2024届浙江省杭州市塘栖中学高一数学第一学期期末考试试题含解析

2024届浙江省杭州市塘栖中学高一数学第一学期期末考试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设函数，若互不相等的实数，，，满足，则的取值范围是A. B.C. D.2．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：每户每月用水量水价不超过12m3的部分3元/m3超过12m3但不超过18m3的部分6元/m3超过18m3的部分9元/m3若某户居民本月缴纳的水费为90元，则此户居民本月的用水量为（）A.17 B.18C.19 D.203．函数的减区间为（）A. B.C. D.4．函数f（x）=lnx﹣1的零点所在的区间是A（1，2） B.（2，3）C.（3，4） D.（4，5）5．已知函数的定义域和值域都是，则（）A. B.C.1 D.6．将函数，且，下列说法错误的是（）A.为偶函数 B.C.若在上单调递减，则的最大值为9 D.当时，在上有3个零点7．已知,，则的值约为（精确到）（）A. B.C. D.8．函数是指数函数，则的值是A.4 B.1或3C.3 D.19．下列命题中，真命题是．A.xR，x2＋1＝x B.xR，x2＋1＜2xC.xR，x2＋1＞x D.xR，x2＋2x＞110．若函数的最大值为，最小值为－，则的值为A. B.2C. D.4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．化简_____12．已知函数的定义域为R，，且函数为偶函数，则的值为________，函数是________函数（从“奇”、“偶”、“非奇非偶”、“既奇又偶”中选填一个）.13．已知集合，若，则________.14．已知与是两个不共线的向量，且向量(+λ)与(-3)共线，则λ的值为_____.15．已知为角终边上一点，且，则______16．当时x≠0时的最小值是____.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数（1）求函数的最小值；（2）求函数的单调递增区间18．已知cosα=-，α第三象限角，求（1）tanα的值；（2）sin（180°+α）cos（-α）sin（-α+180°）+cos（360°+α）sin（-α）tan（-α-180°）的值19．已知扇形的周长为30（1）若该扇形的半径为10，求该扇形的圆心角，弧长及面积;（2）求该扇形面积的最大值及此时扇形的半径.20．英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，.（1）证明：当时，；（2）设，若区间满足当定义域为时，值域也为，则称为的“和谐区间”.（i）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由；（ii）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由.21．已知函数，其中，且.（1）求的值及的最小正周期；（2）当时，求函数的值域.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】不妨设，由，得，结合图象可知，，则，令，可知在上单调递减，故，则，故选B.【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、指数与对数的运算以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质2、D【解题分析】根据给定条件求出水费与水价的函数关系，再由给定函数值计算作答.【题目详解】依题意，设此户居民月用水量为，月缴纳的水费为y元，则，整理得：，当时，，当时，，因此，由得：，解得，所以此户居民本月的用水量为.故选：D3、D【解题分析】先气的函数的定义域为，结合二次函数性质和复合函数的单调性的判定方法，即可求解.【题目详解】由题意，函数有意义，则满足，即，解得，即函数的定义域为，令，可得其开口向下，对称轴的方程为，所以函数在区间单调递增，在区间上单调递减，根据复合函数的单调性，可得函数在上单调递减，即的减区间为.故选：D.4、B【解题分析】∵，在递增，而，∴函数的零点所在的区间是，故选B.5、A【解题分析】分和，利用指数函数的单调性列方程组求解.【题目详解】当时，，方程组无解当时，，解得故选：A.6、C【解题分析】先求得，然后结合函数的奇偶性、单调性、零点对选项进行分析，从而确定正确选项.【题目详解】，，所以，为偶函数，A选项正确.，B选项正确.，若在上单调递减，则，，由于，所以，所以的最大值为，的最大值为，C选项错误.当时，，，当时，，所以D选项正确.故选：C7、B【解题分析】利用对数的运算性质将化为和的形式，代入和的值即可得解.【题目详解】.故选：B8、C【解题分析】由题意，解得．故选C考点：指数函数的概念9、C【解题分析】根据全称命题和特称命题的含义，以及不等式性质的应用，即可求解.【题目详解】对于A中，，所以，所以不正确；对于B中，，所以，所以不正确；对于C中，，所以，所以正确；对于D中，，所以不正确，故选C.【题目点拨】本题主要考查了全称命题与特称命题的真假判定，其中解答中正确理解全称命题和特称命题的含义，以及不等式性质的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10、D【解题分析】当时取最大值当时取最小值∴，则故选D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、-2【解题分析】利用余弦的二倍角公式和正切的商数关系可得答案.【题目详解】.故答案为：.12、①.7②.奇【解题分析】利用函数的奇偶性以及奇偶性定义即可求解.【题目详解】函数为偶函数，由，则，所以，所以，，定义域为，定义域关于原点对称.因为，所以，所以函数为奇函数.故答案为：7；奇13、0【解题分析】若两个集合相等,则两个集合中的元素完全相同.,又,故答案为0.点睛：利用元素的性质求参数的方法（1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值；（2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验.14、-【解题分析】由向量共线可得+λ=k((-3)，计算即可.【题目详解】由向量共线可得+λ=k((-3)，即+λ=k-3k，∴解得λ=-.故答案为：-15、##【解题分析】利用三角函数定义可得：，即可求得：，再利用角的正弦、余弦定义计算得解【题目详解】由三角函数定义可得：，解得：，则，所以，，.故答案为：.16、【解题分析】直接利用基本不等式的应用求出结果【题目详解】解：由于，所以（当且仅当时，等号成立）故最小值为故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】（1）利用三角函数恒等变换对函数进行化简，根据正弦型三角函数性质求解函数的最小值即可；（2）利用正弦函数的单调性，整体代换求解函数的单调递增区间即可.【小问1详解】解析：（1），∴当时取得最小值【小问2详解】（2）由（1）得，，令，得函数的单调递增区间为18、（1）；（2）.【解题分析】（1）根据为第三象限角且求出的值，从而求出的值（1）将原式利用诱导公式化简以后将的值代入即可得解【题目详解】解：（1）∵cosα=-，α是第三象限角，∴sinα=-=-，tanα==2（2）sin（180°+α）cos（-α）sin（-α+180°）+cos（360°+α）sin（-α）tan（-α-180°）=-sinα•cosα•sinα+cosα•（-sinα）•（-tanα）=-cosαsin2α+sin2α=•+=【题目点拨】当已知正余弦的某个值且知道角的取值范围时可直接利用同角公式求出另外一个值．关于诱导公式化简需注意“奇变偶不变，符号看象限”19、（1），，；（2），.【解题分析】（1）利用弧长公式，扇形面积公式即得；（2）由题可得，然后利用基本不等式即求.【小问1详解】由题知扇形的半径，扇形的周长为30，∴，∴，，.【小问2详解】设扇形的圆心角，弧长，半径为，则，∴，∴当且仅当，即取等号，所以该扇形面积的最大值为，此时扇形的半径为.20、（1）证明见解析（2）（i）不存在“和谐区间”，理由见解析（ii）存在，有唯一的“和谐区间”【解题分析】（1）利用来证得结论成立.（2）（i）通过证明方程只有一个实根来判断出此时不存在“和谐区间”.（ii）对的取值进行分类讨论，结合的单调性以及（1）的结论求得唯一的“和谐区间”.【小问1详解】由已知当时，，得，所以当时，.【小问2详解】（i）时，假设存在，则由知，注意到，故，所以在单调递增，于是，即是方程的两个不等实根，易知不是方程的根，由已知，当时，，令，则有时，，即，故方程只有一个实根0，故不存在“和谐区间”.（ii）时，假设存在，则由知若，则由，知，与值域是矛盾，故不存在“和谐区间”，同理，时，也不存在，下面讨论，若，则，故最小值为，于是，所以，所以最大值为2，故，此时的定义域为，值域为，符合题意.若，当时，同理可得，舍去，当时，在上单调递减，所以，于是，若即，则，故，与矛盾；若，同理，矛盾，所以，即，由（1）知当时，，因为，所以，从而，，从而，矛盾，综上所述，有唯一的“和谐区间”.【题目点拨】对于“新定义”的题目，关键是要运用新定义的知识以及原有