嵌套函数的零点问题（解析版）

嵌套函数的零点问题思路引导思路引导函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.母题呈现母题呈现类型一嵌套函数零点个数的判断【典例1】已知函数，则函数的零点个数是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【解题指导】令→→作函数与图象→两个交点的横坐标为→、判断的零点个数.【解析】令，则，作出的图象和直线，由图象可得有两个交点，设横坐标为，∴.当时，有，即有一解；当时，有三个解，∴综上，共有4个解，即有4个零点，故选A【方法总结】1.判断嵌套函数零点个数的主要步骤(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点．(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数．2．抓住两点：(1)转化换元．(2)充分利用函数的图象与性质．【针对训练】（2022·长春市实验中学高三模拟）已知，则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是()A．3 B．5 C．7 D．8【答案】B【分析】函数y=2f2（x）﹣3f（x）+1=[2f（x）﹣1][f（x）﹣1]的零点，即方程f（x）=和f（x）=1的根，画出函数f（x）=的图象，数形结合可得答案．【详解】函数y=2f2（x）﹣3f（x）+1=[2f（x）﹣1][f（x）﹣1]的零点，即方程f（x）=和f（x）=1的根，函数f（x）=的图象如下图所示：由图可得方程f（x）=和f（x）=1共有5个根，即函数y=2f2（x）﹣3f（x）+1有5个零点，故选B．类型二已知嵌套函数的零点个数求参数【例2】函数f(x)＝，若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围____．【解题指导】设t＝f(x)→令g(x)＝f(f(x))－a＝0→a＝f(t)→作y＝a，y＝f(t)的图像根据a的范围分类讨论y＝a，y＝f(t)的交点个数【解析】设t＝f(x)，令g(x)＝f(f(x))－a＝0，则a＝f(t)．在同一平面直角坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图像：①当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图像有两个交点，设交点的横坐标为，(不妨设＞)，则＜－1，≥－1．当＜－1时，＝f(x)有一解；当≥－1时，＝f(x)有两解，∴此时g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，满足题意；②当a＜－1时，y＝a与y＝f(t)的图像有一个交点．设交点的横坐标为，令得t＝，∴，此时＝f(x)有一个解，不满足题意；综上所述，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点．【方法总结】(1)求解本题抓住分段函数的图象性质，由y＝a与y＝f(t)的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由t＝f(x)的图象确定零点的个数．(2)含参数的嵌套函数方程，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合．【针对训练】已知函数，若关于的函数有6个不同的零点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】作出的函数图象如下：设，则当或时，方程只有1解，当时，方程有2解，当时，方程有3解，当时，方程无解．∵关于的函数有6个不同的零点，∴关于的方程在上有两解，∴，解得．模拟训练模拟训练1．（2023春·浙江温州·高二温州中学校联考期末）已知函数有三个不同的零点（其中），则（

）A．1 B．4 C．16 D．64【答案】C【解析】令，则.所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以.由题意必有两个根，且.由根与系数的关系有：，.由图可知，有一解，即.有两解且，即.所以=16.故选：C2．（2023秋·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）已知函数有三个不同的零点（其中），则的值为A． B． C． D．1【答案】D【解析】令y=，则y′=，故当x∈（0，e）时，y′＞0，y=是增函数，当x∈（e，+∞）时，y′＞0，y=是减函数；且=﹣∞，=，=0；令=t，则可化为t2+（a﹣1）t+1﹣a=0，故结合题意可知，t2+（a﹣1）t+1﹣a=0有两个不同的根，故△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，故a＜﹣3或a＞1，不妨设方程的两个根分别为t1，t2，①若a＜﹣3，t1+t2=1﹣a＞4，与t1≤且t2≤相矛盾，故不成立；②若a＞1，则方程的两个根t1，t2一正一负；不妨设t1＜0＜t2，结合y=的性质可得，=t1，=t2，=t2，故（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=（1﹣t1）2（1﹣t2）（1﹣t2）=（1﹣（t1+t2）+t1t2）2又∵t1t2=1﹣a，t1+t2=1﹣a，∴（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=1；故选D．3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有三个不同的零点.其中，则的值为（

）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】令，则，故当时，，是增函数，当时，，是减函数，可得处取得最小值，，，画出的图象，由可化为，故结合题意可知，有两个不同的根，故，故或，不妨设方程的两个根分别为，，①若，，与相矛盾，故不成立；②若，则方程的两个根，一正一负；不妨设，结合的性质可得，，，，故又，，．故选：A．4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有三个不同的零点（其中），则的值为A． B． C． D．【答案】A【解析】令，构造，求导得，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，且时，，时，，，可画出函数的图象（见下图），要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根（其中），则，解得或，且，若，即，则，则，且，故，若，即，由于，故，故不符合题意，舍去.故选A.5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，有三个不同的零点，（其中），则的值为A． B． C．-1 D．1【答案】D【解析】令f（x）=0，分离参数得a=令h（x）=由h′（x）=得x=1或x=e．当x∈（0，1）时，h′（x）＜0；当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0．即h（x）在（0，1），（e，+∞）上为减函数，在（1，e）上为增函数．∴0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，a=令μ=则a=即μ2+（a-1）μ+1-a=0，μ1+μ2=1-a＜0，μ1μ2=1-a＜0，对于μ=，则当0＜x＜e时，μ′＞0；当x＞e时，μ′＜0．而当x＞e时，μ恒大于0．不妨设μ1＜μ2，则μ1=，=（1-μ1）2（1-μ2）（1-μ3）=[（1-μ1）（1-μ2）]2=[1-（1-a）+（1-a）]2=1．故选D．6．（2023·辽宁·校联考二模）已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为（

）A．81 B．﹣81 C．﹣9 D．9【答案】A【解析】∴∴令，，则，∴令，解得∴时，，单调递减；时，，单调递增；∴，，∴a﹣3∴.设关于t的一元二次方程有两实根，，∴，可得或.∵，故∴舍去∴6，.又∵，当且仅当时等号成立，由于，∴，（不妨设）.∵，可得，，.则可知，.∴.故选：A.7．（2023春·全国·高三专题练习）已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为（

）A．1 B．3 C．4 D．9【答案】D【解析】由得，即，记，且设，一方面由得（*），当时方程（*）有两个不相等的实数根，，且，；另一方面，由知在上单调递减，在上单调递增，，，当时，，当时，，如图：，且，，因此.故选：D8．（2023秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）设定义在R上的函数满足有三个不同的零点且则的值是（

）A．81 B．-81 C．9 D．-9【答案】A【解析】由有三个不同的零点知：有三个不同的实根，即有三个不同实根，若，则，整理得，若方程的两根为，∴，而，∴当时，即在上单调递减；当时，即在上单调递增；即当时有极小值为，又，有，即.∵方程最多只有两个不同根，∴，即，，∴.故选：A9．（2023秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考期中）已知函数有三个不同的零点，且，则的值为（

）A．3 B．6 C．9 D．36【答案】D【解析】因为，所以，因为，所以有三个不同的零点，令，则，所以当时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，令，则必有两个根、，不妨令、，且，，即必有一解，有两解、，且，故故选：D10．（2023·陕西·统考模拟预测）已知函数有三个不同的零点，且，则的值为（

）A．3 B．4 C．9 D．16【答案】C【解析】，，有三个不同的零点.令，在递增，在上递减，.时，.令，必有两个根，，且，有一解，有两解，且，故.故选：C11．（2023春·江苏扬州·高三扬州中学校考开学考试）关于的方程有三个不等的实数解，，，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，则，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以当时，函数取得最大值，函数的图象如图所示：则，由图象知：，因为关于的方程有三个不等的实数解，，，所以方程有两个不等的实数解，由韦达定理得：，所以，故选：B12．（2023秋·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由方程，可得.令，则有，即.令函数，则，由，解得，，解得所以在上单调递增，在上单调递减，且作出图象如图所示，要使关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，结合图象可得关于的方程一定有两个实根，，且，，，.所以，解得或若，则,解得，则此时只有1个实数根，此时原方程没有3个不等实数根，故不满足题意.若，则，可得，显然此时原方程没有3个不等实数根，故不满足题意.要使原方程有3个不等实数根，则所以，，解得.所以，故.故选：A13．（2023·山西阳泉·统考三模）关于x的方程有三个不等的实数解，，，且，则的值为A．e B．1 C． D．【答案】B【解析】设，则，故函数在上单调递增，在上单调递减，，画出函数图像，如图所示：设，，则，即，化简整理得到：，故，，且，，.故选：B.14．（多选题）（2023秋·山东临沂·高三校联考阶段练习）若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，则的值可能为（

）A．1 B． C． D．【答案】BC【解析】由方程，可得．令，则有，即．令函数，则，所以在上单调递增，在上单调递减．作出图象如图所示，要使关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，结合图象可得关于的方