2023-2024学年湖南省邵阳市洞口二中高二（上）第一次月考数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年湖南省邵阳市洞口二中高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合M={x|x+2A.{x|−2≤x<1}2.设a∈R，(a+iA.−2 B.−1 C.1 3.已知向量a，b满足|a+b|=|a−A.−12b B.12b 4.二次函数f(x)=axA.a>1 B.a<−2 5.沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的(如右图).在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的.已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需总时长为1小时，当上方圆锥中沙子漏至圆锥高度的一时，所需时间为(

)A.13小时

B.78小时

C.2627小时

6.已知x+y=1，y>0，xA.54 B.0 C.1 D.7.如图，在正四棱锥P−ABCD中，PA=AB，点M为PA的中点，A.2

B.3

C.4

D.58.已知f(x)=|ln(−x)|,x<0xA.2 B.3 C.4 D.−二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.《国家学生体质健康标准》是国家学校教育工作的基础性指导文件和教育质量基本标准，它适用于全日制普通小学、初中、普通高中、中等职业学校、普通高等学校的学生.某高校组织4000名大一新生进行体质健康测试，现抽查200名大一新生的体测成绩，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为[70,75)，[75,80)，[80,85)，A.估计该样本的众数是87.5

B.估计该样本的均值是80

C.估计该样本的中位数是86

D.若测试成绩达到85分方可参加评奖，则有资格参加评奖的大一新生约为2200人10.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列为假命题的是(

)A.若m⊥α，n/​/α，则m⊥n B.若m⊥α，n⊥β，则α/​/β11.下列各式中，值为12的有(

)A.sin7°cos23°12.如图，正方体ABCD−A1B1C1DA.直线A1M可能与平面ACD1相交

B.三棱锥A−MCD与三棱锥D1−MCD的体积之和为43

C.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.直线l1：3x−y−3=0关于直线14.已知函数f(x)=x315.已知直线l1：(m+3)x+5y=5−316.已知直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的棱长均为2，四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知△ABC三个顶点坐标分别为A(1,1)，B(2,3)，C(418.(本小题12.0分)

已知f(x)=4cosx⋅cos(x+π6),x∈R．

19.(本小题12.0分)

如图，AE⊥平面ABCD，AD//BC，AD⊥AB，AB=AD=1，AE20.(本小题12.0分)

在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，且AD=2．

(1)若∠BA21.(本小题12.0分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°22.(本小题12.0分)

某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负，则需进行点球大战.点球大战规则如下：第一阶段，双方各派5名球员轮流罚球，双方各罚一球为一轮，球员每罚进一球则为本方获得1分，未罚进不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候，比赛即宣告结束，剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样，则进入第二阶段，双方每轮各派一名球员罚球，直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面，则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战，由甲队球员先罚球，甲队每位球员罚进点球的概率均为12，乙队每位球员罚进点球的概率均为23.假设每轮罚球中，两队进球与否互不影响，各轮结果也互不影响．

(1)求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率；

(2)若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲队暂时以2：答案和解析1.【答案】A

【解析】解：由题意，M={x|x≥−2}，N={x|x<12.【答案】C

【解析】解：(a+i)(1−ai)=a−3.【答案】B

【解析】解：根据题意，向量a，b满足|a+b|=|a−2b|，则有|a+b|2=|a−2b|2，

变形可得4.【答案】C

【解析】【分析】本题考查了二次函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．

由题意得a<0−【解答】

解：由二次函数f(x)=ax2+2x−1在区间(−∞,1)上单调递增，

5.【答案】B

【解析】解：如图，

依题意可知R=2r，V大=13πR2h=43πr2h，

V小=6.【答案】A

【解析】解：因为x+y=1，y>0，x>0，

令t=yx，t>0，

所以t+1>1，

则12x+xy+7.【答案】C

【解析】解：连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，

设PA=AB=2，则A(2,0,0)，D(0,−2,0)，P(0,0,2)，M(22,0,22)，B(0,2,0)，

BD=8.【答案】B

【解析】解：不妨设x1<x2<x3<x4，

因为方程f(x)=m(m∈R)的根的个数即为y=f(x)与y=m的交点个数，

由图象可得：若方程f(x)=m(m∈R)有四个不同的实数根，则1<m≤2，

又因为|ln(−x1)|9.【答案】AC【解析】解：由频率分布直方图可得，最高小矩形为[85,90)，

所以可估计该样本的众数是85+902=87.5，故A正确；

由频率分布直方图，可估计该样本的均值是0.020×5×72.5+0.030×5×77.5+0.040×5×82.5+0.050×5×87.5+0.035×5×92.5+0.025×5×97.5=85.625，故B错误；

由频率分布直方图可得，成绩在[70,85)之间的频率为0.020×5+0.030×5+0.04010.【答案】BC【解析】解：若m⊥α，则m与α内的所有直线垂直，

又n/​/α，则α内存在直线a与n平行，可得m⊥a，则m⊥n，故A正确；

若m⊥α，n⊥β，则α与β的关系不确定，故B错误；

若α⊥β，m⊥β，则m⊂α或m/​/α，故C错误；11.【答案】AB【解析】解：对于A，sin7°cos23°+sin83°cos67°

=sin7°cos23°+cos7°sin23°=sin(7°+23°)=sin30°=12，故A对；

对于B，cos36°−cos12.【答案】BD【解析】解：对于A，连A1C1，AC，AD1，A1B，CD1，

因为A1C1/​/AC，A1C1⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，所以A1C1/​/平面ACD1，同理得BC1/​/平面ACD1，

又A1C1，BC1⊂平面A1BC1，A1C1∩BC1=C1，所以平面ACD1/​/平面A1BC1，因为A1M⊂平面A1BC1，

所以A1M/​/平面ACD1，故A错误；

对于B，过点M作ME⊥BC，垂足为E，作MF⊥CC1，垂足为F，易得ME//CC1，因为CC1⊥平面ACD，所以ME⊥平面ACD，

MF/​/BC，因为BC⊥平面DCD1，所以MF⊥平面DCD1，

因为MF=FC1，ME=CF，所以ME+MF=CF+FC1=CC1=2，

所以VA−MC13.【答案】x−【解析】解：设直线l1关于直线l2对称的直线为l3，

由3x−y−3=0x+y−1=0得：x=1y=0，则点(1,0)在直线l3上；

在直线l1上取一点A(0,−3)，设其关于直线l2对称的点为14.【答案】1

【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性，考查计算能力，属于基础题．

根据题意，可得y=a⋅【解答】

解：函数f(x)=x3(a⋅2x−2−x)是偶函数，

y=x3为R上的奇函数，

故y15.【答案】−8【解析】解：∵直线l1：(m+3)x+5y=5−3m，l2：2x+(m+6)y=8，l1//l2，

当m+6=16.【答案】2【解析】【分析】本题考查空间点线面距离的求法，球与几何体相交的交线的问题，属于难题．

画出直观图，建立如图所示的坐标系，设出P的坐标，通过D1P=5.求出P的轨迹方程，然后求解以【解答】

解：由题意直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°.可知：D1B1=2，上下底面是菱形，建立如图所示的平面直角坐标系，

设P(x,y)，则D1E2=D1B12+x17.【答案】解：(1)kAB=3−12−1=2，kBC=2−34−2=−12，可得kAB⋅kBC=−1，

所以AB⊥BC，而【解析】本题考查两点间的斜率公式，直线的点斜式方程，属于基础题．

(1)由A，B，C的坐标可得直线AB，BC的斜率，进而可得斜率之积为−1，可得AB⊥BC，再由AB18.【答案】解：(1)因为f(x)=4cosx⋅cos(x+π6)

=23cos2x−2cosxsinx

=3(cos2x+1)−sin2x

=2cos(2x+π6)+3，

则T=2π【解析】(1)利用三角函数恒等变换化简函数解析式可得f(x)=2cos(219.【答案】解：(1)取BE的中点G，连接AG、FG，因为F为CE中点，

所以GF/​/BC且GF=12BC，又AD//BC，AD=1，BC=2，

即AD//BC且AD=12BC，

所以AD//GF且AD=GF，

所以四边形ADFG为平行四边形，

所以AG//FD，

又AG⊂平面EAB，DF⊄平面EAB，所以DF/​/平面EAB．

(2)【解析】(1)取BE的中点G，连接AG、FG，即可得到四边形ADFG20.【答案】解：(1)因为S△ABC=S△ABD+S△ADC，

所以12AB⋅ACsin2π3=12(AB+AC)⋅ADsinπ3，

得：3AC=2(3+AC)，

解得AC=6，

所以S△AB【解析】(1)根据S△ABC=S△ABD+S△ADC得到AC的长，再利用三角形的面积公式求解即可；

(21.【答案】解：(1)证明：在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，

AB=BC=2，AC=AB1=2，

如图，连接BC1，交B1C于O，连接AO，

∵侧面BB1C1C为菱形，∴由菱形的性质得B1C⊥BC1，且O为BC1的中点，

∵AC=AB1=2，∴AO⊥B1C，

∵AB=BC=2，且∠CBB1=60°，∴CO=12 B1C=1，BO=12 BC1=124+4−2×2×2× cos120°=3，

∴AO=AC2−CO2=1，∵AB=2【解析】(1)利用面面垂直的判定定理进行证明；

(222.【答案】解：(1)设每一轮罚球中，甲队球员罚进点球的事件为A，乙队球员罚进点球的概率为B，

设每一轮罚球中，甲乙两队打成平局的事件为C，

由题意每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种：甲乙均没有罚