2023-2024学年高一数学人教A版2019必修第一册同步备课教案1-4充分条件与必要条件

1．4充分条件与必要条件（单元教学设计）一、【单元目标】【知识与能力目标】（1）理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．（2）理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．（3）理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．【过程与方法目标】（1）通过命题的判定得出充分条件、必要条件的含义，通过定义或集合关系进行充分条件、必要条件、充要条件的判断；（2）让学生归纳整理本节所学知识．【情感态度价值观目标】通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．二、【单元知识结构框架】三、【学情分析】本课是高中数学第一章第4节，充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下基础．从学生学习的角度看，与旧\t"/jiaoshi/20131023/_blank"教材相比，教学时间的前置，造成学生在学习充要条件这一概念时的知识储备不够丰富，逻辑思维能力的训练不够充分，这也为\t"/jiaoshi/20131023/_blank"教师的教学带来一定的困难．“充要条件”这一节介绍了充分条件，必要条件和充要条件三个概念，由于这些概念比较抽象，中学生不易理解，用它们去解决具体问题则更为困难，因此”充要条件”的教学成为中学数学的难点之一，而必要条件的定义又是本节内容的难点．四、【教学设计思路/过程】课时安排：约2课时教学重点：理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断及其证明方法教学难点：命题条件充要性的判断及其证明教学方法/过程：五、【教学问题诊断分析】环节一、情景引入，温故知新问题1：在初中，我们已经对命题有了初步的认识．（1）什么是命题?什么是真命题和假命题?（2）命题通常写成什么形式?命题“对顶角相等”可以改写成这种形式吗?（3）你能列举出一些数学命题吗?【破解方法】教师和学生一起回顾命题的相关知识．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．中学数学中的许多命题可以写成“若，则”的形式，其中称为命题的条件，称为命题的结论．命题“对顶角相等”可以改写成“若两个角是对顶角，则这两个角相等”．学生列举其他熟悉的数学命题，教师引导学生关注命题形式“若，则”并提出本单元所学知识一一常用逻辑用语（充分条件、必要条件和充要条件）．环节二、抽象概念，内涵辨析1．充分必要条件问题2：下列“若，则”形式的命题中，哪些是真命题?哪些是假命题?你是如何判断的?（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；（3）若，则；（4）若平面内两条直线和均垂直于直线，则．【破解方法】命题（1）（4）是初中学习过的判定定理，因此均为真命题；命题（2）容易指出反例，如边长分别为的三角形和边长为4的等边三角形，命题（3）中方程应还有1个解，因此命题（2）（3）都是假命题．【归纳新知】充分条件与必要条件的概念符号与的含义“若，则”为真命题，记作：；“若，则”为假命题，记作：．充分条件、必要条件若，称是的充分条件，是的必要条件．知识点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到．①“若，则”为真命题；②是的充分条件；③是的必要条件以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达．2．充要条件问题3：（1）命题“若，则”的逆命题是什么?（2），我们就说是的充分条件，是的必要条件．如果再加上是的什么条件?是的什么条件?【破解方法】教师和学生一起回顾逆命题的相关知识：将命题“若，则”中的条件和结论互换，就得到一个新的命题“若，则”，称这个命题为原命题的逆命题．问题4：下列“若，则”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题?（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；（3）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则；（4）若是空集，则与均是空集．【破解方法】学生判断四个命题的真假，教师根据学生回答情况进行点评．【归纳新知】充要条件的概念如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，就记作．此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称为充要条件．充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件；③若，且，即，则、互为充要条件；④若，且，则是的既不充分也不必要条件．从集合与集合间的关系看若p：x∈A，q：x∈B，①若AB，则是的充分条件，是的必要条件；②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件；③若A=B，则、互为充要条件；④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件．知识点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件．判断方法通常按以下步骤进行：①确定哪是条件，哪是结论；②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件，④最后判断条件是结论的什么条件．环节三：例题练习，巩固理解【例1】（2023·高一课时练习）下列命题：①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形；②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形；③方程的判别式大于0；④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等；⑤集合是集合A的子集，且是的子集．其中真命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】对于①，矩形是平行四边形，同时矩形有外接圆，故正确；对于②，菱形不一定有外接圆，故错误，对于③，方程的判别式为，故正确，对于④，周长或者面积相等的三角形不一定全等，故错误，对于⑤，，故正确；故选：C．【例2】（2023·山东东营·高一利津县高级中学校考阶段练习）下列各题中，命题p是命题q的什么条件？（填“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也不必要条件”）（只写答案即可）（1）

且（2）（3）

（4）某四边形是菱形

某四边形对角线相互垂直（5）

（6）

【解析】（1）且，则必有；但当时满足，但不满足且，故“”是“且”的必要不充分条件（2）根据单调递增可得，是的充要条件（3）则或，则且，故“”是“”的必要不充分条件（4）菱形对角线互相垂直，但对角线互相垂直的四边形不一定为菱形，故“某四边形是菱形”是“某四边形对角线相互垂直”的充分不必要条件（5）由倒数性质可得，则；但不能推出，也可能为负数，故“”是“”的充分不必要条件（6）因为，故则，但不一定有，故“”是“”的充分不必要条件【例3】（2023·全国·高一假期作业）已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件．正确的命题序号是（

）A．①④ B．①② C．②③ D．③④【答案】B【解析】因为是的的充分不必要条件，所以，推不出，因为是的的充分条件，所以，因为是的必要条件，所以，因为是的必要条件，所以，因为，，所以，又，，所以是的充要条件，命题①正确，因为，，，所以，推不出，故是的充分不必要条件，②正确；因为，，所以，是的充分条件，命题③错误；因为，，所以，又，所以是的充要条件，命题④错误；故选：B．【例4】（2023·广东东莞·高一校考期中）已知集合，集合（1）当时，求；（2）若是的必要条件，求实数m的取值范围．【解析】（1）当时，，所以．（2）因为是的必要条件，则，①当时，，解得；②当时，，解得；综上所述：m的取值范围为．【例5】（2023·宁夏银川·高一宁夏银川二十四中校考阶段练习）中，角，，所对的边分别为，，，求证：的充要条件是．【解析】（1）先证充分性：若，则，∴成立（2）再证必要性：若成立，∵，∴，又因为中，，∴，∴，∴．综上可知，的充要条件是．环节四：小结提升，形成结构问题5：请你带着下列问题回顾本节课学习的内容：（1）判断命题真假的一般方法是什么?（2）你能举例说明什么是充分条件，什么是必要条件吗?（3）你能举例说明什么是充要条件吗?【破解方法】（1）利用学习过的判定定理和性质定理是判断命题为真最直接的方法；举反例则是判断命题为假最简便的方法；（2）在学生举例说明的基础上强调判断充分条件、必要条件与判断命题真假的关系；（3）在学生举例说明的基础上强调判断充要条件与判断命题真假的关系．六、【教学成果自我检测】环节五：目标检测，检验效果1．（2023·上海浦东新·高二上海市洋泾中学校考期末）对于实数，，，且是的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】若“且”则“”成立，当，时，满足，但且不成立，故且”是“”的充分非必要条件．故选：A．2．（2023·福建福州·高一校考期中）若，则的一个充分不必要条件为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，反之不成立，所以P：的一个充分不必要条件为：，其它选项均不符合．故选：D．3．（2023·湖北黄冈·高一校联考期中）若集合，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，可得，解得，因为，所以是“”的充分不必要条件．故选：A．4．（2023·四川绵阳·高一绵阳中学校考阶段练习）下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的有（

）个①若是偶数，则是偶数②若，则方程有实根③若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形④若，则A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】对于①，是偶数，不能保证，均是偶数，也有可能都是奇数，故①不符合题意；对于②，若方程，则需满足，即，可推出，故②符合题意；对于③，若四边形是菱形，则四边形对角线互相垂直，故③符合题意；对于④，若，则，故④符合题意．故选：D．5．（2023·江苏常州·高一校考阶段练习）设集合，，命题p：，命题q：．（1）若p是q的充要条件，求正实数a的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求正实数a的取值范围．【解析】（1）由，得，解得，所以，由p是q的充要条件，得，即，解得，所以实数a的取值范围是；（2）由p是q的必要不充分条件，得，又，则，所以，解得，综上实数a的取值范围是．6．（2023·安徽安庆·高一安庆市第七中学校考期中）设集合，，．（1），求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围．【解析】（1）由题意知当时，，故或，而，故；（2）由“”是“”的充分不必要条件，可得BA，故当时，，符合题意；当时，需满足，且中等号不能同时取得，解得，综合以上，m的取值范围为或．7．（2023·高一单元测试）记关于x的方程的解集为M，其中．（1）求M恰有3个元素的充要条件；（2）在（1）的条件下，试求：以M中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形的充要条件．【解析】（1）原方程等价于或，所以或，由于，所以当时，M恰有3个元素，即．（2）必要性：由（1）知，两个方程或，两个方程的三个根分别为，若它们是直角三角形的三边，则，解得．充分性：若，可解得，以6，8，10为边长的三角形恰为直角三角形．所以为所求的充要条件．8．（2023·高一课时练习）请在“①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件”这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．已知集合，，若是成立的________条件，判断实数是否存在？【解析】若选择条件①，即是成立的充分不必要条件，集合A是集合B的真子集，则有，解得，所以，实数m的取值范围是；若选择条件②，即是成立的必要不充分条件，集合B是集合A的真子集，则有，解得，所以，实数的取值范围是；若选择条件③，即是成立的充要条件，则集合A等于集合B则有，方程组无解，所以，不存在满足条件的实数．9．（2023·贵州安顺·高一校考阶段练习）已