公式推导总结

公式推导总结证明运动学中的几个推论设物体做匀变速运动，初速度为v0,末速度为vt,加速度为a,运动时间为t,中间时刻的速度为vt/2，中间位置的速度为vs/2，证明：l.V2=Y=Ef)/23.vt^-vc^=2as4As=aT：[证明]1.根据运动学公式=与=、-式s=v」-a"Z中间时刻的速度=Vt；z=vo+at/2平均速度：&=i=Vct+：tr2=V"at,'2又(v：+v:)/2=(v：+v：+at)/2-vc-at2,所以vt;=v=(v;-vJ722.v/-v；=2as (1) v：//-v/=2a(s/2) (2)Cl)/(2):vs/22=(v/+v-0/2sw；+v；土根据v^-at;得;t=(uz-v=)/a.把t代入s^^t—atz/2r得：vr-v<^=2as4.从第一个T秒开始时计时，在该时刻t二口，速度为穴，有：§二二w：T十目 s：=(v：+aT)7+&?72,s-=(v：+2aT)T十slT'/七 s-=[v：+(nT)aT]T+aTV2,s：-s；=ss-s：= =A【例2】证明机械能守恒定律：在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但总的机械能保持不变.证明：如图所示，取地面为零势能点，设物体只受重力作用，向下做自由落体运动。在位置1时速度为v1，高度为hl，在位置2时速度为v2，高度为h2由匀加速运动公式可得：号淇、农）=%'+?典2mv1,:2—nigli]=mv厂r'2—mghi【例3】证明动能定理：合外力对物体所做的功等于物体动能的增加订明；设一个后量为m的物体原束的速匿为心，动胡为心上吃，在恒定的合％刀彳的作用一\发生一段位移私速度为V】，动能增加到设合外力方向与运动方向相同.由运动学公■式v22-vi2=2as得ms二合外力F做的功W=Fs,根据牛顿第二定律R=ma所以Fs=ma（V；2-V）2a=mv//2_mviVS或树二ElE<!【例4】证明：导体切割磁感线产生的电动势£=BLv[明一：即图所云，电设垂直水平轧道放重由导体•碑K〜认速度，丑乳道上向亡云知，设HAl眨句内梓由苫、来的位宣ab cd.这时线砸由面击受化量AS-LvAtxxaxcK菩过闭台巨路能逆眉宣支况虽：A*=BAS=bLvAt \「JT~由法拉第电磁感应定律：EXAAt,将上式代人得: |七卜了]导悻胡割叔感线二生的电动均；E=ELv T~~J—xxDxdK证明二,如图所示.假设导体棒长L.以垂宜导体棒的速度w水平向右乒3,有一幸百纸面向军由与再诳折磁感应翟唐K小为F XXXXXXXX[t左王定火门割；梓中日曰电子c受惬仑兹刀f=cw作巾向矛，xx旋宓使棒上下端产生电势差£,形成的电场强度大小为E=£兀 XXXXM=二奇，时，棒巾左牛襟宋成屯对垫：E二R1.7【例5】求证：电流与自由电子定向移动速率的关系式I=neSv.iFW：如图所示，途.X一段导线-甬以.牌店为［白1出芾,导线截面莉为S,土干市间养/］谏率为v,羊伯体茄内|自由由干醐为r,：隹由E-I间为十 〜 TOC\o"1-5"\h\z瑚在H鳄日1百|人，自闩电干卡|【1赫和罗I养高为I.=7-. fl ；谁过导线截面的申冒为q=EI1V=己心L=neSvt \所以且麻为1=q/t=ne^v L【例6】证明：洛仑兹力公式f=qvB.证明：设导线中单位体积内含有的自由运动电荷数是n,每个自由电荷的电量是q,自由电荷的平均定向移动速率是v,导线的横截面积是S,那么通过导线的电流就是I=nqvS磁场对电流的作用力是F=ILB.这个力可看作是作用在每个自由运动电荷上的洛仑兹力的合力，设洛仑兹力为f,这段导线内自由运动电荷的总数为N,则Nf=F,即Nf=ILB代入I=nqvS，得到Nf=nqvSLB又N等于单位体积内的运动电荷数跟体积的乘积，即N=nSL因此上式简化为f=qvB【例7】证明：万有引力定律F=GMm/r2证明.设有两个孤立物体质量命别为M、m,相距较远间距为r,坦绕M作匀速圆周运动周期为IM灯町的厂向引力F提供叩心士，F=m(2TTT)\ ⑴由开普勒第三定律：r3/T2=常数 ②由①②得；F=(27T)讪r3/T2)：r: 即rccm/r;②由牛听第一定律口J矢I,m对M的门肩引内大心也为匚巨皂有相同戒性质所成，山刘M的万有；l；JF工④综合③®得:F*Mrn/r^万行引力定律F—(耳巾G为引丈掌景)【例8】(1)试在下述简化情况下，由牛顿定律和运动学公式导出动量定理表达式：一个运动质点只受到一个恒力作用，沿直线运动。要求说明推导过程中每步的根据。以及最后结果中各项的意义解，⑴如图所示，一物体/在光涓的水平面上，设在恒力F的作用下,开始时物体的初速度为V、经过t时间后，物怵的速度变为V：闩牛呢第二卞度徉：（1=— （T v V" 序i「二曰死动字忘式？'导：a=-^—■岱由①②可得：七；'1=息，由此式变形得：Ft=nn2-mv.式中：Fr表示物体在t时间内物体受到合外力的冲f；mv?表示物体在这段时间的末劫量；mvx表示均依在淀费日打［的宥动量【例9】如图1所示：一根导体棒oa长度为L,电阻不计，绕o点在垂直于匀强磁场B的平面内以角速度①做匀速圆周运动，求其产生的电动势。解法一：假想电路法E=ft—：假想导何棒与一个定值蛆成同台回路（如图2所云），利用•些技第电磁感应定律公式 ¥求有私此公式在高中阶段一般用于求感应电动势的平均值，不用来求瞬时值，但本题中棒切割谢感线的角速度恒定.产生的感应电动势太小也是定值.故平均值与瞬时值相同.可认用此公式求金属棒产生日动妙辨瞬侦传设棒5具个电生R组成：一个祈合口路，经过时间At,棒洋w『角垃日，则闭合电路的成通量增加量为;展-£AS=西二* —ySwirZ2I由于h=LE-^5--—Ar2由楞袄定律可知，闭台电路的磁通量在增大，感应电摘的磁场应垂宜纸面向外。如果形成感应电流，则方质由。「6）,故电切葵的方知0^3■日点屯势高于□点屯势，6）点相当于巨源度正极：■；E=n—解沃二：制用沃相第电诡感应妇: 由的异出行式F=Bv求薛，由于杆上各点的线速度都不相同，并且各点的线速度大小正比于该点到。点的距离。。点速度为零,N,如速至最.大.’为El，m壁个杆的平均速底为ZEI,相当=棒口只，瞬时速度的穴人―，1生的电动势史航瑚导弓W由右手定可可此判断电功舟打R诃为。也的电势高于0.如的土舟，即日点龙当于电源的正极。由于于法二比较简洁,故以下拓展在不涉R能i转化问题时均用由法二■>【例10】质量为m的物体与地心的距离为r时，物体和地球间引力势能可表示为「GMmEp=- ；:' （设物体在离地球无限远处的势能为零），其中G为引力常量，m为地球质量。当物体在地球表面的速度等于或大于某一速度时，物体就可以挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造行星，这个速度叫做第二宇宙速度。证明：第二宇宙速度v2与第一约=J7v”宇宙速度V1的关系为答案E）设物体在地球表面的速度为J.、'1它脱烈地球引力时此时速度为零,引A势能为【例12】：设计物理情境用牛顿运动定律推导动量守恒公式。如下阁所示，在光滑的水平面上做匀速直线运动的两个小球，质星分别为叫和〃门，沿着同一个方向运动，速度分别为阿和比（且巧＞巧），则它们的总动量（动量的矢量和）〃所E+当第二个球追上第一个球井发生碰撞，碰橙后的速度分别为和此'，此时它们的动童的矢量■和，即总动量9=夕"0=""1+华七。下面从动量定理和牛顿第三定律出发讨论P和A有什么关系。【推导过程】,皿一【推导过程】,皿一^2=—根据牛顿第三定律，Fl、F2大小相等、方问相反，