吉林大学附属中学2024届数学高一上期末学业质量监测试题含解析

吉林大学附属中学2024届数学高一上期末学业质量监测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知向量，若，则（）A.1或4 B.1或C.或4 D.或2．若，则有（）A.最小值为3 B.最大值为3C.最小值为 D.最大值为3．已知幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)（）A.是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B.是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C.是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D.是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数4．函数的最小值为（）A.1 B.C. D.5．下列函数是偶函数的是（）A. B.C. D.6．已知指数函数在上单调递增，则实数的值为（）A. B.1C. D.27．已知实数，满足，，则的最大值为（）A. B.1C. D.28．已知，且点在线段的延长线上，，则点的坐标为（）A. B.C. D.9．已知函数，则的解析式是（）A. B.C. D.10．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．定义域为的奇函数，当时，，则关于的方程所有根之和为，则实数的值为________12．圆的圆心到直线的距离为______.13．已知一容器中有两种菌，且在任何时刻两种菌的个数乘积为定值，为了简单起见，科学家用来记录菌个数的资料，其中为菌的个数，现有以下几种说法：①；②若今天值比昨天的值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10；③假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时(注：)则正确的说法为________．(写出所有正确说法的序号)14．已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为_________15．已知函数，则=____________16．若幂函数是偶函数，则___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知某观光海域AB段的长度为3百公里，一超级快艇在AB段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q（单位：万元）与速度v（单位：百公里／小时）（0≤v≤3）的以下数据：012300.71.63.3为描述该超级快艇每小时航行费用Q与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：Q＝av3＋bv2＋cv，Q＝0．5v＋a，Q＝klogav＋b（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB段的航行费用最少？并求出最少航行费用18．（1）计算:（）0.5+（-3）-1÷0.75-2-;（2）设0<a<1，解关于x的不等式.19．某镇发展绿色经济，因地制宜将该乡镇打造成“特色农产品小镇”，根据研究发现：生产某农产品，固定投入万元，最大产量万斤，每生产万斤，需其他投入万元，，根据市场调查，该农产品售价每万斤万元，且所有产量都能全部售出.（利润收入成本）（1）写出年利润（万元）与产量（万斤）的函数解析式；（2）求年产量为多少万斤时，该镇所获利润最大？求出利润最大值.20．某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②.(注：利润和投资单位：万元)(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？21．已知函数的图象在定义域(0，+∞)上连续不断，若存在常数T>0，使得对于任意的x>0，恒成立，称函数满足性质P(T).（1）若满足性质P(2)，且，求的值；（2）若，试说明至少存在两个不等的正数T1、T2，同时使得函数满足性质P(T1)和P(T2)；（3）若函数满足性质P(T)，求证：函数存在零点.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】根据向量的坐标表示，以及向量垂直的条件列出方程，即可求解.【题目详解】由题意，向量，可得，因为，则，解得或.故选：B.2、A【解题分析】利用基本不等式即得,【题目详解】∵，∴，∴，当且仅当即时取等号，∴有最小值为3.故选：A.3、D【解题分析】利用幂函数的定义求得指数的值，得到幂函数的解析式，进而结合幂函数的图象判定单调性和奇偶性【题目详解】设幂函数的解析式为，将点的坐标代入解析式得，解得，∴，函数的定义域为,是非奇非偶函数，且在上是增函数，故选：D.4、D【解题分析】根据对数的运算法则，化简可得，分析即可得答案.【题目详解】由题意得，当时，的最小值为.故选：D5、D【解题分析】利用偶函数的性质对每个选项判断得出结果【题目详解】A选项：函数定义域为，且，，故函数既不是奇函数也不是偶函数，A选项错误B选项：函数定义域为，且，，故函数既不是奇函数也不是偶函数C选项：函数定义域为，，故函数为奇函数D选项：函数定义域为，，故函数是偶函数故选D【题目点拨】本题考查函数奇偶性的定义，在证明函数奇偶性时需注意函数的定义域；还需掌握：奇函数加减奇函数为奇函数；偶函数加减偶函数为偶函数；奇函数加减偶函数为非奇非偶函数；奇函数乘以奇函数为偶函数；奇函数乘以偶函数为奇函数；偶函数乘以偶函数为偶函数6、D【解题分析】解方程即得或，再检验即得解.【题目详解】解：由题得或.当时，上单调递增，符合题意；当时，在上单调递减，不符合题意.所以.故选：D7、C【解题分析】运用三角代换法，结合二倍角的正弦公式、正弦型函数的最值进行求解【题目详解】由，得，令，则，因为，所以，即，所以的最大值为，故选：C8、C【解题分析】设，根据题意得出，由建立方程组求解即可.【题目详解】设，因为，所以即故选：C【题目点拨】本题主要考查了由向量共线求参数，属于基础题.9、A【解题分析】由于，所以.10、D【解题分析】利用二次函数单调性，列式求解作答.【题目详解】函数的单调递增区间是，依题意，，所以，即实数的取值范围是.故选：D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】由题意，作函数y=f（x）与y=a的图象如下，结合图象，设函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点分别为x1，x2，x3，x4，x5，则x1+x2=﹣6，x4+x5=6，﹣log0.5（﹣x3+1）=a，x3=1﹣2a，故x1+x2+x3+x4+x5=﹣6+6+1﹣2a=1﹣2a，∵关于x的方程f（x）﹣a=0（0＜a＜1）所有根之和为1﹣，∴a=故答案为.点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用12、1【解题分析】利用点到直线的距离公式可得所求的距离.【题目详解】圆心坐标为，它到直线的距离为，故答案为：1【题目点拨】本题考查圆的标准方程、点到直线的距离，此类问题，根据公式计算即可，本题属于基础题.13、③【解题分析】对于①通过取特殊值即可排除，对于②③直接带入计算即可.【题目详解】当nA＝1时，PA＝0，故①错误；若PA＝1，则nA＝10，若PA＝2，则nA＝100，故②错误；B菌的个数为nB＝5×104，∴，∴.又∵，∴故选③14、4【解题分析】设扇形半径为，弧长为，则，解得考点：角的概念，弧度的概念15、【解题分析】由函数解析式，先求得，再求得代入即得解.【题目详解】函数，则==，故答案为.【题目点拨】本题考查函数值的求法，属于基础题.16、【解题分析】根据幂函数的定义得，解得或，再结合偶函数性质得.【题目详解】解：因为函数是幂函数，所以，解得或，当时，，为奇函数，不满足，舍；当时，，为偶函数，满足条件.所以.故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）选择函数模型，函数解析式为；（2）以1百公里/小时航行时可使AB段的航行费用最少，且最少航行费用为2.1万元.【解题分析】（1）对题中所给的三个函【解题分析】对应其性质，结合题中所给的条件，作出正确的选择，之后利用待定系数法求得解析式，得出结果；（2）根据题意，列出函数解析式，之后应用配方法求得最值，得到结果.【题目详解】（1）若选择函数模型，则该函数在上为单调减函数，这与试验数据相矛盾，所以不选择该函数模型若选择函数模型，须，这与试验数据在时有意义矛盾，所以不选择该函数模型从而只能选择函数模型，由试验数据得，，即，解得故所求函数解析式为：（2）设超级快艇在AB段的航行费用为y（万元），则所需时间（小时），其中，结合（1）知，所以当时，答：当该超级快艇以1百公里/小时航行时可使AB段的航行费用最少，且最少航行费用为2．1万元【题目点拨】该题考查的是有关函数的应用题，涉及到的知识点有函数模型的正确选择，等量关系式的建立，配方法求二次式的最值，属于简单题目.18、（1）0；（2）{x|x>1}【解题分析】（1）根据指数幂的运算性质，化简求值；（2）利用指数函数的单调性，即可求解不等式.【题目详解】（1）原式（2）因为0<a<1，所以y=ax在（-∞，+∞）上为减函数，因为，所以2x2-3x+2<2x2+2x-3，解得x>1.故x的解集为{x|x>1}.19、（1）；（2）当年产量为万斤时，该镇所获利润最大，最大利润为万元【解题分析】（1）根据利润收入成本可得函数解析式；（2）分别在和两种情况下，利用二次函数和对勾函数最值的求法可得结果.【小问1详解】由题意得：；【小问2详解】当时，，则当时，；当时，（当且仅当，即时取等号），；，当，即年产量为万斤时，该镇所获利润最大，最大利润为万元.20、（1）；（2）当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元.【解题分析】⑴设出函数解析式，根据图象，即可求得答案；⑵确定总利润函数，换元，利用配方法可求最值；解析：(1)根据题意可设，则f(x)＝0.25x(x≥0)，g(x)＝2(x≥0).(2)设B产品投入x万元，A产品投入(18－x)万元，该企业可获总利润为y万元则y＝(18－x)＋2，0≤x≤18令＝t，t∈[0,3]，则y＝(－t2＋8t＋18)＝－(t－4)2＋.所以当t＝4时，ymax＝＝8.5，此时x＝16,18－x＝2.所以当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约8.5万元.21、（1）0；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解题分析】（1）由满足性质可得恒成立，取可求，取可求，由此可求的值；(2）设满足，利用零点存在定理证明关于的方程至少有两个解，证明至少存在两个不等的正数，同时使得函数满足性质和；（3）分别讨论，，时函数的零点的存在性，由此完成证明.【小问1详解】因为满足性质，所以对于任意的x，恒成立.又因为，所以，，由可得，所以，；【小问2详解】若正数满足，等价于，记，显然，，因为，所以，，即.因为的图像连续不断，所以存，使得，因此，至少存在两个不等的正数，使得函数同时满足性质和.【小问3详解】若，则1即为零点；因为，若，则，矛盾，故，若，则，，，可得.取即可使得，又因为的图像连续不断，所以，当时，函