2023-2024学年人教B版选择性必修第一册 2-4　曲线与方程 学案

2．4曲线与方程新课程标准解读核心素养1.结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系数学抽象2.通过具体实例理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念直观想象笛卡尔是被誉为“近代科学的始祖”“近代哲学之父”，是17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，他在哲学、数学、物理学、天文学、心理学、神学等方面都有研究且成就颇高．其中有一个很有名的故事，笛卡尔给他的恋人写的一封信内容只有短短的一个公式：r＝a(1－sinθ)．你知道这是何意？其实这就是笛卡尔的爱心函数，图形是心形线(如图所示)，是一个圆上的固定一点在它绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹，因其形状像心形而得名．[问题]你能举例说出一条曲线和它对应的方程有怎样的关系吗？知识点曲线与方程1．曲线的方程、方程的曲线在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：(1)曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；(2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．则称曲线C为方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0为曲线C的方程．2．求曲线的方程的步骤1．从集合角度怎样理解曲线与方程的关系？提示：设A是曲线C上的所有点组成的点集，B是所有以方程F(x，y)＝0的实数解为坐标的点组成的点集，那么集合A与集合B具有一一对应关系．即A中任一元素在B中都有唯一一个元素与之对应，并且B中任一元素在A中都有唯一一个元素与之对应．2．怎样判断曲线F(x，y)＝0与G(x，y)＝0是否有交点？提示：转化为方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F（x，y）＝0，,G（x，y）＝0))是否有实数解．1．方程(3x－y＋1)(y－eq\r(1－x2))＝0表示的曲线为()A．两条线段 B．一条直线和半个圆C．一条线段和半个圆 D．一条射线和半个圆解析：C由1－x2≥0，解得－1≤x≤1.因为(3x－y＋1)(y－eq\r(1－x2))＝0，所以3x－y＋1＝0或y＝eq\r(1－x2).故3x－y＋1＝0表示一条线段．因为y＝eq\r(1－x2)，所以x2＋y2＝1，y≥0，即y＝eq\r(1－x2)表示以原点为圆心的半个圆．故选C．2．平面直角坐标平面内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是()A．|x|－|y|＝1 B．|x－y|＝1C．||x|－|y||＝1 D．|x±y|＝1解析：C设点的坐标为(x，y)，由题意可知，平面直角坐标平面内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是||x|－|y||＝1，故选C．3．曲线x2＋y2＋2x＝0与曲线y＋|x|＝0的交点个数是________．解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋2x＝0，,y＋|x|＝0))可得x2＋x＝0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1，))所以交点个数是2.答案：2题型一曲线与方程关系的应用【例1】(链接教科书第124页例1)分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点A(2，0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．解(1)过点A(2，0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解；但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2，0)且平行于y轴的直线上．因此，|x|＝2不是过点A(2，0)平行于y轴的直线的方程．(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5；但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.|通性通法|判定曲线和方程的对应关系的策略(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性．[注意]只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．1．方程x2＋y2＝1(xy<0)表示的曲线是()解析：D因为x2＋y2＝1表示圆心在原点，半径为1的圆，又xy<0，说明图像在二、四象限，故选D．2．已知条件甲：曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线，条件乙：曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，则甲是乙的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：A因为若曲线是方程f(x，y)＝0的曲线，则曲线上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的根；但若曲线上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的根，曲线不一定是方程f(x，y)＝0的曲线．故甲是乙的充分不必要条件．故选A．题型二由方程研究曲线的性质【例2】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：①曲线C上任意一点到原点的距离都不超过eq\r(2)；②曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3；③曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)．其中，所有正确结论的序号是()A．①② B．①③C．②③ D．①②③解析因为x2＋y2＝1＋|x|y≤1＋|xy|≤1＋eq\f(x2＋y2,2)，所以x2＋y2≤2，故曲线C上任意一点到原点的距离都不超过eq\r(2)，①正确；当x＝0时，y＝±1，当x＝±1时，y＝0或1，故曲线过(0，1)，(0，－1)，(1，0)，(1，1)，(－1，0)，(－1，1)6个整数点，③正确；当把曲线的6个整数点连接后，可求出矩形加三角形的面积和为3，显然曲线面积大于3，故②错误．答案B|通性通法|讨论曲线的几何性质一般包括以下几个方面(1)研究曲线的组成和范围，即看一下所求的曲线是由哪一些基本的曲线组成的，在某些情况下可以根据方程求得方程所表示曲线的大致范围；(2)研究曲线与坐标轴是否相交，如果相交，求出交点的坐标，因为曲线与坐标轴的交点是确定曲线位置的关键点；(3)研究曲线的对称性(关于x轴、y轴、原点)；(4)研究曲线的变化趋势，即y随x的增大或减小的变化情况；(5)根据方程画出曲线的大致形状，在画曲线时，可充分利用曲线的对称性，通过列表、描点的方法先画出曲线在一个象限的图像，然后根据对称性画出整条曲线．(多选)如图A(2，0)，B(1，1)，C(－1，1)，D(－2，0)，eq\o(CD,\s\up8(︵))是以OD为直径的圆上一段圆弧，eq\o(CB,\s\up8(︵))是以BC为直径的圆上一段圆弧，eq\o(BA,\s\up8(︵))是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W.则下述正确的是()A．曲线W与x轴围成的面积等于2πB．曲线W上有5个整点(横纵坐标均为整数的点)C．eq\o(CB,\s\up8(︵))所在圆的方程为x2＋(y－1)2＝1D．eq\o(CB,\s\up8(︵))与eq\o(BA,\s\up8(︵))的公切线方程为x＋y＝eq\r(2)＋1解析：BCD如图所示，连接BC，过点C作CK⊥x轴于K，BL⊥x轴于L并取点E(0，2)．则面积S＝π＋2，故A错误；曲线W上有A，B，C，D，E5个整点，故B正确；eq\o(CB,\s\up8(︵))所在圆的圆心为(0，1)，半径为1，故圆的方程为x2＋(y－1)2＝1，C正确；设eq\o(CB,\s\up8(︵))与eq\o(BA,\s\up8(︵))的公切线方程为y＝kx＋b，根据图像知k<0，则eq\f(|k＋b|,\r(1＋k2))＝1，eq\f(|1－b|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝－1，b＝eq\r(2)＋1，即x＋y＝eq\r(2)＋1，D正确；故选B、C、D．题型三求曲线方程角度一直接法求曲线方程【例3】(链接教科书第126页例3)已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程．解如图所示，连接QC，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°.设Q(x，y)，由题意，得|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2，即x2＋y2＋x2＋(y－3)2＝9，所以OP的中点Q的轨迹方程为x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,4)(去掉原点)．|通性通法|直接法求轨迹方程的2种常见类型及解题策略直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐标(x，y)，然后根据题目中的等量关系列出x，y之间的关系并化简．主要有以下两类常见题型；(1)题目给出等量关系，求轨迹方程，可直接代入即可得出方程；(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．[注意]求出曲线的方程后要注意验证方程的纯粹性和完备性．已知点A(－4，0)，B(－1，0)，动点M(x，y)满足|MA|＝2|MB|，则动点M轨迹方程为()A．x2＋y2＝4 B．eq\f(x2,4)＋y2＝1C．x2－eq\f(y2,3)＝1 D．y2＝4x解析：A∵M(x，y)，A(－4，0)，B(－1，0)，∴|MA|＝eq\r(（x＋4）2＋y2)，|MB|＝eq\r(（x＋1）2＋y2)，又∵动点M(x，y)满足|MA|＝2|MB|，∴eq\r(（x＋4）2＋y2)＝2eq\r(（x＋1）2＋y2)，两边平方后可得x2＋8x＋16＋y2＝4x2＋8x＋4＋4y2，整理后可得x2＋y2＝4，故选A．角度二代入法求曲线方程【例4】已知动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3，0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程．解设P(x，y)，M(x0，y0)，∵P为MB的中点．∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0＋3,2)，,y＝\f(y0,2)，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－3，,y0＝2y，))又∵M在曲线x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1，∴P点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.1．(变条件)本例中把条件“M和定点B(3，0)连线的中点为P”改为“eq\o(MP,\s\up6(―→))＝2eq\o(PB,\s\up6(―→))”，求P点的轨迹方程．解：设P(x，y)，M(x0，y0)，则eq\o(MP,\s\up6(―→))＝(x－x0，y－y0)，eq\o(PB,\s\up6(―→))＝(3－x，－y)，由eq\o(MP,\s\up6(―→))＝2eq\o(PB,\s\up6(―→))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－x0＝（3－x）×2，,y－y0＝－2y，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝3x－6，,y0＝3y，))又∵M在曲线x2＋y2＝1上，∴(3x－6)2＋9y2＝1，∴点P的轨迹方程为(3x－6)2＋9y2＝1.2．(变条件)本例中把条件“M和定点B(3，0)连线的中点为P”改为“一动点P和定点B(3，0)连线的中点为M”，试求动点P的轨迹方程．解：设P(x，y)，M(x0，y0)，∵M为PB的中点．∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(x＋3,2)，,y0＝\f(y,2)，))又∵M在曲线x2＋y2＝1上，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))eq\s\up12(2)＝1，即(x＋3)2＋y2＝4，∴P点轨迹方程为(x＋3)2＋y2＝4.|通性通法|代入法求解曲线方程的步骤(1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0)；(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝f（x，y），,y0＝g（x，y）；))(3)代入相关动点的轨迹方程；(4)化简、整理，得所求轨迹方程．1．下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是()解析：D对于A，点(0，－1)满足方程，但不在曲线上，排除A；对于B，点(1，－1)满足方程，但不在曲线上，排除B；对于C，曲线上第三象限的点，由于x＜0，y＜0，不满足方程，排除C，故选D．2．若M(1，2)在曲线x2＋ay2＝2上，则a的值为()A．eq\f(1,4) B．4C．eq\f(1,3) D．3解析：A因为M(1，2)在曲线x2＋ay2＝2上，代入曲线方程可得a＝eq\f(1,4).3．方程eq\r(x－2)＋(y＋2)2＝0表示的图形是()A．圆 B．两条直线C．一个点 D．两个点解析：C由已知得eq\b\lc\{(\