《合情推理》课件-

第二章推理与证明睢县回族高级中学高二数学组高二数学选修2-2第二章睢县回族高级中学高二数学组高二数学选修2-2引言

“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．推理一般包括合情推理和演绎推理．在本章中，我们将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法,包括直接证明的方法（如分析法、综合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。引言

在日常生活中，人们常常需要进行这样那样的推理。例如:什么是推理

推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。医生诊断病人的病症，警察侦破案件，气象专家预测天气的可能状态，考古学家推断遗址的年代，数学家论证命题的真伪等等。在数学中，证明的过程更离不开推理。

下面介绍人们在日常活动和科学研究中经常使用的两种推理——合情推理与演绎推理。在日常生活中，人们常常需要进行这样那样的推理。例如:高二数学选修2-2

第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理睢县回族高级中学高二数学组高二数学选修2-2推理第一个芒果是甜的第二个芒果是甜的第三个芒果是甜的这个果园的芒果都是甜的已知判断前提新的判断结论推理第一个芒果是甜的第二个芒果是甜的第三个芒果是甜的这个果园铜能导电铝能导电金能导电银能导电一切金属都能导电.三角形内角和为凸四边形内角和为凸五边形内角和为

凸n边形内角和为第一个芒果是甜的第二个芒果是甜的第三个芒果是甜的这个果园的芒果都是甜的第一个数为2第二个数为4第三个数为6第四个数为8第n个数为2n.铜能导电一切金属都能导电.三角形内角和凸n边形内角和为第一个铜能导电铝能导电金能导电银能导电一切金属都能导电.三角形内角和为凸四边形内角和为凸五边形内角和为

凸n边形内角和为第一个芒果是甜的第二个芒果是甜的第三个芒果是甜的这个果园的芒果都是甜的第一个数为2第二个数为4第三个数为6第四个数为8第n个数为2n.部分个别整体一般铜能导电一切金属都能导电.三角形内角和凸n边形内角和为第一个数学上有几个著名的猜想：歌德巴赫猜想费马猜想地图的”四色猜想”歌尼斯堡七桥猜想黎曼猜想你知道这些猜想是如何提出的吗？在来看些例子数学上有几个著名的猜想：歌德巴赫猜想费马猜想地图的”四色猜想3＋7＝103＋17＝2013＋17＝3010＝3＋720＝3＋1730＝13＋176＝3+3，8＝3+5,10＝5+5,……1000＝29+971，1002=139+863,……猜想任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数的和.数学皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想一个规律：偶数＝奇质数＋奇质数3＋7＝1010＝3＋76＝3+3，哥德巴赫猜想(GoldbachConjecture)世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被1和它本身整除的正整数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想:(a)任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。(b)任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。哥德巴赫猜想(GoldbachConjecture)这就是著名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如:6=3+3,8=3+5,10=5+5=3+7,12=5+7,14=7+7=3+11,16=5+11,18=5+13,....等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚待数学家的努力。目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理(Chen‘sTheorem)“任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。”通常都简称这个结果为大偶数可表示为“1+2”的形式。这就是著名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说，他歌德巴赫提出猜想的推理过程:

通过对一些偶数的验证，发现它们总可以表现成两个奇质数之和（而且没有反例），于是猜想：

任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和。歌德巴赫提出猜想的推理过程:哥德巴赫猜想的过程：具体的材料观察分析猜想出一般性的结论归纳推理的过程：哥德巴赫猜想的过程：具体的材料观察分析猜想出一般性的结论归纳由某类事物的具有某些特征,推出该类事物的都具有这些特征的推理,或者由概括出的推理,称为归纳推理(简称归纳).部分对象全部对象个别事实一般结论归纳推理从上面的几个例子，可以得到简言之：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理由某类事物的具有某些特征,部分对象全归纳推理的一般模式:S1具有P,S2具有P,……Sn具有P,(S1,S2,…,Sn是A类事物的对象）所以A类事物具有P结论具有猜测性，要进一步进行证明归纳推理的一般模式:S1具有P,S2具有P,……Sn具有P,归纳推理的一般步骤：⑶检验猜想。⑵提出带有规律性的结论，即猜想；⑴对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；归纳推理的一般步骤：⑶检验猜想。⑵提出带有规律性的结论，

高中数学学习状态问卷调查对数学的印象

你认为数学学习过程主要是为了

生动活泼

严肃枯燥

发现问题

解决问题甲学校19%71%11%89%乙学校7%75%23%77%丙学校16%64%21%79%丁学校25%53%16%84%

例

某课题组为了解本市的高中生数学学习状态,对四所学校做了一个问卷调查,其中有两道题的统计数据如下:

根据这四所学校的情况,你能判断该市高中生对数学的普遍印象吗?对数学你认为数学学习过程主要是为了生动1，3，5，7，…，由此你猜想出第个数是_______.这就是从部分到整体,从个别到一般的归纳推理.

已知数列｛｝的第一项=1,且(＝1，2，3，···)，请归纳出这个数列的通项公式为________.1，3，5，7，…，由此你猜想出第这就是从部分例：已知＞＞＞＞＞……则当n为时，有例：已知＞＞＞＞＞……则当n为时，有例:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.例:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后用归多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱锥四棱锥三棱柱五棱锥立方体正八面体五棱柱截角正方体尖顶塔464556598多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱锥四棱锥三棱柱五棱多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱锥四棱锥三棱柱五棱锥立方体正八面体五棱柱截角正方体尖顶塔464556598668612812610多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱锥四棱锥三棱柱五棱多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱锥四棱锥三棱柱五棱锥立方体正八面体五棱柱截角正方体尖顶塔46455659866861281261077916910151015F+V-E=2猜想欧拉公式多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱锥四棱锥三棱柱五棱如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.(1)每次只能移动1个金属片；(2)较大的金属片不能放在较小的金属片上面；试推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？123让我们一起来归纳推理如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则，把123第1个圆环从1到3.设为把个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则＝1时，＝1123第1个圆环从1到3.设为把个圆环从1＝2时，123前1个圆环从1到2;第2个圆环从1到3;第1个圆环从2到3.＝3第1个圆环从1到3.设为把个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则＝1时，＝1＝2时，123前1个圆环从1到2;＝3第1个圆环

n＝3时，前2个圆环从1到2;第3个圆环从1到3;前2个圆环从2到3.＝7＝2时，前1个圆环从1到2;第2个圆环从1到3;第1个圆环从2到3.＝3第1个圆环从1到3.设为把个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则＝1时，＝1123猜想an=2n-1n＝3时，前2个圆环从1到2;＝7＝2时，(05年广东)设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数.当n

≥3

时,

f(n)=

.(用n表示)让我们一起来归纳推理(05年广东)设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅有两条

任何形如的数都是质数这就是著名的"费马猜想"观察到都是质数,进而猜想:

任何形如的数都是质数这就费马半个世纪后,费马

宣布了费马的这个猜想不成立,它不能作为一个求质数的公式.以后,人们又陆续发现

不是质数.至今这样的反例共找到了46个,却还没有找到第6个正面的例子,也就是说目前只有n=0,1,2,3,4这5个情况下,Fn才是质数.

大胆猜想

小心求证宣布了费马的这个猜想不成立,它不能作为一个求质数的公式.归纳推理的基础归纳推理的作用归纳推理观察、分析发现新事实、获得新结论由部分到整体、个别到一般的推理注意归纳推理的结论不一定成立归纳推理的基础归纳推理的作用归纳推理观察、分析发现新事实、获牛顿发现万有引力门捷列夫发现元素周期律应用归纳推理可以发现新事实,获得新结论!归纳推理是科学发现的重要途径!歌德巴赫猜想四色定理牛顿发现万有引力应用归纳推理可以归纳推理是科学发现的重要途径可能有生命存在有生命存在温度适合生物的生存一年中有四季的变更有大气层大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存一年中有四季的变更有大气层行星、围绕太阳运行、绕轴自转行星、围绕太阳运行、绕轴自转火星地球火星上是否存在生命可能有生命存在有生命存在温度适合生物的生存一年中有四季的变更火星与地球的思维过程：火星地球存在类似特征地球上有生命存在猜测火星上也可能有生命存在火星与地球的思维过程：火星地球存在类似特征地球上有生命存在猜圆的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心较近的弦较长以点(x0,y0)为圆心,r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦球心与不过球心的截面(圆面)的圆点的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积不相等,距球心较近的面积较大以点(x0,y0,z0)为球心,r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2利用圆的性质得出球的性质球的体积球的表面积圆的周长圆的面积圆的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.类比推理简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．由两类对象具有某些类似特征和其中类比推理简言之，类比类比推理的几个特点;1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.类比推理的几个特点;1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,我们已经学习过“等差数列”与“等比数列”.你是否想过“等和数列”、“等积数列”？我们已经学习过“等差数列”与“等比数列”.你是否想过“等和数从第二项起，每一项与其前一项的差等于一个常数的数列是等差数列.类推从第二项起，每一项与其前一项的和等于一个常数的数列是等和数列.从第二项起，每一项与其前一项的差等于一个常数例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质：(1)a=ba+c=b+c;(2)a=bac=bc;(3)a=b

a2=b2;等等。猜想不等式的性质：(1)a＞ba+c＞b+c;(2)a＞bac＞bc;(3)a＞b

a2＞b2;等等。让我们一起来类比推理类比推理的结论不一定成立.例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质：猜想不等例2：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．ＡＢＣabcoABCs1s2s3c2=a2+b2S2△ABC=S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC猜想:让我们一起来类比推理例2：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质总结：1.进行类比推理的步骤：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；(2)用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；(3)检验这个猜想.2、类比推理的一般模式:所以B类事物可能具有性质d’.A类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质a’,b’,c’,(a,b,c与a’,b’,c’相似或相同）观察、比较联想、类推猜想新结论总结：1.进行类比推理的步骤：(1)找出两类对象之间可以确类比推理类比推理以旧的知识为基础,推测新的结果，具有发现的功能由特殊到特殊的推理类比推理的结论不一定成立注意类比推理类比推理由特殊到特殊的推理类比推理的结论不一定成立注1.如图，在平行四边形中，有

那么，在平行六面体中，有

练习：运用类比法的关键是：寻找一个合适的类比对象1.如图，在平行四边形中，有练习：运用类比法的2．由上图（左）有面积关系：

则由上图（右），则类似的结论是：

2．由上图（左）有面积关系：则由上图（右），则类似的结论是3:(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.(x-a)2+(y-b)2=r2与②(x-c)2+(y-d)2=r2（a≠c或设圆的方程为①b≠d),则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.3:(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+4.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论:试通过类比,写出在空间中的类似结论.4.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.平面上空间中图形结论证法ABCPpapbpcABCDP平面上空间中图结论证AB分析：面积法分析：面积法ABCDOOABCDOO《合情推理》课件-《