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文档简介
1.4充分条件与必要条件(单元教学设计)一、【单元目标】【知识与能力目标】(1)理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系.(2)理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系.(3)理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系.【过程与方法目标】(1)通过命题的判定得出充分条件、必要条件的含义,通过定义或集合关系进行充分条件、必要条件、充要条件的判断;(2)让学生归纳整理本节所学知识.【情感态度价值观目标】通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用,培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力.二、【单元知识结构框架】三、【学情分析】本课是高中数学第一章第4节,充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一,它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系,目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下基础.从学生学习的角度看,与旧\t"/jiaoshi/20131023/_blank"教材相比,教学时间的前置,造成学生在学习充要条件这一概念时的知识储备不够丰富,逻辑思维能力的训练不够充分,这也为\t"/jiaoshi/20131023/_blank"教师的教学带来一定的困难.“充要条件”这一节介绍了充分条件,必要条件和充要条件三个概念,由于这些概念比较抽象,中学生不易理解,用它们去解决具体问题则更为困难,因此”充要条件”的教学成为中学数学的难点之一,而必要条件的定义又是本节内容的难点.四、【教学设计思路/过程】课时安排:约2课时教学重点:理解充分条件、必要条件、充要条件的意义,掌握命题条件的充要性判断及其证明方法教学难点:命题条件充要性的判断及其证明教学方法/过程:五、【教学问题诊断分析】环节一、情景引入,温故知新问题1:在初中,我们已经对命题有了初步的认识.(1)什么是命题?什么是真命题和假命题?(2)命题通常写成什么形式?命题“对顶角相等”可以改写成这种形式吗?(3)你能列举出一些数学命题吗?【破解方法】教师和学生一起回顾命题的相关知识.一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题,判断为假的语句是假命题.中学数学中的许多命题可以写成“若,则”的形式,其中称为命题的条件,称为命题的结论.命题“对顶角相等”可以改写成“若两个角是对顶角,则这两个角相等”.学生列举其他熟悉的数学命题,教师引导学生关注命题形式“若,则”并提出本单元所学知识一一常用逻辑用语(充分条件、必要条件和充要条件).环节二、抽象概念,内涵辨析1.充分必要条件问题2:下列“若,则”形式的命题中,哪些是真命题?哪些是假命题?你是如何判断的?(1)若平行四边形的对角线互相垂直,则这个平行四边形是菱形;(2)若两个三角形的周长相等,则这两个三角形全等;(3)若,则;(4)若平面内两条直线和均垂直于直线,则.【破解方法】命题(1)(4)是初中学习过的判定定理,因此均为真命题;命题(2)容易指出反例,如边长分别为的三角形和边长为4的等边三角形,命题(3)中方程应还有1个解,因此命题(2)(3)都是假命题.【归纳新知】充分条件与必要条件的概念符号与的含义“若,则”为真命题,记作:;“若,则”为假命题,记作:.充分条件、必要条件若,称是的充分条件,是的必要条件.知识点诠释:对的理解:指当成立时,一定成立,即由通过推理可以得到.①“若,则”为真命题;②是的充分条件;③是的必要条件以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达.2.充要条件问题3:(1)命题“若,则”的逆命题是什么?(2),我们就说是的充分条件,是的必要条件.如果再加上是的什么条件?是的什么条件?【破解方法】教师和学生一起回顾逆命题的相关知识:将命题“若,则”中的条件和结论互换,就得到一个新的命题“若,则”,称这个命题为原命题的逆命题.问题4:下列“若,则”形式的命题中,哪些命题与它们的逆命题都是真命题?(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等,则这两个三角形全等;(2)若两个三角形全等,则这两个三角形的周长相等;(3)若一元二次方程有两个不相等的实数根,则;(4)若是空集,则与均是空集.【破解方法】学生判断四个命题的真假,教师根据学生回答情况进行点评.【归纳新知】充要条件的概念如果“若,则”和它的逆命题“若,则”均是真命题,即既有,又有,就记作.此时,既是的充分条件,也是的必要条件,我们说是的充分必要条件,简称为充要条件.充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若,则”,其条件p与结论q之间的逻辑关系①若,但,则是的充分不必要条件,是的必要不充分条件;②若,但,则是的必要不充分条件,是的充分不必要条件;③若,且,即,则、互为充要条件;④若,且,则是的既不充分也不必要条件.从集合与集合间的关系看若p:x∈A,q:x∈B,①若AB,则是的充分条件,是的必要条件;②若A是B的真子集,则是的充分不必要条件;③若A=B,则、互为充要条件;④若A不是B的子集且B不是A的子集,则是的既不充分也不必要条件.知识点诠释:充要条件的判断通常有四种结论:充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行:①确定哪是条件,哪是结论;②尝试用条件推结论,③再尝试用结论推条件,④最后判断条件是结论的什么条件.环节三:例题练习,巩固理解【例1】(2023·高一课时练习)下列命题:①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形;②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形;③方程的判别式大于0;④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等;⑤集合是集合A的子集,且是的子集.其中真命题的个数是(
)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】对于①,矩形是平行四边形,同时矩形有外接圆,故正确;对于②,菱形不一定有外接圆,故错误,对于③,方程的判别式为,故正确,对于④,周长或者面积相等的三角形不一定全等,故错误,对于⑤,,故正确;故选:C.【例2】(2023·山东东营·高一利津县高级中学校考阶段练习)下列各题中,命题p是命题q的什么条件?(填“充分不必要条件”,“必要不充分条件”,“充要条件”,“既不充分也不必要条件”)(只写答案即可)(1)
且(2)(3)
(4)某四边形是菱形
某四边形对角线相互垂直(5)
(6)
【解析】(1)且,则必有;但当时满足,但不满足且,故“”是“且”的必要不充分条件(2)根据单调递增可得,是的充要条件(3)则或,则且,故“”是“”的必要不充分条件(4)菱形对角线互相垂直,但对角线互相垂直的四边形不一定为菱形,故“某四边形是菱形”是“某四边形对角线相互垂直”的充分不必要条件(5)由倒数性质可得,则;但不能推出,也可能为负数,故“”是“”的充分不必要条件(6)因为,故则,但不一定有,故“”是“”的充分不必要条件【例3】(2023·全国·高一假期作业)已知是r的充分不必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,现有下列命题:①s是q的充要条件;②是q的充分不必要条件;③r是q的必要不充分条件;④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是(
)A.①④ B.①② C.②③ D.③④【答案】B【解析】因为是的的充分不必要条件,所以,推不出,因为是的的充分条件,所以,因为是的必要条件,所以,因为是的必要条件,所以,因为,,所以,又,,所以是的充要条件,命题①正确,因为,,,所以,推不出,故是的充分不必要条件,②正确;因为,,所以,是的充分条件,命题③错误;因为,,所以,又,所以是的充要条件,命题④错误;故选:B.【例4】(2023·广东东莞·高一校考期中)已知集合,集合(1)当时,求;(2)若是的必要条件,求实数m的取值范围.【解析】(1)当时,,所以.(2)因为是的必要条件,则,①当时,,解得;②当时,,解得;综上所述:m的取值范围为.【例5】(2023·宁夏银川·高一宁夏银川二十四中校考阶段练习)中,角,,所对的边分别为,,,求证:的充要条件是.【解析】(1)先证充分性:若,则,∴成立(2)再证必要性:若成立,∵,∴,又因为中,,∴,∴,∴.综上可知,的充要条件是.环节四:小结提升,形成结构问题5:请你带着下列问题回顾本节课学习的内容:(1)判断命题真假的一般方法是什么?(2)你能举例说明什么是充分条件,什么是必要条件吗?(3)你能举例说明什么是充要条件吗?【破解方法】(1)利用学习过的判定定理和性质定理是判断命题为真最直接的方法;举反例则是判断命题为假最简便的方法;(2)在学生举例说明的基础上强调判断充分条件、必要条件与判断命题真假的关系;(3)在学生举例说明的基础上强调判断充要条件与判断命题真假的关系.六、【教学成果自我检测】环节五:目标检测,检验效果1.(2023·上海浦东新·高二上海市洋泾中学校考期末)对于实数,,,且是的(
)A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】A【解析】若“且”则“”成立,当,时,满足,但且不成立,故且”是“”的充分非必要条件.故选:A.2.(2023·福建福州·高一校考期中)若,则的一个充分不必要条件为(
)A. B.C. D.【答案】D【解析】由,反之不成立,所以P:的一个充分不必要条件为:,其它选项均不符合.故选:D.3.(2023·湖北黄冈·高一校联考期中)若集合,,则“”是“”的(
)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由,可得,解得,因为,所以是“”的充分不必要条件.故选:A.4.(2023·四川绵阳·高一绵阳中学校考阶段练习)下列“若,则”形式的命题中,是的必要条件的有(
)个①若是偶数,则是偶数②若,则方程有实根③若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形④若,则A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】对于①,是偶数,不能保证,均是偶数,也有可能都是奇数,故①不符合题意;对于②,若方程,则需满足,即,可推出,故②符合题意;对于③,若四边形是菱形,则四边形对角线互相垂直,故③符合题意;对于④,若,则,故④符合题意.故选:D.5.(2023·江苏常州·高一校考阶段练习)设集合,,命题p:,命题q:.(1)若p是q的充要条件,求正实数a的取值范围;(2)若p是q的必要不充分条件,求正实数a的取值范围.【解析】(1)由,得,解得,所以,由p是q的充要条件,得,即,解得,所以实数a的取值范围是;(2)由p是q的必要不充分条件,得,又,则,所以,解得,综上实数a的取值范围是.6.(2023·安徽安庆·高一安庆市第七中学校考期中)设集合,,.(1),求;(2)若“”是“”的充分不必要条件,求m的取值范围.【解析】(1)由题意知当时,,故或,而,故;(2)由“”是“”的充分不必要条件,可得BA,故当时,,符合题意;当时,需满足,且中等号不能同时取得,解得,综合以上,m的取值范围为或.7.(2023·高一单元测试)记关于x的方程的解集为M,其中.(1)求M恰有3个元素的充要条件;(2)在(1)的条件下,试求:以M中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形的充要条件.【解析】(1)原方程等价于或,所以或,由于,所以当时,M恰有3个元素,即.(2)必要性:由(1)知,两个方程或,两个方程的三个根分别为,若它们是直角三角形的三边,则,解得.充分性:若,可解得,以6,8,10为边长的三角形恰为直角三角形.所以为所求的充要条件.8.(2023·高一课时练习)请在“①充分不必要条件,②必要不充分条件,③充要条件”这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的实数存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.已知集合,,若是成立的________条件,判断实数是否存在?【解析】若选择条件①,即是成立的充分不必要条件,集合A是集合B的真子集,则有,解得,所以,实数m的取值范围是;若选择条件②,即是成立的必要不充分条件,集合B是集合A的真子集,则有,解得,所以,实数的取值范围是;若选择条件③,即是成立的充要条件,则集合A等于集合B则有,方程组无解,所以,不存在满足条件的实数.9.(2023·贵州安顺·高一校考阶段练习)已
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