七年级数学上册专题16 线段和角中的重难点-解析版

/专题16专项突破-线段和角中重难点【思维导图】◎类型一线段的和与差【例】．（2022·贵州铜仁·七年级期末）己知点M是线段AB上一点，若，点N是直线AB上的一动点，且，则的（

）A． B． C．1或 D．或2【答案】C【分析】根据N在线段AB上和线段AB外分情况讨论，再结合线段关系即可解题．【详解】当N在射线BA上时，，不合题意当N在射线AB上时，，此时当N在线段AB上时，由图可知∴，∴∵∴∴∴故选：C．【点睛】本题考查线段和差计算，解题的关键是画出图形根据图像找到线段直接的和差关系．【跟踪训练】．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校阶段练习）已知线段，延长到，使，为的中点，若cm，则（

）A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm【答案】D【分析】根据题意可得，根据中点的性质可得，根据，结合已知条件即可求解．【详解】解：，，为的中点，，，，cm，故选D【点睛】本题考查了线段的和差计算，线段中点的性质，数形结合是解题的关键．【变式训练】变式1．（2022·福建福州·七年级期末）点A、B、C在同一直线上，，，则（

）．A．12cm B．8cm C．12cm或8cm D．以上均不对【答案】C【分析】分两种情况分别计算，即可分别求得．【详解】解：当点C在线段AB上时，BC=AB-AC=10-2=8(cm)，当点C在线段BA的延长线上时，BC=AB+AC=10+2=12(cm)，故BC的长为12cm或8cm，故选：C．【点睛】本题考查了求线段的和差，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．变式2．（2022·黑龙江牡丹江·七年级期末）若点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点，线段AB＝18cm，则线段的BD长为（

）A．6cm B．15cm C．12cm或15cm D．12cm或6cm【答案】C【分析】根据线段中点的定义和线段三等分点的定义画出图形即可得到结论．【详解】解∶∵C是线段AB的中点，AB=18cm，∴AC=BC=AB=×18=9cm，点D是线段AC的三等分点，当点D离点A较近，即AD=AC时，如图1，∵AD=AC，AC=9cm，∴AD=3cm，∴BD=AB-AD=18-3=15cm；②当点D离点C较近，即CD=AC时，如图2，∵CD=AC，AC=9cm，∴CD=3cm，∵BC=9cm，∴BD=BC+CD=9+3=12cm，故选：C．【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，分类讨论思想的运用是解题的关键．变式3．（2022·河南商丘·七年级期末）已知点C在直线AB上，AB4，BC6，点D是线段AC的中点，则AD等于（

）A．5 B．2 C．5或1 D．5或2【答案】C【分析】分类讨论点C在线段AB的延长线上时，当点C在线段AB的反向延长线上时，根据线段的和差，可得AC的长，根据线段中点的性质，可得AD的长．【详解】当点C在线段AB的延长线上时，AB4，BC6，，点D是线段AC的中点，；当点C在线段AB的反向延长线上时，AB4，BC6，，点D是线段AC的中点，；综上，AD等于5或1．故选：C．【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键，又利用了线段中点的性质，能求出符合的所有情况是解此题的关键．◎类型二线段中点的有关计算【例】．（2022·山东烟台·期中）六年级正在举办“线段争霸赛”，题板上出示第一个抢答题目是：如图，点为线段上一点，，是线段中点，，为线段的中点，则（

）A．2 B．1 C．1.5 D．3【答案】B【分析】首先根据题意容易得到MC、AC的长度，再结合AC-BC=4可得BC的长度；再由MB=MC+BC,结合N为线段MB的中点可得MN的长度，再由CN=MN-MC即可解答本题．【详解】解：∵点M为AC的中点，∴∴AC=12，∵，∴∴又点N为BM的中点，∴∴故选：B【点睛】本题主要考查的是线段的和差倍关系的相关知识.解决此类问题的关键是找到各个已知量和未知量之间的关系，用已知量表示出未知量，然后进行求解．【跟踪训练】．（2022·山东泰安·期末）已知线段，点是直线上一点，，若是的中点，是的中点，则线段的长度是（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】本题需要分两种情况讨论，①当点C在线段AB上时，②当点C在线段AB的延长线上时，根据线段中点的定义，计算即可．【详解】解：①当点C在线段AB上时，AB=2022cm，BC=1000cm，如图，∵M是AC的中点，N是BC的中点，∴AC=2022-1000=1022(cm)，则MN=MC+CN=AC+BC=511+500=1011(cm)，②当点C在线段AB的延长线上时，AC=2022+1000=3022cm，如图，MN=MC-CN=AC-BC=1511-500=1011cm．综上所述，线段MN的长度是1011cm．故选：A．【点睛】本题考查中点有关的线段计算，熟练掌握线段和差与线段中点的定义是解题的关键．【变式训练】．变式1（2022·全国·七年级课时练习）在数轴上，点对应的数为，点对应的数为，且，满足．点为直线上点右边的一点，且，点为中点，则线段的长为（

）A．6 B．8 C．10 D．15【答案】C【分析】根据a、b满足|a+5|+（b﹣3）2＝0，即可得到a、b的值，从而可以得到点A，B所表示的数；设点P表示的数为m，先根据中点的定义表示点Q，根据数轴上两点的距离表示AP＝3PB，列方程可得结论．【详解】解：∵|a+5|+（b﹣3）2＝0，∴a+5＝0，b﹣3＝0，解得a＝﹣5，b＝3，即点A，B所表示的数分别为﹣5，3；设点P表示的数为m，∵点P在直线AB上点B右边一点，∴m＞3，∵点Q为PB的中点，∴BQ＝∴点Q表示的数为：∵AP＝3PB，∴m－（﹣5）＝3（m﹣3），∴m＝7，∴AQ＝－（﹣5）＝+5＝10．故选：C【点睛】本题考查一元一次方程的应用、非负数的性质、数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数轴上两点的距离表示线段的长．变式2．（2022·山东潍坊·七年级期末）如图，点C，D是线段AB上任意两点，点M是线段AC的中点，点N是线段DB的中点，若，，则线段CD的长等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由AB−MN=m−n，得AM+BN=m−n，再根据中点的性质得AC+BD=2m−2n，最后由CD=AB−(AC+BD)即可求出结果．【详解】解：∵AB=m，MN=n，∴AB−MN=m−n，∴AM+BN=m−n，∵点M是AC的中点，点N是DB的中点，∴AM=MC，BN=DN，∴AC+BD=AM+MC+BN+DN=2(AM+BN)=2(m−n)=2m−2n.，∴CD=AB−(AC+BD)=m−(2m−2n)=2n−m，故选：D．【点睛】本题考查了与线段中点有关的计算，解题的关键是掌握线段中点的性质．变式3．（2021·河南开封·七年级期末）已知线段，点C在的延长线上，点D在直线上，，，点M是线段的中点，则的长为（

）A．4或12 B．8或12 C．4或8 D．9或12【答案】A【分析】如图1，当D在线段AB上时，根据线段的和差得到BC=AB+AC=32，根据线段的中点的定义得到CM=CD=8，于是得到AM=AC−CM=4；如图2，当D在ABAB的延长线上时，根据线段的和差得到BC=AB+AC=32，根据线段中点的定义得到CM=CD=24，于是得到AM=CM−AC=24−12=12．【详解】解：如图1，当D在线段AB上时，∵AB=20，AC=12，∴BC=AB+AC=32，∵BD=16，∴CD=BC−BD=16，∵点M是线段CD的中点，∴CM=CD=8，∴AM=AC−CM=4；如图2，当D在AB的延长线上时，∵AB=20，AC=12，∴BC=AB+AC=32，∵BD=16，∴CD=BC+BD=32+16=48，∵点M是线段CD的中点，∴CM=CD=24，∴AM=CM−AC=24−12=12，综上，的长为4或12，故选：A．【点睛】本题考查了两点间的距离，线段的和差，线段的中点，在未画图类问题中，正确画图很重要．本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．◎类型三线段n等分点的有关计算【例】．（2022·河南信阳·七年级期末）若线段AB＝12cm，点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点，则线段BD的长为（）A．2cm或4cm B．8cm C．10cm D．8cm或10cm【答案】D【分析】根据线段中点的定义和线段三等分点的定义即可得到结论．【详解】解：∵C是线段AB的中点，AB＝12cm，∴AC＝BC＝AB＝×12＝6（cm），点D是线段AC的三等分点，①当AD＝AC时，如图，BD＝BC+CD＝BC+AC＝6+4＝10（cm）；②当AD＝AC时，如图，BD＝BC+CD′＝BC+AC＝6+2＝8（cm）．所以线段BD的长为10cm或8cm，故选：D．【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，分类讨论的思想的运用是解题的关键；【跟踪训练】．（2021·江苏·七年级专题练习）把根绳子对折成一条线段，在线段取一点，使，从处把绳子剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为，则绳子的原长为（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】由于题目中的对折没有明确对折点，所以要分A为对折点与B为对折点两种情况讨论，讨论中抓住最长线段即可解决问题．【详解】解：如图∵，∴2AP=＜PB①若绳子是关于A点对折，∵2AP＜PB∴剪断后的三段绳子中最长的一段为PB=30cm，∴绳子全长=2PB+2AP=24×2+×24=64cm；②若绳子是关于B点对折，∵AP＜2PB∴剪断后的三段绳子中最长的一段为2PB=24cm∴PB=12cm∴AP=12×cm∴绳子全长=2PB+2AP=12×2+4×2=32cm；故选：C．【点睛】本题考查的是线段的对折与长度比较，解题中渗透了分类讨论的思想，体现思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．【变式训练】．变式1．（2021·山东济宁·七年级期末）点是线段上的三等分点，是线段的中点，是线段的中点，若，则的长为（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】分两种情况分析：点C在AB的处和点C在AB的处，再根据中点和三等分点的定义得到线段之间的关系求解即可.【详解】①当点C在AB的处时，如图所示：因为，E是线段BC的中点，所以BC=12,又因为点C是线段AB上的三等分点，所以AB＝18；②当点C在AB的处时，如图所示：因为，E是线段BC的中点，所以BC=12,又因为点C是线段AB上的三等分点，所以AB＝36.综合上述可得AB=18或AB=36.故选：D.【点睛】考查了线段有关计算，解题关键根据题意分两种情况分析，并画出图形，从而得到线段之间的关系.变式2．（2021·全国·七年级专题练习）如图，C，D，E是线段AB的四等分点，下列等式不正确的是（）A．AB＝4AC B．CE＝AB C．AE＝AB D．AD＝CB【答案】D【分析】由C，D，E是线段AB的四等分点，得AC＝CD＝DE＝EB＝AB，即可知A、B、C均正确，则可求解【详解】由C，D，E是线段AB的四等分点，得AC＝CD＝DE＝EB＝AB，选项A，AC＝AB⇒AB＝4AC，选项正确选项B，CE＝2CD⇒CE＝AB，选项正确选项C，AE＝3AC⇒AE＝AB，选项正确选项D，因为AD＝2AC，CB＝3AC，所以，选项错误故选D．【点睛】此题考查的是线段的等分，能理解题中：C，D，E是线段AB的四等分点即为AC＝CD＝DE＝EB＝AB，是解此题的关键变式3．（2020·山东·德州四中七年级期末）已知线段AB＝4cm，点C是直线AB上一点（不同于点A、B）．下列说法：①若点C为线段AB的中点，则AC＝2cm；②若AC＝1cm，则点C为线段AB的四等分点；③若AC+BC＝4cm，则点C一定在线段AB上；④若AC+BC＞4cm，则点C一定在线段AB的延长线上；⑤若AC+BC＝8cm，则AC＝2cm．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据线段的中点，线段的延长线，线段的反向延长线，线段的和差计算正确结论即可.【详解】解：（1）如图1所示：∵点C为线段AB的中点，∴AC＝BC＝，又∵AB＝4cm，∴AC＝2cm，∴结论①正确；（2）如图2所示：∵AC1＝1，AB＝4，∴，∴点C1为线段AB的四等分点又∵AC2＝1，∴又∵点C2在AB的反向延长线上，∴点C2不是线段AB的四等分点，∴结论②错误；（3）如图3所示：点C为线段AB上的一动点，∴AB＝AC+BC，又∵AB＝4cm，∴AC+BC＝4cm，∴结论③正确；（4）如图4所示：若点C在AB的延长线上时，AC1+BC1＞AB，∵AB＝4，∴AC1+BC1＝AB+2BC1＞4cm，若点在AB的反向延长线上时，AC2+BC2＞AB，∵AB＝4，∴AC2+BC2＝AB+2AC2＞4cm，∴结论④正确；（5）如图5所示：若点C在线段AB的延长线时，且AC1＝6cm，有AC1+BC1＝8cm，若点C在线段AB的反向延长线时，且AC2＝2cm，有AC2+BC2＝8cm，∴结论⑤错误．综合所述；正确结论是①、③、④，故选：C．【点睛】本题考查线段的中点，线段的延长线，线段的反向延长线，线段的和差计算，熟练掌握各定义和运算法则是关键.◎类型四线段间的数量关系【例】．（2022·湖北武汉·七年级期末）已知线段AB，延长AB至C，使AB＝mBC，反向延长AB至D，使AD＝BD，若AB：CD＝6：13，则m的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知条件易求AD＝BC，再利用线段的和差可得CD＝BC，由AB：CD＝6：13可得关于m的方程，解方程可求解m值．【详解】解：如图，∵AD＝BD，∴AB＝2AD，即AD＝AB∵AB＝mBC，∴AD＝BC，∴CD＝AD＋AB＋BC＝BC＋mBC＋BC＝（m＋1）BC，∵AB：CD＝6：13，∴mBC：（m＋1）BC＝6：13，9m＋6＝13m解得m＝，故选：C．【点睛】本题主要考查两点间的距离，求解CD与BC的关系是解题的关键．【跟踪训练】．（2022·河南新乡·七年级期末）如图，若，M为AC的中点，，则BM的长度为（

）A．10 B．9.5 C．9 D．8【答案】D【分析】根据M为AC的中点，，求出AM，AB的长度，再利用线段的和差求解即可．【详解】解：∵，M为AC的中点，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查中点的定义、线段之间的和差关系，属于基础题．【变式训练】．变式1．（2022·贵州遵义·七年级期末）如图，点A，B在线段EF上，点M，N分别是线段EA，BF的中点，EA：AB：BF＝1：2：3，若MN＝8cm，则线段EF的长为（

）cmA．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【分析】由于EA：AB：BF=1：2：3，可以设EA=x，AB=2x，BF=3x，而M、N分别为EA、BF的中点，那么线段MN可以用x表示，而MN=8cm，由此即可得到关于x的方程，解方程即可求出线段EF的长度．【详解】解：∵EA：AB：BF=1：2：3，可以设EA=x，AB=2x，BF=3x，而M、N分别为EA、BF的中点，∴MA=EA=x，NB=BFx，∴MN=MA+AB+BN=x+2x+x=4x，∵MN=16cm，∴4x=8，∴x=2，∴EF=EA+AB+BF=6x=12，∴EF的长为12cm，故选C．【点睛】本题考查了两点间的距离．利用线段中点的性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．变式2．（2022·甘肃·凉州区中佳育才学校一模）如图，在平行四边形中，点为的中点，与相交于点，若已知，那么等于（

）A．6 B．9 C．12 D．3【答案】A【分析】根据点为的中点，得出DM=，根据平行四边形性质，得出AB∥CD，AB=CD，可证△ABN∽△MDN，利用相似三角形性质得出AN=2MN，根据等高三角形面积比得出即可．【详解】解：∵点为的中点，∴DM=，在平行四边形中AB∥CD，AB=CD，∴∠ABN=∠MDN，∠BAN=∠DMN，∴△ABN∽△MDN，∴，∴AN=2MN，∴，∵，∴．故选：A．【点睛】本题考查线段中点，平行四边形性质，三角形相似判定与性质，等高三角形面积比等于底的比性质，掌握以上性质是解题关键．变式3．（2022·广西南宁·七年级期末）已知线段AB，延长AB至C，使，D是线段AC上一点，且，则的值是（

）．A．6 B．4 C．6或4 D．6或2【答案】D【分析】根据延长AB至C，使，求出AC与AB的关系，再根据点D在AB或BC上，分别求出AD与AB的关系，再求两线段的比．【详解】解：∵线段AB，延长AB至C，使，∴AC=AB+BC=AB+2AB=3AB，∵D是线段AC上一点，且，当点D在AB上，AD=AB-BD=AB-=，∴,当点D在BC上，∴AD=AB+BD=AB+，∴．故选择D．【点睛】本题考查线段的画法，分类考虑点D的位置，线段的和差倍分，两线段的比，掌握线段的画法，分类考虑点D的位置，线段的和差倍分，两线段的比，利用数形结合思想再求求出AD与AB的关系是解题关键．◎类型五与线段有关的动点问题【例】（2021·全国·七年级专题练习）B是线段AD上一动点，沿A至D的方向以的速度运动．C是线段BD的中点．．在运动过程中，若线段AB的中点为E．则EC的长是（

）A． B． C．或 D．不能确定【答案】B【分析】根据线段中点的性质，做出线段AD，按要求标出各点大致位置，列出EB，BC的表达式，即可求出线段EC．【详解】设运动时间为t，则AB=2t，BD=10-2t，∵C是线段BD的中点，E为线段AB的中点，∴EB==t，BC==5-t，∴EC=EB+BC=t+5-t=5cm，故选：B．【点睛】此题考查对线段中点的的理解和运用，涉及到关于动点的线段的表示方法，难度一般，理解题意是关键．【跟踪训练】（2022·江苏宿迁·七年级期末）如图，直线l上有A，B，C，D四点，点P从点A的左侧沿直线l从左向右运动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，点P就称为这两个点的黄金伴侣点，例：若PA＝PB，则在点P从左向右运动的过程中，点P成为黄金伴侣点的机会有（）A．4次 B．5次 C．6次 D．7次【答案】C【分析】由题意知，点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，恰好点P是其中一条线段的中点，根据线段中点定义解答即可．【详解】解：由题意知，点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，恰好点P是其中一条线段的中点，图中共有六条线段：AB、BC、CD、AC、AD、BD，∴点P成为黄金伴侣点的机会有六次，故选：C．【点睛】此题考查了线段中点的定义，确定线段的数量，正确理解题意得到线段中点定义是解题的关键．【变式训练】．变式1．（2021·云南昆明·七年级期末）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，可以写出前几个点表示的数，从而可以发现数字的变化特点，然后即可得到2023次跳动后的点与A1A的中点的距离，本题得以解决．【详解】解：由题意可得，点A1表示的数为8×＝4，点A2表示的数为8××＝2，点A3表示的数为8××＝1，…，点An表示的数为8×（）n，∵A1A的中点表示的数为（8+4）÷2＝6，∴2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是：6﹣8×（）2023＝6﹣（）2020＝6﹣，故选：D．【点睛】本题考查数字的变化类、数轴，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点．变式2．（2022·山东滨州·七年级期末）如图，线段的长为，点为上一动点（不与，重合），为中点，为中点，随着点的运动，线段的长度（

）A．随之变化 B．不改变，且为C．不改变，且为 D．不改变，且为【答案】D【分析】把DE的长度转化为DC与CE的长度之和，转化为AB的长度即可求解．【详解】∵为中点，为中点，∴DC=AC，CE=BC∴DE=DC+CE=AC+BC=AB=m故选：D．【点睛】本题主要考查的是线段动点问题以及线段中点的定义，熟练掌握线段中点的定义是解答本题的关键．变式3．（2020·江苏·无锡外国语学校七年级期中）如图，甲､乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A､C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2017次相遇在边(

)A．AB上 B．BC上 C．CD上 D．DA上【答案】C【分析】第一次相遇行走路程为2a,第二次路程为4a…第n次还是4a,而他们的速度和为5v，求每次甲走的路程，甲第一次走的路程为S1=，第二次走的路程为S2=，第n次走的路程为Sn=，然后求出甲一共走的路程被一周4a除看有多少圈，最后考虑余下的圈数乘以一周4a即可．【详解】设正方形的边长为a，甲的速度为v,则乙的速度为4v，第一次相遇时间为t1，第二次相遇时间为t2，第n次相遇时间为tn，甲第一次走的路程为S1，第二次走的路程为S2，第n次走的路程为Sn，4vt1+vt1=2a，t1=，S1=v•t1=，4vt2+vt2=4a，t2=，S2=v•t2=，4vt3+vt3=4a，t3=，S3=v•t3=，…tn=，Sn=v•tn=，S=S1+S2+…+Sn=++…+=，当n=2017时，S=，S÷4a=403.3圈，0.3×4a=1.2a，第2017次相遇在CD上距离D为0.2a．故选择：C．【点睛】本题考查相遇地点问题，关键是以甲还是乙为考查对象，然后计算他们走的总路程，被一周4a除看余数，掌握路程时间与速度关系，确定好每次走的路程，第一次2a，以后都是4a才能得以解决问题．◎类型六与方向角有关的计算题【例】（2022·河北廊坊·七年级期末）如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则∠ABE＝（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据方位角以及平行线的性质可得∠2=∠3=、∠1=，则∠ABE＝∠1+∠2，最后计算即可．【详解】解：如图：∵小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处∴∠2=∠3=，∠1=∴∠ABE＝∠1+∠2=138°．故答案为D．【点睛】本题主要考查了方位角和角的运用，正确认识方位角成为解答本题的关键．【跟踪训练】．（2022·重庆·西南大学附中七年级期中）如图，一艘快艇向正东方向行驶至点时，接到指令向右转，航行到处，再向左转，航行到处，再向右转继续航行，此时这艘快艇的航行方向为（

）A．北偏西 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏东【答案】C【分析】只需要根据平行线的性质求出∠PCQ的度数即可得到答案．【详解】解：由题意得，∠BAF=70°，∵，∴∠EBH=∠BAF=70°，∵∠CBE=100°，∴∠CBH=30°，∵，∴∠PCG=∠CBH=30°，又∵∠GCQ=45°，∴∠PCQ=15°，∴此时的航行方向为南偏东75°，故选C．【点睛】本题主要考查了与方位角有关的计算，平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．【变式训练】．变式1．（2022·河北·景县第二中学一模）如图，已知A处在O处的南偏东30°方向上，若∠AOB＝80°，OB在OA的左侧，则B处位于O处的方向是（

）A．南偏西50° B．北偏西40° C．北偏东50° D．南偏东40°【答案】A【分析】先计算OB与正南方向的夹角大小，后用方位角描述即可．【详解】设正南方向为OC，∵∠AOB＝80°，∠AOC＝30°，∴∠BOC＝50°，∴B处位于O处的方向是南偏西50°，故选A．【点睛】本题考查了方位角，正确理解方位角的意义是解题的关键．变式2．（2022·河北·高邑县教育局教研室七年级期末）如图，有三个地点，且，从A地测得B地的方位角是北偏东，那么从C地测B地的方位角是（

）A．南偏东 B．南偏西 C．北偏东 D．北偏西【答案】A【分析】根据方向角的概念和平行线的性质求解．【详解】解：如图，∵AF//DE，∴∠ABE=∠FAB=43°，∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠CBD=47°，∴C地在B地的北偏西47°的方向上．∴从C地测B地的方位角是南偏东故选：A．【点睛】本题主要考查了方位角，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．变式3．（2022·海南省直辖县级单位·七年级期末）如图，甲从点出发向北偏东65°方向走到点，乙从点出发向南偏西20°方向走到点，则的度数是（）A．85° B．135° C．105° D．150°【答案】B【分析】如图，先求出∠BAD=，∠CAE=20°，∠EAD=，根据=∠BAD+∠EAD+∠CAE即可计算得出答案．【详解】如图，∵∠BAD=，∠CAE=20°，∠EAD=，∴=∠BAD+∠EAD+∠CAE=135°,故选：B．．【点睛】此题考查方位角的计算，正确掌握方位角的表示及角度的和差计算是解题的关键．◎类型七三角板中角度的有关计算问题【例】．（2022·山东威海·七年级期中）如图，把一块含45°角的三角板的直角顶点靠在长尺（两边平行）的一边上，若∠1=28°，则三角板的斜边所在直线与长尺的另一边的夹角∠2=(

)A．16° B．17° C．18° D．19°【答案】B【分析】利用两直线平行，同位角相等，三角形外角和定理计算即可．【详解】如图，∵45°角的三角板的直角顶点靠在长尺（两边平行）的一边上，∠1=28°，∴AB∥CD，∠4=45°，∴∠1=∠3=28°，∠2=∠4-∠3，∴∠2=17°，故选B．【点睛】本题考查了三角板的性质，直尺的性质，平行线的性质，三角形外角和定理，熟练掌握平行线的性质和三角形外角和定理是解题的关键．【跟踪训练】．（2022·山东青岛·期中）如图，将两个三角尺的直角与顶点O重合在一起，若，OE为的平分线，则的度数为（

）A．36 B．45 C．60 D．72【答案】D【分析】根据∠AOD+∠BOC＝180°，∠AOD＝4∠BOC，求出∠BOC的度数，再根据角平分线求出∠COE的度数，利用∠DOE＝∠COD﹣∠COE即可解答．【详解】解：∵∠AOB＝90°，∠COD＝90°，∴∠AOB+∠COD＝180°，∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC，∠COD＝∠BOC+∠BOD，∴∠AOC+∠BOC+∠BOC+∠BOD＝180°，∴∠AOD+∠BOC＝180°，∵∠AOD＝4∠BOC，∴4∠BOC+∠BOC＝180°，∴∠BOC＝36°，∵OE为∠BOC的平分线，∴∠COE∠BOC＝18°，∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣18°＝72°，故选：D．【点睛】本题考查了角的计算，解决本题的关键是明确∠AOD+∠BOC＝180°．【变式训练】变式1．（2022·河北保定·七年级阶段练习）一副直角三角板如图摆放，其中与交于点M．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根据直角三角形两锐角互余可算出∠F的度数，再由“两直线平行，内错角相等”，可求出∠MDB度数，在△BMD中，利用三角形外角性质可求出∠BMF的度数．【详解】解：在△DEF中，∠EDF＝90°，∠E＝45°，∴∠F＝90°−∠E＝45°，∵BCEF，∴∠MDB＝∠F＝45°，是△BMD的一个外角，∴∠BMF＝∠B∠MDB＝75°，故选：A．【点睛】本题主要考查求角度问题，涉及到三角形内角和定理、平行线的性质和三角形外角性质，根据图形，结合相关定理性质求出每个角的度数是解题关键．变式2．（2022·江苏常州·七年级期末）把一副三角尺按如图所示放置（2个直角顶点重合），则∠1、∠2、∠3的和是（

）A．60° B．90° C．105° D．120°【答案】C【分析】为便于描述，按图设置字母，根据△MON和△HOG是一副三角板，可得∠OMN=60°，∠OHG=45°，∠MON=∠HOG=90°，则有∠OMH=60°-∠1，∠MHO=45°-∠3，∠MOG=90°-∠2，∠NOH=90°-∠2，在△OMH中，根据∠OMH+∠OHM+∠MOG+∠NOH+∠2=180°即可求解．【详解】为便于描述，按下图设置字母，∵△MON和△HOG是一副三角板，∴根据图形可知∠OMN=60°，∠OHG=45°，∠MON=∠HOG=90°，∵∠OMH=∠OMN-∠1，∠MHO=∠OHG-∠3，∠MOG=∠MON-∠2，∠NOH=∠HOG-∠2，∴∠OMH=60°-∠1，∠MHO=45°-∠3，∠MOG=90°-∠2，∠NOH=90°-∠2，∵在△OMH中，∠OMH+∠OHM+∠MOG+∠NOH+∠2=180°，∴60°-∠1+45°-∠3+90°-∠2+90°-∠2+∠2=180°，∴∠1+∠3+∠2=105°，故选：C．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、常用三角板的特性等知识，根据△MON和△HOG是一副三角板，得到∠OMN=60°，∠OHG=45°，∠MON=∠HOG=90°是解答本题的关键．变式3．（2022·辽宁丹东·七年级期末）如图，两块直角三角板的直角顶点O重合在一起，若，则的度数为（

）A．22.5° B．23.2° C．25.5° D．30°【答案】A【分析】设∠BOC＝x，根据余角的性质可得∠AOC＝90°−x，∠BOD＝90°−x，则可得出∠AOD＝∠AOC＋∠BOC＋BOD＝90°−x＋x＋90°−x＝180°−x，根据已知∠BOC：∠AOD＝1：7，可得x：180−x＝1：7，求解即可得出答案．【详解】解：设∠BOC＝x，∵∠AOC＝90°−x，∠BOD＝90°−x，∴∠AOD＝∠AOC＋∠BOC＋BOD＝90°−x＋x＋90°−x＝180°−x，∵∠BOC：∠AOD＝1：7，∴x：180−x＝1：7，解得：x＝22.5°，∴∠BOC＝22.5°．故选：A．【点睛】本题主要考查了余角的定义及角的计算，熟练掌握余角的定义及角的计算进行求解即可得出答案．◎类型八几何图形中的有关角度的计算问题【例】．（2022·湖北武汉·七年级期末）如图，C，D在线段BE上，下列四个说法：①直线CD上以B，C，D，E为端点的线段共有6条；②图中有4对互为补角的角；③若∠BAE＝110°，∠DAC＝40°，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为370°；④若BC＝4，CD＝3，DE＝5，点F是线段BE上任意一点（包含端点），则点F到点B，C，D，E的距离之和的最小值为15．其中正确的说法是（）A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④【答案】C【分析】①按照一定的顺序数出线段的条数即可；②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，由此即可确定选择项；③根据角的和与差计算即可；④分两种情况探讨：当F在线段CD上最小，点F和E重合最大计算得出答案即可．【详解】解：①以B、C、D、E为端点的线段BC、BD、BE、CE、CD、DE共6条，故①正确；②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，即∠BCA和∠ACD互补，∠ADE和∠ADC互补，故②错误；③由∠BAE=110°，∠DAC=40°，根据图形可以求出∠BAC+∠DAE+∠DAC+∠BAE+∠BAD+∠CAE=110°+110°+110°+40°=370°，故③正确；④当F在线段CD上，则点F到点B，C，D，E的距离之和最小为FB+FE+FD+FC=BE+CD=BC+CD+DE+CD=4+3+5+3=15，故④正确．故选：C．【点睛】此题分别考查了线段、角的和与差以及角度的计算，解题时注意：互为邻补角的两个角的和为180°．【跟踪训练】．（2022·广西贺州·一模）已知，，则∠BOC的度数为（

）A．78° B．42° C．78°或42° D．102°或48°【答案】C【分析】分两种情况讨论，即①当在内部时，②当在外部时，先根据题意画图，然后根据角的和差关系计算即可．【详解】解：①如图，当在内部时，；②如图，当在外部时，；综上所述，的度数为和．故选：C．【点睛】本题考查了几何图形中角的计算，解题的关键是注意分两种情况讨论．【变式训练】变式1．（2022·江苏扬州·七年级期末）若∠AOB＝60°，∠BOC＝20°，则∠AOC的度数为（

）A．40° B．80° C．40°或80° D．60°【答案】C【分析】考虑两种情形①当OC在∠AOB内部时，∠AOC=∠AOB-∠BOC=60°-20°=40°，②当OC在∠AOB外部时，∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+20°=80°．【详解】解：如图当OC在∠AOB内部时，∠AOC=∠AOB-∠BOC=60°-20°=40°，当OC在∠AOB外部时，∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+20°=80°，故答案为40°或80°．故选C．【点睛】本题考查角的计算，解决本题的关键是正确画出图形，熟练根据角的和差关系进行计算．变式2．（2022·四川达州·七年级期末）已知，，则（

）A．15° B．105° C．15°或105° D．无法确定【答案】C【分析】利用分类讨论的思想方法，分射线在的内部和在的外部两种情况讨论解答，画出图形，利用角的和差计算即可得出结论．【详解】解：当射线在的内部时，如图1，则；当射线在的外部时，如图2，则．的度数为或．故选：C．

图1

图2【点睛】本题主要考查了角的计算，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．变式3．（2022·重庆渝北·七年级期末）如图，已知平分，平分，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论．【详解】解：∵OM平分∠AOD，ON平分∠BOC，∴∠AOD＝2∠DOM、∠BOC＝2∠NOC，又∵∠AOB＝∠AOD+∠BOC﹣∠COD，∴∠AOB＝2∠DOM+2∠NOC﹣∠COD，即∠AOB＝2（∠DOM+∠NOC）﹣∠COD，∵∠AOB＝140°，∠COD＝40°，∴∠DOM+∠NOC＝90°，则∠MON＝∠DOM+∠NOC﹣∠COD＝50°，故选：B．【点睛】本题考查了角度的计算，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．◎类型九实际问题中的角度计算【例】．（2020·全国·七年级课时练习）如图，把放置在量角器上，与量角器的中心重合，读得射线、分别经过刻度和，把绕点逆时针方向旋转到，下列结论：①；②若射线经过刻度，则与互补；③若，则射线经过刻度45．其中正确的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】由==36°，得，即可判断①，由=117°-27°-36°=54°，=153°-27°=126°，即可判断②，由，得，进而得，即可判断③．【详解】∵射线、分别经过刻度和，绕点逆时针方向旋转到，∴==36°，∵，，∴，故①正确；∵射线经过刻度，∴=117°-27°-36°=54°，=153°-27°=126°，∴+=54°+126°=180°，即：与互补，故②正确；∵，∴，∴，∴射线经过刻度45．故③正确．故选D．【点睛】本题主要考查角的和差倍分关系以及补角的定义，掌握角的和差倍分关系，列出方程，是解题的关键．【跟踪训练】．（2020·宁夏大学附属中学七年级期末）下午14点20分，时钟的时针与分针夹角的度数是（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】B【分析】根据在下午14点20分，计算出分针与时针分别的旋转角度，再计算两针开始转时相差2×30°，则即可计算这时时针与分针所成的角．【详解】解：下午14点20分，分针从数字12开始转了20×6°=120°，时针从数字2开始转了20×0.5°=10°，而两针开始转时相差2×30°∴这时时针与分针所成的角的度数为120°-2×30°-10°=50°．故选：B．【点睛】本题考查了钟面角：钟面被分成12大格，每大格为30°；分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°．【变式训练】．变式1．（2018·安徽·阜阳市民族中学七年级期末）下列说法错误的是()A．从n边形的一个顶点出发,分别连接这个顶点和其余不相邻的各顶点,可以把这个n边形分成(n-3)个三角形B．当9:30时,时针和分针的小于平角的夹角是105°C．一个圆被三条半径分成面积比为3∶4∶5的三个扇形,则最小扇形的圆心角为90°D．19.38°=19°22′48″【答案】A【分析】根据多边形的对角线的知识、钟面角的知识、圆心角与圆周角的关系、角度的换算等知识逐一进行分析即可得.【详解】A.从n边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点和其余不相邻的各顶点，可以把这个n边形分成(n-2)个三角形，故A选项错误，符合题意；B.当9:30时，时针和分针的小于平角的夹角是3×30°+0.5°×30=105°，故B选项正确，不符合题意；C.一个圆被三条半径分成面积比为3∶4∶5的三个扇形，则最小扇形的圆心角为360°×=90°，故C选项正确，不符合题意；D.0.38×60′=22.8′，0.8×60″=48″，所以19.38°=19°22′48″，故D选项正确，不符合题意，故选A.【点睛】本题考查了多边形的对角线、角度的换算、钟面角等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.变式2．（2022·黑龙江哈尔滨·七年级期末）已知∠AOB＝70°，以O为端点作射线OC，使∠AOC＝42°，则∠BOC的度数为（）A．28° B．112° C．28°或112° D．68°【答案】C【分析】根据题意画出图形，利用数形结合求解即可．【详解】解：如图，当点C与点C1重合时，∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=70°﹣42°=28°；当点C与点C2重合时，∠BOC=∠AOB+∠AOC=70°+42°=112°．故选C．【点睛】本题考查的是角的计算，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．变式3．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知α=76°5′，β=76.5°，则α与β的大小关系是（）A．α＞β B．α=β C．α＜β D．以上都不对【答案】C【分析】根据度分秒转化得出76.5°=76°30′，即可得出α与β的大小关系．【详解】∵α=76°5′，β=76.5°=76°30′，∴α＜β．故选C．【点睛】本题主要考查了角的比较以及度分秒的转化，正确进行度分秒转化是解决本题的关键．◎类型十角n分线的有关计算【例】．（2020·全国·七年级课时练习）如图，∠AOB＝∠BOD，OC平分∠AOD，下列四个等式中正确的是（）①∠BOC＝∠AOB；②∠DOC＝2∠BOC；③∠COB＝∠BOA；④∠COD＝3∠COB．A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】C【分析】根据∠AOB＝∠BOD，OC平分∠AOD，得到∠AOB=∠AOD，∠AOC=∠DOC=∠AOD，进而得到∠BOC=∠AOB，∠DOC＝3∠BOC从而判断出①②错误，③④正确．【详解】解：因为∠AOB＝∠BOD，所以∠AOB=∠AOD，因为OC平分∠AOD，所以∠AOC=∠DOC=∠AOD，所以∠BOC=∠AOC－∠AO