二次函数 全国优质课一等奖

第一章二次函数小结与复习二次函数二次函数的概念二次函数的图象与性质不共线的三点确定二次函数的表达式二次函数与一元二次方程的联系二次函数的应用┃知识归纳┃1．二次函数的概念一般地，形如

(a，b，c是常数，

)的函数，叫做二次函数．[注意](1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2是特殊的二次函数．y＝ax2＋bx＋ca≠0函数表达式开口方向对称轴顶点坐标a>0,开口向上;a<0,开口向下.开口大小抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2(a>0)y=ax2(a<0)（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方(除顶点外)向上向下当x=0时,最小值为0.当x=0时,最大值为0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.

在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.

越小,开口越大.

越大,开口越小.抛物线y=ax2的性质知识归纳开口大小抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+c(a>0)y=ax2+c(a<0)（0，c）（0，c）y轴y轴当c>0时,在x轴的上方(经过一,二象限);当c<0时,与x轴相交(经过一,二三四象限).当c<0时,在x轴的下方(经过三,四象限);当c>0时,与x轴相交(经过一,二三四象限).向上向下当x=0时,最小值为c.当x=0时,最大值为c.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.根据图形填表：二次函数y=ax2+c的图象和性质.由|a|来决定，|a|越大，开口越小，|a|越小，开口越大。二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=a(x-h)2+k(a>0)y=a(x-h)2+k(a<0)（h，k）（h，k）直线x=h直线x=h由h和k的符号确定由h和k的符号确定向上向下当x=h时,最小值为k.当x=h时,最大值为k.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.根据图形填表：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.根据图形填表：二次函数y=ax2+c的图象可以由y=ax2

的图象当c>0时向上平移|c|个单位得到.当c<0时向下平移|c|个单位得到.上加下减一般地,由y=ax²的图象便可得到二次函数y=a(x-h)²+k的图象:y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位

(当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.左加右减上加下减小结：二次函数y=ax2+bx+c

的系数a、b、c与图象的关系a决定图象的形状开口方向开口大小

a

越大图象开口越小

a越小图象开口越大当a>0时开口向上

当a<0时开口向下b影响对称轴的位置当b=0时，对称轴为

.表达式是

.当ab>0时，对称轴在y轴

.当ab<0时，对称轴在y轴

.y轴左侧右侧“同左异右”3.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则：a

0,b

0.＞＞y=ax2+cc确定图象与y轴的交点：（0，c)当c＝0时图象过

.表达式是

.当c>0时图象与y轴

半轴相交当c<0时图象与y轴

半轴相交原点正负y=ax2+bx二次函数表达式有哪几种表达方式？一般式：y=ax2+bx+c顶点式：y=a(x-h)2+k如何求二次函数的表达式？已知二次函数图象上三个点的坐标，可用待定系数法求其表达式.交点式：y=a(x-x1)(x-x2)知识盘点一、求二次函数的解析式的一般步骤：一设、二列、三解、四还原.二、二次函数常用的几种解析式的确定1、一般式已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式。y=ax2+bx+c已知抛物线上顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。已知抛物线与x轴的交点坐标，选择交点式。2、顶点式3、交点式

4、平移式 将抛物线平移，函数解析式中发生变化的只有顶点坐标，可将原函数先化为顶点式，再根据“左加右减，上加下减”的法则，即可得出所求新函数的解析式。 y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2+ky=a(x-x1)

(x-x2)y=ax2(a≠0)y=ax2+c(a≠0)y=a(x-h)2+k(a≠0)y=ax2+bx+c(a≠0)y=a(x-h)2(a≠0)顶点式一般式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)交点式不同二次函数表达式的特点已知抛物线与x轴的交点坐标分别是x1,x2，则选择交点式。y=ax2+bx(a≠0)顶点在原点对称轴是y轴图象经过原点顶点在x轴上二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?复习当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac有两个交点有两个不同的实数根b2-4ac>0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac<0一般地，当y取定值时，二次函数即为一元二次方程二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴（直线y=0）的交点横坐标，就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.二次函数y=ax2+bx+c的图象和直线y=k的交点横坐标，就是一元二次方程ax2+bx+c=k的根.y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c关于y轴对称y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c关于x轴对称y=a(x-h)2+k与y=a(x+h)2+k关于y轴对称y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2-k关于x轴对称关于坐标轴对称复习1.配方法求最值二次函数表达式的顶点式是

，若a<0，则当x=

时，y有最大值

。y=ax²+bx+c(a≠0)y=a(x-h)2+k(a≠0)应用：hk2.公式法求最值二次函数表达式的一般式是

，若a<0，则当x=

时，y有最大值

。深思熟虑1.在坐标平面内,点(-2,3)向右平移3个单位坐标为(,),再向下平移2个单位得(,)继续向左移5个单位得到(,)2.抛物线y=-2(x+2)2+3向右平移3个单位得到图象的解析式为

,再向下平移2个单位得

,继续向左移5个单位得到

.1311-41y=-2(x-1)2+1y=-2(x-1)2+3y=-2(x+4)2+1抛物线的平移3.已知抛物线C1的解析式是y=2x2-4x+5，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，则抛物线C2的解析式

。4、若二次函数y=a(x+3)2有最大值，那么a

0,当x=

时，函数有最大值

.5、二次函数y=4x2-mx+5，当x＜-2时，y随x的增大而减小，当x＞-2时，y随x的增大而增大，则当x=1时，函数y的值是

.y=-2x2+4x-5<-30m=-16256.抛物线y=x2+2x-4的对称轴是__________,开口方向是______,顶点坐标是___________.7.已知抛物线与轴交于A(-1,0)和(1,0)并经过点M(0,1),则此抛物线的解析式为_______________y=-x2+1直线x=-1向上（-1，-5）1.

图象经过(0，0)，(1，-2)，(2，3)三点。求下列条件下的二次函数的解析式:3.图象经过(-2，0)，(3，0)，且最高点2.图象的顶点(2，3)，且经过点(3，1)。的纵坐标是3。实际问题与二次函数0xyh

ABD河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所示的坐标系，其函数的表达式为y=-x2，

当水位线在AB位置时，水面宽AB=30米，这时水面离桥顶的高度h是（）A、5米B、6米；C、8米；D、9米解：当x=15时，Y=-1/25×152=-9问题1：问题2：某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价一元，销量减少10个，为赚得最大利润，售价定为多少？最大利润是多少？分析：利润=（每件商品所获利润）×

（销售件数）

设每个涨价x元，那么（3）销售量可以表示为（1）销售价可以表示为（50+x）元（x≥0，且为整数）(500-10x)

个（2）一个商品所获利润可以表示为（50+x-40）元（4）共获利润可以表示为(50+x-40)(500-10x)元问题3:如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。ABCD解：(1)∵AB为x米、篱笆长为24米∴花圃另一边为（24－4x）米

(3)∵墙的可用长度为8米

(2)当x＝时，S最大值＝＝36（平方米）∴S＝x（24－4x）＝－4x2＋24x（0<x<6）∴0<24－4x≤84≤x<6∴当x＝4m时，S最大值＝32平方米小试牛刀

如图，在ΔABC中，AB=8cm，BC=6cm，∠B＝90°，点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米／秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米／秒的速度