基于空气动力学的浅水控制方程的数值模拟

基于空气动力学的浅水控制方程的数值模拟

20世纪90年代初，李ou和steffen提出了aus格式（advagestreammet骨骼）。aus格式是laser格式的发展。基本想法是将无粘量划分为流通量项和压力检测点。AUSM现在已经进一步发展为AUSMDV,HUS,AUSM+等。并且已经推广到了非结构网格。在计算空气动力学领域,AUSM及其繁衍格式已经被广泛验证和应用,但是在浅水问题中应用的相关讨论还很少。本文尝试把该格式应用到非结构网格上的二维浅水方程的数值求解中去,并针对浅水计算中的底坡源项和露滩等问题进行了特殊处理,保持了该格式的通量求解简单、间断高分辨率和迎风等优点;由实例验证了在浅水方程中应用该格式的可行性和可靠性。1u3000酸,h,hv,hvt,ghsoy-sfyt,ft,ghsoyt,hvt,hvt,hvt,hv3.t,hv2.t,hv2.t,f3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3平面二维浅水波控制方程向量形式:Ut+f(U)x+g(U)y=s(U)(1)Ut+f(U)x+g(U)y=s(U)(1)这里U=(h,hu,hv)T,f=(hu,hu2+0.5gh2,huv)T,g=(hv,huv,hv2+0.5gh2)T,s=(0,gh(sox-sfx),gh(soy-sfy))T。g为重力加速度,h、u、v分别为水深、x和y方向的流速,so、sf分别为底坡和摩阻项。2ausm格式的特点为方便处理底坡,把f(U)x写成非守恒形式:∂f∂x=∂∂x(huhuuhvu)+h∂∂x(0h0)=∂f(c)∂x+h∂p∂x(2)∂f∂x=∂∂x⎛⎝⎜huhuuhvu⎞⎠⎟+h∂∂x⎛⎝⎜0h0⎞⎠⎟=∂f(c)∂x+h∂p∂x(2)AUSM格式的特点就是把f中的非线性项f(c)和线性项p分开处理。处理非线性项时,把相邻两个单元(单元L和R)交界处的f(c)表述为如下形式:f(c)1/2=Fr(1/2)(hchuchvc)L/R(3)f(c)1/2=Fr(1/2)⎛⎝⎜hchuchvc⎞⎠⎟L/R(3)式中Fr(1/2)为交界面弗劳德数,处理线性项时,界面处p的形式为p1/2=p+L+p-R(4)AUSM格式通过在界面上特殊构造的马赫数判断获得“上风”特性,并统一相邻单元的声速c′,以捕捉激波,应用到浅水计算中,弗劳德数取代了原格式中马赫数,且引入波速c‚c=√gh。g(U)项的求解同理可知。以上由AUSM格式得到的通量求解格式简单,程序编制方便,具有较高的计算效率,并具有间断高分辨率和数值耗散较小的优点。2.1控制单元的线性重构上述格式的空间精度取决于界面两侧值的插值精度,如果界面两侧值为格心的值,并假设控制体内变量为常数,则只具有一阶精度。为了取得更高的精度和计算效果,通常假设,控制内变量为线性分布,并进行网格的变量线性重构。同时,为了得到一个高阶、稳定的格式,通常要用到限制器,进行数值方法的数值耗散性和色散性效应调节和控制。本文采用文献推荐的方法,对控制单元进行线性重构,并利用Barth限制器,对重构过程实施严格的保单调措施,保证重构过程不出现新的极值,以防止数值解的振荡。如图1所示4个控制体,单元A的线性重构可表示为Q(x‚y)=QA+ΔQA?→r(5)式中→r是格心A到任一点的位移向量;QA是格心值;而ΔQA是梯度向量,按格林-高斯定理计算:ΔQA=1ΩA∫∂Ω?Q?nds(6)Barth限制器对控制单元梯度乘上系数Φ,其取值规则描述如下:Φ=min(Φ1‚Φ2‚Φ3)(7)Φi={min(1‚QmaxA-QAQi-QA)Qi-QA＞0min(1‚QminA-QAQi-QA)Qi-QA＜01Qi-QA=0i=1‚2‚3(8)式中QmaxA=max(QA,QB,QC,QD),QminA=min(QA,QB,QC,QD),Qi为第i条边利用梯度ΔQA的计算值。2.2-kutta型时间离散格式在时间方向的二阶精度离散,采用利用二阶TVD的Rounge-Kutta型时间离散格式:u(1)=un+Δt×L(un)un+1=12un+12u(1)+12Δt×L(u(1))(9)式中L(*)为空间离散后的右端项;(*)(1)为中间变量。3深水流动模拟的最佳模型如果不考虑底坡和摩阻,对于浅水方程可直接移植空气动力学中的AUSM格式进行求解,但事实上,浅水流动因为底坡和摩阻等源项的存在而变得复杂,并且浅水流动的模拟地形变化起着重要的作用。因此需要对底坡及干滩进行处理,以满足浅水方程求解计算的需要。3.1界面符合界面使用要求的水力模型浅水流动在非平底坡条件下,通常需要对底坡源项进行和谐处理,避免由地形起伏产生不合理的水面波动。本文在应用AUSM格式处理时,采用了较为特殊的处理方法,即取界面两侧的总水位分别减去界面中点的水底高程,得到左右两侧的水深值h+和h-,界面中点水底的高程取其两侧高程的线性插值,单元水力模型示意于图2,利用得到的界面两侧的水深,再应用AUSM格式对线性项p的分解方法,可得到界面处水深。采用上述方法,可实现在一个平底上,对单元交界面处的水深进行计算。该方法很好地解决了空气动力学中压力项的处理方法应用到浅水流动中的问题,对有地形起伏的静水状态进行计算,可得到静止水位,无不合理的水面波动。3.2干法滩的计算方法当计算中出现干滩情况时,应用AUSM求解格式,可以结合上述的底坡处理方法,并采用类似最小水深法的方法来处理动边界。假设干滩的计算单元有一极薄水层,并设流速为零,然后可以用类似处理非干滩单元的方法一样,用AUSM格式对界面通量进行计算,使得干滩单元也参与计算。这是一种近似的计算方法。当出现干滩时,界面两侧的值降为一阶精度,并且,当单元外侧考虑为固壁时,设单元该边的通量为零。各种情况下的干湿滩处理方法见图3,图中q为单宽流量,u为流速向量,L和R分别表示界面左右两侧单元,h为单元水深,hmin为假设最小水深,Z为单元高程,Z′为界面插值高程。该方法的实现对计算格式有一定的要求,即在较小水深的情况下,不会出现计算的不稳定,这里采用的AUSM格式,表现良好。显式计算格式,应用到地形比较复杂的计算域时,对于干湿边界的判断间隔也相对较短,模拟的效果较好。为了增加计算的稳定性,对摩阻源项的计算采用了常用的半隐式计算方法,同时使得计算效率得到一定提高。相应的动量方程如下式(hu)t+Fx+Gy=-ghSf-m(hu)n+1(10)式中m为糙率源项计算系数。糙率源项为显式,只保留下一时刻的单宽流量,即(hu)n+1,进行半隐式计算。上述处理方法可增强计算稳定性,增加时间步长,提高计算效率,而且对于露滩计算的不稳定性有抑制作用。4计算与评论的结果和讨论4.1灭坝问题的计算结果取二维计算常用的一个溃坝算例,计算域为200m×200m。计算条件为平底坡及糙率为零,初始时刻闸门上游水深10m,下游5m,当闸门突然开启,形成溃坝问题,溃坝后7.2s时的计算结果分别如图4～图6所示;计算结果和文献中的算例结果基本一致。取AB断面处(图5中虚线位置)水深和流速的计算结果,与文献中采用vanLeer矢通量分裂法的计算结果进行比较,见图7、图8,其具有二阶计算精度。本文格式和文献资料的计算结果基本一致。其中,AUSM的一阶格式耗散较大,二阶格式则较小。而且,同样是二阶精度条件下,AUSM格式的高分辨率性能要优于vanLeer分裂格式,这一结论和文献中的数值验证结果一致。4.2湿地洪水增滞与优化以扎龙自然保护区流域洪水演进的数值模拟为实际应用算例。扎龙自然保护区位于松嫩平原,嫩江左岸、乌裕尔河和双阳河下游湖沼苇草地带,由于自然因素影响,使本区呈现河道溪流纵横、湖泊泡沼密布的低平原和湖泊交错的地貌,总面积约2100km2。扎龙地区地貌和植被分布复杂,为了较好确定扎龙地区糙率取值,需要对扎龙湿地植被分布情况全面了解,这里以2002年9月22日的沼泽湿地卫星图片为样本,对湿地植被分布情况进行解译。遥感解译的类别主要设为芦苇沼泽和明水沼泽,草地及旱地盐碱地等几部分。其中,芦苇沼泽以芦苇为主,该类别区域内的水较浅或无水,芦苇生长茂盛,面积约6.3亿m2。芦苇糙率取值采用模型试验率定的经验曲线,如图9所示。计算条件采用上游测站龙安桥站提供的1998年的月流量资料,根据龙安桥多年观测的数据资料得到的统计曲线,插补出的1998年大洪水前后5个月的逐日平均上游入口的流量时间曲线作为入口条件。计算初始假设湿地处于无水的状态,检验洪水漫滩的模拟效果。图10为截取的两个计算时刻的洪水淹没范围及水深图。从图10可以看出,随着上游洪水逐渐流入,湿地中洪水随着溪流纵横、湖泊泡沼蔓延的形态被很好地模拟出来,这也检验了本文采用的干湿处理方法和底坡源项处理方法,即本文选用的处理方法对于湿地行洪这样的复杂工况比较适用,计算效果较好。由于湿地下游河道溪流纵横,无明显出口,从而缺少实测资料进行验证。但松辽水利委员会通过长期观测资料,整理了湿地淹没面积和蓄水量的拟合关系曲线,这里的计算结果和由拟合关系曲线的计算结果进行比较,见表1。两者的结果基本一致,即计算结果基本反映实际情况,说明这里采用的AUSM格式模拟这种湿地行洪的情况具有较高的适应性和精度,是可行和可靠的,因而可为湿地水资源的利用进行决策管理提供有价值的辅助信息。最后,假设一出口,位置见图10,通过绘制出口流量过程线(图11),比较有、无芦苇时,湿地实现削减洪峰及蓄、滞洪作用的能力。从图11比较可知,湿地无芦苇时,由于其本身复杂地形和低矮植被的作用也具有一定的削减洪峰的