42分离对称性宇称或空间反演课件

§4.2分离对称性，宇称或空间反演上面讨论的是连续性对称操作，即对称操作可由相继无穷小对称算符所得。量子力学中有用的对称操作并不限于此种形式，可有分立而非连续的对称操作，如宇称，晶格平移和时间反演。宇称或空间反演操作将r变为-r，而右手坐标系变为左手坐标系。量子力学中我们讨论的常是作用于态矢而不是坐标系的变换。对称操作的两种等价方式：主动与被动§4.2分离对称性，宇称或空间反演上面讨论的是连续性对称一、宇称算符的基本性质对|α>，用幺正算符π表示宇称算符，|α>

π|α>。

要求位置算符的期望值变号，即则有位置本征态|x’>在宇称作用下变为本征值为-x’的态：故由于用π作用两次体系必恢复原状，故π2=1π=π-1=π+，π是厄米的。对π的本征态|β>,因ππ|β>=β2|β>，知β=±1一、宇称算符的基本性质对|α>，用幺正算符π表示宇称算符，|二、算符在宇称操作下的变换由于先平移后反演等同于先反演后在相反方向平移：有或{p,π}=0.该关系与p=dx/dt的预期相同。对轨道角动量L=xxp，可预期[L,π]=0.对一般角动量，考虑到R(宇称)=-I，宇称和转动操作对易，故量子力学中的相应幺正算符也对易：

πD(R)=D(R)π[π,J]=0.二、算符在宇称操作下的变换由于先平移后反演等同于先反演后在相三、矢量和赝矢量在转动下x和J以相同方式变换，两者都是矢量，或一阶球张量，但x和p与π反对易，而J与对易。与宇称反对易的矢量称为极性矢量，而与宇称对易的矢量叫做轴矢量或赝矢量。类似的有标量算符（与宇称算符对易）和赝标量算符（与宇称算符反对易）。L•S、x•p是标量：π+

L•Sπ=L•S赝标量的例子包括S•x、L•x等：三、矢量和赝矢量在转动下x和J以相同方式变换，两者都是矢量，四、波函数在宇称操作下的变换若|α>为宇称本征态，π|α>=±|α>,则<x’|π|α>=±<x’|α>,

故有“+”对应偶宇称，“-”对应奇宇称。当然，只有与π对易的算符之本征态才可能有确定的宇称。如动量算符不与π对易，其本征态即平面波并非π的本征态，而轨道角动量的本征态则可为π的本征态：四、波函数在宇称操作下的变换五、能量本征态与宇称若[H,π]=0,而|n>是H的本征值为En的非简并本征态，则|n>是宇称本征态。证：Hπ|n>=Enπ|n>,由非简并性得π|n>=eiδ|n>.作为应用，考虑简谐振子本征态。由于基态为高斯函数，π|0>=|0>,而π|1>=πa+|0>=-|1>。类似可推得π|n>=(-)n|n>注意:非简并性对得出|n>是π的本征态是非常重要的。若有简并，如氢原子体系，Cp|2p>+Cs|2s>是H本征态，但并非π的本征态。又如动量本征态也是自由粒子H本征态，但|p’>和|-p’>简并,|p’>并非π的本征态.当然，我们可以通过组合H的简并本征态而得到π的本征态，如|α>=[|p’>±|-p’>]便是π和H的共同本征态(1+π)|n>和(1-π)|n>总是宇称本征态五、能量本征态与宇称若[H,π]=0,而|n>是H的本征值为六、对称双势阱H与π对易，EA=H|A>>ES=H|S>，EA-ES随势垒增高而减少。取|R>~|S>+|A>，|L>~|S>-|A>,在π作用下|R>和|L>对调.|R>和|L>不是π或H的本征态，但有相同能量期望值.|R>和|L>是非定态,若t0=0处于|R>，则t时状态为该态在|R>和|L>间震荡，震荡角频率为该震荡可看成量子力学的隧道贯穿，粒子在经典物理禁止的区域隧穿而震荡于两态间。如势垒无穷高，则EA=ES，从而ω=0，不再震荡。注：对无穷高势垒，|R>和|L>均是H的本征态，但非π的本征态。即H所具有的宇称不一定反映在其本征态上，这是简并与对称破缺的一个简单例子。该现象在自然界相当普遍(铁磁、糖与氨基酸的手性等)。六、对称双势阱七、宇称选择定则若即奇宇称的x将相反宇称的态相联系。该讨论可推广到其他算符。如算符为奇宇称，则其只有在不同宇称的状态间有不为零的矩阵元。偶宇称算符则在同宇称态间矩阵元才可能不为零。如果[H,π]=0，能量非简并态必无偶极矩：<n|x|n>=0当然，对简并态，则<n|x|n>不一定为零。宇称不守恒：若H与π对易，则宇称守恒，否则宇称不守恒。基本粒子间的弱作用H与宇称不对易，故过程宇称不守恒。李杨最早发现弱相互作用宇称不守恒而获诺奖。七、宇称选择定则若§4.3分立对称性：晶格平移晶格平移这一分立对称性在固体物理中有重要的应用。对一维周期势，τ+(a)V(x)τ(a)=V(x+a)=V(x),a为晶格常数。[H,τ(a)]=0,τ(a)和H可同时对角化.在H和τ(a)的共同本征矢中，由于τ幺正而非厄米，τ的期待值为复数且模为1。为求出τ(a)的本征态，先考虑无限高势垒的情形。此时电子只能局域于某格点附近。设相应能量本征态为|n>,H|n>=En|n>,n表示格点位置,不同|n>简并。虽然|n>是H的本征态,且H与τ(a)对易，|n>不是τ(a)的本征态。将不同|n>线性叠加,可得到τ(a)的本征态:§4.3分立对称性：晶格平移晶格平移这一分立对称性在固体有限高势垒时，|n>并不完全局域于格点n，而是主要集中于格点n而随与n的距离而衰减。以|n>为基构造|θ>，|θ>仍为本征值为e-iθ的本征态由于设，有取k=θ/a，则可见晶格平移算符的本征态|θ>之波函数可写成平面波与具有晶格周期性的函数之乘：

且，k空间范围称为(第一)BrillouinZoneBloch定理有限高势垒时，|n>并不完全局域于格点n，而是主要集中于格点能量本征值可见不同k=θ/a的态能量本征值不同.能量本征值能量本征值紧束缚近似:<0|H|0>=E0,原来简并的能级被消简并，形成能量范围为E0-2Δ到E0+2Δ的能带。非紧束缚：能带概念相似，形状复杂些多电子、多原子晶胞：不同能带原则上可交叉能量本征值紧束缚近似:<0|H|0>=E0,§4.4时间反演分立对称性一、牛顿力学的时间反演变换经典力学情形：一受保守力场作用的粒子其轨迹如图若x(t)是牛顿方程的解，令t’=-t,有x(-t)也是牛顿方程的解(时间反演:x

x,dx/dt-dx/dt)可见时间反演应更确切地称为运动反演或运动的倒转。§4.4时间反演分立对称性一、牛顿力学的时间反演变换二、电动力学的时间反演变换Maxwell方程：Lorentz力：对t

-t变换,若则Maxwell方程和Lorentz力形式不变。即若上述讨论表明，经典物理中的时间变换为：t

-t，x

x,v-v(p-p),ρ

ρ,EE,

j-j,B-B二、电动力学的时间反演变换Maxwell方程：三、薛定谔方程的时间反演变换对薛定谔方程，，作时间反演：可见Ψ(x,-t)与Ψ(x,t)满足不同的方程对上式取复共轭，得：可见对解Ψ(x,t)

，有相应解Ψ*(x,-t)因Ψ(x)=<x|α>，时间反演波函数由<x|α>*给出三、薛定谔方程的时间反演变换对薛定谔方程，四、反幺正算符若一对称操作使，从前遇到的情况为内积不变，相应对称操作以幺正算符表征对时间反演,波函数变为复共轭,应有定义：对变换,如果称θ为反幺正算符后一式所定义的算符称为反线性算符。四、反幺正算符若一对称操作使一般而言，反幺正算符可写成θ=UK，U为幺正算符，K为复共轭算符。K对右矢的叠加系数作用，即

若|α>不是基矢,可展开为以|a’>为基矢的矢量:K的作用效果依赖于基矢的选取（因而U也必与基矢的选取有关）θ是反幺正的说明：

θ是反线性的

θ是反幺正的一般而言，反幺正算符可写成θ=UK，U为幺正算符，K为复共轭五、时间反演算符Θ时间反演态（运动反演态）：

Θ

|α>如由上面讨论知,动量本征态|p>的时间反演态:Θ|p>=|-p>时间反演算符的基本性质假设态矢具有时间反演对称性：

得：-iHΘ=ΘiH，Θ应为反幺正算符

HΘ=ΘH五、时间反演算符Θ时间反演态（运动反演态）：Θ|α>六、时间反演算符Θ的运算仅考虑Θ从左边作用于右矢，和利用

及左右矢的对偶对应关系重要等式：这是因为对有故六、时间反演算符Θ的运算仅考虑Θ从左边作用于右矢，和利用对厄米算符A，有若ΘAΘ-1=±A，称A在时间反演下具有偶(奇)对称由此，可得A在时间反演态的期望值：由，知ΘpΘ-1=-p类似地,ΘxΘ-1=x,

Θ|x’>=|x’>从可知ΘJΘ-1=-J七、厄米算符的时间反演对称性对厄米算符A，有七、厄米算符的时间反演对称性八、波函数的变化由知：对球谐函数：可见：定理：若H在时间反演下不变，且能量本征态非简并，则相应波函数是实的。证:HΘ|n>=ΘH|n>=EnΘ|n>,Θ|n>与|n>相同,故<x’|n>=<x’|n>*注意：时间反演态的动量空间波函数为Φ*(-p)八、波函数的变化由九、自旋1/2体系的时间反演因

(时间反演的效果)得由于有所以：对无自旋体系Θ2=1两者很不相同！九、自旋1/2体系的时间反演因十、一般角动量体系的时间反演由,得而故对任意|α>:此外：一般地可有：需要指出：最方便的相位约定依所处理的物理问题而定，但Θ2=±1与相位约定无关。十、一般角动量体系的时间反演由十一、球张量的时间反演性质对若A是的分量，由于Wigner-Eckart定理只要考虑q=0的分量即可。对厄米球张量，其时间反演奇偶性由q=0