2024届一轮复习人教A版 第五章平面向量与复数第三讲平面向量的数量积 课件（49张）

第三讲平面向量的数量积课标要求考情分析1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角1.本讲复习时应联系生活实例，体会建模，掌握运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本方法.2.加强解三角形及解三角形的实际应用，培养数学建模能力，这也是近几年高考的热点之一1.向量的夹角定义已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积2.平面向量的数量积3.平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a.(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4.平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉.概念几何表示坐标表示a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤(续表)提醒：a∥b与a⊥b所满足的坐标关系不同.a∥b⇔x1y2＝x2y1；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.【名师点睛】(1)平面向量数量积运算的常用公式①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.考点一平面向量数量积的基本运算[例1](1)(2022年庆阳市校级月考)a＝(2，1)，b＝(2，－1)，c＝(0，1)，则(a＋b)·c＝______；a·b＝________.

解析：因为

a＝(2，1)，b＝(2，－1)，c＝(0，1)，所以(a＋b)·c＝a·c＋b·c＝(0＋1)＋(0－1)＝0；a·b＝2×2＋1×(－1)＝3.

答案：03解析：如图5-3-1所示，

图5-3-1答案：－2【题后反思】平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (3)利用数量积的几何意义求解.【变式训练】

1.(一题两空)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图5-3-2所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则(a＋b)·c＝____；a·b＝_______.图5-3-2

解析：以网格正方形的一条水平线为x轴，竖直线为y轴建平面直角坐标系，则有a＝(2，1)，b＝(2，－1)，c＝(0，1)，∴(a＋b)·c＝(4，0)·(0，1)＝4×0＋0×1＝0，a·b＝2×2＋1×(－1)＝3.答案：03如图D22.图D22考点二平面向量数量积的应用考向1求向量的模通性通法：求解平面向量模的方法A.2B.4C.6D.8答案：A

图5-3-3答案：5考向2求向量的夹角通性通法：求平面向量的夹角的方法[例3](1)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()

解析：(方法一)因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－|b|2＝0，又因为|a|＝2|b|，所以2|b|2cos〈a，b〉－|b|2＝0，即cos〈a，b〉图5-3-4答案：B

(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________.

解析：因为

2a－3b与

c的夹角为钝角，所以(2a－3b)·c＜0，即(2k－3，－6)·(2，1)＜0，所以4k－6－6＜0，所以k＜3.若2a－考向3两个向量垂直问题通性通法：(1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题

若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可.(2)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数.[例4](1)(2020年全国Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(

) A.a＋2b

C.a－2b

B.2a＋bD.2a－b答案：D【考法全练】1.(考向2)(多选题)(2021年城厢区模拟)已知向量a＝(λ，1)，)b＝(1，－2)，记向量a，b的夹角为θ，则( A.λ＞2时，θ为锐角 B.λ＜2时，θ为钝角 C.λ＝2时，θ为直角解析：∵向量a＝(λ，1)，b＝(1，－2)，答案：ACD答案：A⊙极化恒等式(数学抽象)图5-3-5图5-3-6答案：－1