信号与线性系统总结课件

1.信号的表示电信号的基本形式：随时间变化的电压或电流。描述信号的常用方法（1）表示为时间的函数（2）图形表示--波形1.1绪论系统可以用下面的方框图来表示是输入信号，称为激励;是输出信号，称为响应。2.系统的表示第一章信号与系统1.确定信号和随机信号确定信号：

可以用确定时间函数表示的信号，称为确定信号或规则信号。如正弦信号。随机信号：

若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性，如在某时刻取某一数值的概率，这类信号称为随机信号或不确定信号。

研究确定信号是研究随机信号的基础。本课程只讨论确定信号。1.2信号的分类及性质1.2信号的分类及性质2.连续信号和离散信号在连续的时间范围内(-∞<t<∞）有定义的信号称为连续时间信号，简称连续信号。如取值也连续则常称为模拟信号。

这里的“连续”指函数的定义域—时间是连续的，但可含间断点，至于值域可连续也可不连续。（1）连续时间信号：

仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号。如取值也离散则常称为数字信号。

这里的“离散”指信号的定义域—时间是离散的，它只在某些规定的离散瞬间给出函数值，其余时间无定义。（2）离散时间信号：1.2信号的分类及性质3.周期信号和非周期信号

周期信号(periodsignal)是定义在(-∞，∞)区间，每隔一定时间T(或整数N），按相同规律重复变化的信号。连续周期信号f(t)满足

f(t)=f(t+mT)，m=0,±1,±2,…离散周期信号f(k)满足

f(k)=f(k+mN)，m=0,±1,±2,…满足上述关系的最小T(或整数N)称为信号的周期。不具有周期性的信号称为非周期信号。1.2信号的分类及性质例1

判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。（1）f1(t)=sin2t+cos3t（2）f2(t)=cos2t+sinπt解：两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。（1）sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为

ω1=2rad/s，T1=2π/ω1=πscos3t是周期信号，其角频率和周期分别为

ω2=3rad/s，T2=2π/ω2=(2π/3)s由于T1/T2=3/2为有理数，故f1(t)为周期信号。其周期为T1和T2的最小公倍数2π。（2）

cos2t和sinπt的周期分别为T1=πs，T2=2s，由于T1/T2为无理数，故f2(t)为非周期信号。1.2信号的分类及性质例2

判断正弦序列f(k)=sin(βk)是否为周期信号，若是，确定其周期。解

f

(k)=sin(βk)=sin(βk+2mπ)，m=0,±1,±2,…由上式可见：仅当2π/β为整数时，正弦序列才具有周期N=2π/β。当2π/β为有理数时，正弦序列仍为具有周期性，但其周期为N=m(2π/β)，m取使N为整数的最小整数。当2π/β为无理数时，正弦序列为非周期序列。1.2信号的分类及性质4．能量信号与功率信号

将信号f(t)施加于1Ω电阻上，它所消耗的瞬时功率为|f(t)|2，在区间(–∞,∞)的能量和平均功率定义为：（1）信号的能量E（2）信号的功率P定义：若信号f(t)的能量有界，即E<∞,则称其为能量有限信号，简称能量信号。此时P=0定义：若信号f(t)的功率有界，即P<∞,则称其为功率有限信号，简称功率信号。此时E=∞*抽样函数(sampling)

是偶函数，时，函数值为0。具有以下性质：*几种典型信号的表达式和波形1.3信号的基本运算一、信号的＋、－、×运算两信号f1(·)和f2

(·)的相+、－、×指同一时刻两信号之值对应相加减乘。如1.3信号的基本运算已知f

(t)，画出f

(–4–2t)。三种运算的次序可任意。但注意始终对时间t进行！压缩，得f

(2t–4)反转，得f

(–2t–4)右移4，得f

(t–4)二、信号的时间变换运算1.4冲激函数的性质总结（1）取样性

（2）奇偶性

（3）比例性

（4）微积分性质（5）冲激偶

系统的分类系统的数学模型系统的框图描述§1.5系统的描述1.线性y(t):系统的响应、f(t):系统的激励⑴线性性质：齐次性和可加性可加性：齐次性：f(·)→y(·)

y(·)=T[f(·)]f(·)→y(·)

af(·)→a

y(·)

f1(·)→y1(·)

f2(·)→y2(·)

f1(·)+f2(·)→y1(·)+y2(·)

af1(·)+bf2(·)→ay1(·)+by2(·)

综合，线性性质：线性系统的条件⑴动态系统响应不仅与激励{f

(·)}有关，而且与可分解性零状态线性

y

(·)=T[{f

(·)},{x(0)}]yzi(·)=T[{0}，{x(0)}]，

yzs(·)=T[{f

(·)},{0}]零输入线性⑵动态系统是线性系统，要满足下面3个条件：系统的初始状态{x(0)}有关,初始状态也称“内部激励”。线性系统的条件①可分解性：

y

(·)

=yzi(·)+yzs(·)②零状态线性：

T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1

(·)},{0}]+bT[{f2

(·)},{0}]

y

(·)=T[{f

(·)},{x(0)}]yzi(·)=T[{0}，{x(0)}]，

yzs(·)=T[{f

(·)},{0}]③零输入线性：T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}]线性系统（连续、离散）

线性微分（差分）方程2.时不变性时不变系统：系统参数不随时间变化线性系统时不变常系数微分方程时变变系数微分方程线性时不变系统：yzs(·)=T[{f

(·)},{0}]yzs(t-td)=T[{f

(t-td)},{0}]yzs(k-kd)=T[{f

(k-kd)},{0}]3.因果性

因果系统：即因果系统:激励是原因，响应是结果，响应是不输出不超前于输入。判断方法：指零状态响应不会出现在激励之前的系统。有t<t0，yzs(t)=0t=t0时f(t)加入：

可能在激励施加之前出现的。LTI系统的微分特性和积分特性本课程重点：讨论线性时不变系统。（2）微分特性：

(LinearTime-Invariant)，简称LTI系统。（1）线性性质：齐次性和可加性(3)积分特性：若f(t)→yzs(t)

f’(t)→y’zs

(t)若f(t)→yzs(t)4.稳定性一个系统，若对有界的激励f(.)所产生的零状态响应yzs(.)也是有界时，则称该系统为有界输入有界输出稳定，简称稳定。即若│f(.)│<∞，其│yzs

(.)│<∞则称系统是稳定的。如：

yzs(k)=f(k)+f(k-1)是稳定系统；因为，f(t)=ε(t)有界，当t→∞时，它也→∞，无界。是不稳定系统；例某LTI因果连续系统，起始状态为x(0–)。已知，当x(0–)=1，输入因果信号f1(t)时，全响应

y1(t)=e–t+cos(πt)，t>0；当x(0-)=2，输入信号f2(t)=3f1(t)时，全响应

y2(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0；求输入f3(t)=+2f1(t-1)时，系统的零状态响应y3f(t)。解设当x(0–)=1，输入因果信号f1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为y1x(t)、y1f(t)。当x(0-)=2，输入信号f2(t)=3f1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为y2x(t)、y2f(t)。

1.6系统的特性举例由题中条件，有y1(t)=y1x(t)+y1f(t)=e–t+cos(πt)，t>0（1）y2(t)=y2x(t)+y2f(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0（2）根据线性系统的齐次性，y2x(t)=2y1x(t)，y2f(t)=3y1f(t)，代入式（2）得

y2(t)=2y1x(t)+3y1f(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0（3）式(3)–2×式(1)，得

y1f(t)=–4e-t+cos(πt)，t>0由于y1f(t)是因果系统对因果输入信号f1(t)的零状态响应，故当t<0，y1f(t)=0；因此y1f(t)可改写成

y1f(t)=[–4e-t+cos(πt)]ε(t)(4)f1(t)→y1f(t)=[–4e-t+cos(πt)]ε(t)根据LTI系统的微分特性=–3δ(t)+[4e-t–πsin(πt)]ε(t)根据LTI系统的时不变特性f1(t–1)→y1f(t–1)={–4e-(t-1)+cos[π(t–1)]}ε(t–1)由线性性质，得：当输入f3(t)=+2f1(t–1)时，y3f(t)=+2y1(t–1)=–3δ(t)+[4e-t–πsin(πt)]ε(t)+2{–4-(t-1)+cos[π(t–1)]}(t–1)第二章连续时间系统的时域分析基本概念：系统的数学模型、特征方程、特征根、

零输入响应、零状态响应、

单位冲激响应、单位阶跃响应、自然响应、受迫响应、瞬态响应、稳态响应、

卷积。基本运算：零输入响应的求解、单位冲激响应及单位阶跃响应的求解、零状态响应的求解、卷

积的几何含义、卷积性质的应用。

一、微分方程的经典解y(n)(t)+an-1y

(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y

(t)=bmf(m)(t)+bm-1f

(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f

(t)高等数学中经典解法：完全解=齐次解+特解。

LTI连续系统：常系数的n阶线性常微分方程

齐次解：

满足齐次方程的通解，又叫齐次解特解：

满足非齐次方程的解，叫特解3.全解完全解=齐次解+特解注意：

齐次解的函数形式：仅与系统本身的特性有关特解中待定系数：特解带入非齐次方程，对比求；齐次解中待定系数：在全解求得后由初始条件定。与激励f(t)的函数形式无关又叫固有响应或自由响应特解的函数形式：又叫强迫响应由激励确定自由响应强迫响应关于0-和0+状态的转换t=0+f(t)接入t=0t=0-y(j)(0-)反映的是历史状态与激励f(t)无关初始值或起始值y(j)(0+)冲击函数匹配法（0-、f(t)）共同决定0+t可能变化f(t)=右侧是否包含δ(t)、δ,(t)---

零输入响应和零状态响应其中：Czsj------待定系数yp(t)----特解（3）.y(t)全响应自由响应强迫响应零输入响应零状态响应3.

yzi(0+)、

yzs(0+)、

及各阶导数的确定由yzi(j)(0+)由yzs(j)(0+)由y(j)(0+)响应及各阶导数初始值(j=0,1,2,-------n-1)

y(t)=yzi(t)+yzs(t)

y（j)(t)=yzi(j)(t)+yzs(j)(t)

y（j)(0-)=yzi(j)(0-)+yzs(j)(0-)

y（j)(0+)=yzi(j)(0+)+yzs(j)(0+)⑴.起始条件yzs(0+)响应：零状态响应由0-、f(t)共同决定Czsj--由yzs(j)(0+)定响应：且

t=0_时:激励没有接入yzs

(j)(0-)=0零状态（前提）yzs(j)(0+)=?t>0后：⑵.起始条件yzi(0+)若有，利用δ函数匹配法t>0后：有输入微分方程=右端有没有δ函数其中：Czij要由起始条件yzi(j)(0+)定

yzi（j)(0+)=yzi(j)(0-)=y

(j)(0-)类似电路中的换路定则yzs(0+)由0-、f(t)共同决定零输入响应f(t)=0t=0-yzi(j)(0-)存在一、冲激响应

阶跃响应和冲激响应单位冲激响应

以单位冲激信号作为激励信号时，系统的零状态响应,记为。单位阶跃响应

以单位阶跃信号作为激励信号时,系统的零状态响应，记为。