平面，可知平面，连结，可知就是直线与平面所成的角，于是，法一：分别以，，为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的一个法向量为，则得取，则，即平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为，于是注意到二面角是钝角，所以二面角的余弦值为.法二：取的中点，连结，，则，得点在平面内.又因为平面平面，在平面内的射影就是，由，得，故二面角的平面角为，是等腰三角形，点，分别是，的中点，故.于是所以所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.22．已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)若不等式对任意恒成立，求整数m的最大值；(3)若函数，将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围.【答案】(1)(2)4(3)【分析】（1）由二倍角公式及辅助角公式求得，从而可求周期；（2）先求函数的最值，