2022-2023学年江苏省淮安市高一下学期期中联考数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省淮安市高一下学期期中联考数学试题一、单选题1．（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用两角和的正弦公式计算可得；【详解】解：故选：C2．在中，A＝30°，C＝45°，c＝，则a的值为（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】由正弦定理即可求解.【详解】解：因为在中，A＝30°，C＝45°，c＝，所以由正弦定理可得，即，故选：B.3．已知，满足：，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先对两边平方化简求出的值，从而可求出的值【详解】解：因为，，，，所以，，得，所以，故选：D4．圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）.当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为29.5°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为76.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理结合条件即可求得正确答案.【详解】由题可知

，在△BAD中由正弦定理得：，即，又因为在中，，所以.故选：D5．如图，是上靠近的四等分点，是上靠近的四等分点，是的中点，设，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平面向量基本定理，结合向量线性运算求解即可.【详解】因为是上靠近的四等分点，是上靠近的四等分点，是的中点，所以.故选：C.6．已知，求的值（用表示），王老师得到的结果是，叶老师得到的结果是，对此你的判断是（

）A．王老师对、叶老师错 B．两人都对C．叶老师对、王老师错 D．两人都错【答案】B【分析】利用，展开可验证王老师正确.由求得，再由二倍角公式求得，由可验证叶老师正确.【详解】，所以王老师正确.，，所以叶老师正确.故选：B7．已知，，，则a，b，c的大小顺序为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用辅助角法、二倍角余弦公式和两角和的正弦公式化简a，b，c，再利用余弦函数的单调性求解.【详解】因为，，，因为在上递减，所以，即，故选：B8．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史㤵久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．如图甲是一个正八边形窗花隔断，图乙是从窗花图中抽象出的几何图形示意图．已知正八边形的边长为，是正八边形边上任意一点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取AB的中点O，连接MO，通过转化得，则转化为求的最大值，由图得当点M与点F或点E重合时，取得最大值，计算最值即可.【详解】如图，取AB的中点O，连接MO，连接，分别过点，点作的垂线，垂足分别为，所以，当点M与点F或点E重合时，取得最大值，易得四边形为矩形，为等腰直角三角形，则，，则，，取得最大值为，所以的最大值为，故选：D.二、多选题9．下列各式中，值为的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】利用二倍角的正弦、余弦、正切公式计算可得结果.【详解】因为，所以不正确；因为，所以不正确；因为，所以正确；因为，所以正确.故选：CD.【点睛】本题考查了二倍角的正弦、余弦、正切公式的逆用，属于基础题.10．下列说法中正确的是（

）A． B．若且，则C．若非零向量且，则 D．若，则有且只有一个实数，使得【答案】AC【解析】根据相反向量的概念，可得A正确；根据向量共线可得B错；根据向量数量积运算，可得C错；根据向量共线基本定理，可得D错.【详解】由，互为相反向量，则，故A正确；由且，可得或，故B错；由，则两边平方化简可得，所以，故C正确；根据向量共线基本定理可知D错，因为要排除为零向量.故选：AC.【点睛】本题主要考查共线向量、相反向量，以及向量数量积的运算等知识，属于基础题型.11．已知向量，，则（

）A． B．向量在向量上的投影向量为C．与的夹角余弦值为 D．若，则【答案】BCD【分析】利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项的正误；设向量在向量上的投影向量为，根据题意得出，求出的值，可判断B选项的正误；利用平面向量夹角余弦的坐标表示可判断C选项的正误；利用平面向量垂直的坐标表示可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，，，所以，与不共线，A选项错误；对于B选项，设向量在向量上的投影向量为，则，即，解得，故向量在向量上的投影向量为，B选项正确；对于C选项，，，C选项正确；对于D选项，若，则，所以，，D选项正确.故选：BCD.12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（

）A．B．是锐角三角形C．若，则内切圆半径为D．若，则外接圆半径为【答案】AC【分析】利用正弦定理判定选项A正确；利用边角关系和余弦定理判定选项B错误；利用三角形的面积公式进而求出内切圆半径判定选项C正确；利用进行求解判定选项D错误.【详解】因为，所以设，，，且，对于A：由正弦定理，得，即选项A正确；对于选项B：因为，所以角最大，则，即为钝角，即是钝角三角形，即选项B错误；对于C：若，则，，因为，所以，则，设的内切圆半径为，则，解得，即选项C正确；对于D：若，由正弦定理，得，即，即选项D错误.故选：AC.三、填空题13．若与是共线向量，则.【答案】【分析】由两向量共线的坐标表示计算即可得出答案.【详解】因为与共线所以：.故答案为：.14．已知，则.【答案】【分析】先根据诱导公式将变为，再利用倍角公式可得.【详解】，故答案为：15．1626年，阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符号：，，（正割），1675年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：､､（余割），但直到1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中，.若，且，则.【答案】/【分析】根据同角三角函数间的关系对已知等式化简可求出【详解】由，得，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，故答案为：16．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点O为其外接圆的圆心，已知，则当角C取到最大值时△ABC的面积为.【答案】【分析】取AC的中点D，得到OD⊥AC，利用向量的数量积求解得到，用余弦定理和基本不等式得到的最小值，从而得到角C取到最大值时，再使用三角形面积公式进行求解出结果.【详解】设AC的中点为D，因为点O为其外接圆的圆心，所以OA=OB=OC，连接OD，由三线合一得：OD⊥AC，则即，所以，由知，角C为锐角，故，因为，所以由基本不等式得：，当且仅当，即时等号成立，此时角C取到最大值，，，△ABC的面积为.故答案为：四、解答题17．已知，．(1)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围；(2)当时，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据与的夹角为钝角，由，且与不共线求解；（2）先得到，再利用向量模的公式结合二次函数的性质求解.【详解】（1）解：因为，，所以，，因为与的夹角为钝角，所以，且，解得且，所以的取值范围为；（2）根据题意，，则，所以，又，则，所以的取值范围是．18．已知，求：(1)的值；(2)的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，结合，即可求解；（2）利用三角函数的基本关系式和倍角公式，求得的值，得出，再由两角差的正切公式，即可求解.【详解】（1）解：由，因为，，所以，（2）解：因为，且，所以，所以，，所以，则.19．已知函数.(1)求函数在区间的值域：(2)已知函数，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）化简函数由函数，由时，得到，结合正弦函数的性质，即可求解；（2）根据题意转化为恒成立，设，由时，求得，即可求解.【详解】（1）解：由函数，当时，可得，所以，故函数在区间的值域为.（2）解：因为，则，所以，设，若不等式在上恒成立，只需，当时，则，所以当，即时，，所以.实数的取值范围为.20．在中，内角，，对边的边长分别是，，．已知．（1）求角的大小；（2）若，，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理得，由余弦定理可得答案；（2）依题意及正弦定理可得及，由（1）知，由此可得，再利用二倍角公式可得答案.【详解】（1）由化简，得，由正弦定理，得，由余弦定理得，又，所以.（2）因为，，所以由正弦定理，得，因为，所以，所以，所以，所以.21．下面问题的条件①，②，③，④有多余，现请你在①，④中删去一个，并将剩下的三个作为条件解答这个问题．已知中，是边的中点，你删去的条件是_____请写出用剩余条件解答本题的过程．(1)求的长；(2)的平分线交于点，求的长．注：如果选择删去条件①和条件④分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)条件选择见解析，；(2).【分析】（1）删①：设，，在和中，分别应用余弦定理列出方程，通过解方程即可求出的长；删④：设，在和中，分别应用余弦定理，求出和的值，根据即可求出的长；（2）根据，利用三角形的面积公式即可求出的长．【详解】（1）删①：设，，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，联立，解得，，所以，；删④：设，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，∵，所以，解得，所以；（2）由（1）知删①和删④都能得出，，，因为，所以所以.22．如图，A､B是单位圆上的相异两定点（O为圆心），且（为锐角）.点C为单位圆上的动点，线段交线段于点.

(1)求（结果用表示）；(2)若①求的取值范围：②设，求的取值范围.【答案】(1)(2)①②【分析】（1