北京二中2024届高一上数学期末检测试题含解析

北京二中2024届高一上数学期末检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数是（）A. B.C. D.或2．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：班级人数平均分数方差甲302乙203其中，则甲、乙两个班数学成绩的方差为（）A.2.2 B.2.6C.2.5 D.2.43．将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是A. B.C. D.4．若是的重心，且（，为实数），则（）A. B.1C. D.5．已知,且在区间有最大值,无最小值,则＝()A B.C. D.6．已知函数，则（）A.当且仅当时，有最小值为B.当且仅当时，有最小值为C.当且仅当时，有最大值为D.当且仅当时，有最大值为7．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则8．设集合U={1,2,3,4},M={1,2,3},N={2,3,4},则∁A.{1，2}C.{2，4}9．甲、乙两人破译一份电报，甲能独立破译的概率为0.3，乙能独立破译的概率为0.4，且两人是否破译成功互不影响，则两人都成功破译的概率为（）A.0.5 B.0.7C.0.12 D.0.8810．已知，则角的终边所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数对于任意，都有成立，则___________12．若在内有两个不同的实数值满足等式，则实数k的取值范围是_______13．已知是定义在上的奇函数，当时，，函数如果对，，使得，则实数m的取值范围为______14．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积为_____________15．函数的定义域是______________16．已知，且的终边上一点P的坐标为，则=______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）求函数的对称轴和对称中心.18．已知函数，，.（1）若，求函数的解析式；（2）试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明.19．已知函数（1）求的单调递增区间；（2）求在区间上的值域20．已知函数.（1）判断的奇偶性并证明；（2）用函数单调性的定义证明在区间上单调递增；（3）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.21．已知集合，.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】根据扇形面积公式，求出扇形的半径，再由弧长公式，即可求出结论.【题目详解】因为扇形的弧长为4，面积为2，设扇形的半径为，则，解得，则扇形的圆心角的弧度数为.故选:C.【题目点拨】本题考查扇形面积和弧长公式应用，属于基础题.2、D【解题分析】根据平均数和方差的计算性质即可计算.【题目详解】设甲、乙两班学生成绩分别为，甲班平均成绩为，乙班平均成绩为，因为甲、乙两班的平均成绩相等，所以甲、乙两班合在一起后平均成绩依然为，因为，同理，∴甲、乙两班合在一起后的方差为：.故选：D.3、C【解题分析】将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝sin(x－);再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是.故选C.4、A【解题分析】若与边的交点为,再由三角形中线的向量表示即可.【题目详解】若与边交点为，则为边上的中线，所以，又因为，所以故选:A【题目点拨】此题为基础题，考查向量的线性运算.5、C【解题分析】结合题中所给函数的解析式可得：直线为的一条对称轴，∴，∴，又，∴当k=1时,.本题选择C选项.6、A【解题分析】由基本不等式可得答案.【题目详解】因为，所以，当且仅当即时等号成立.故选：A.7、A【解题分析】由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得，可得考点：空间线面平行垂直的判定与性质8、D【解题分析】∵M∩N={2,3},∴9、C【解题分析】根据相互独立事件的概率乘法公式，即可求解.【题目详解】由题意，甲、乙分别能独立破译的概率为和，且两人是否破译成功互不影响，则这份电报两人都成功破译的概率为.C.10、C【解题分析】化，可知角的终边所在的象限.【题目详解】,将逆时针旋转即可得到，角的终边在第三象限.故选：C【题目点拨】本题主要考查了象限角的概念，属于容易题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、##【解题分析】由可得时，函数取最小值，由此可求.【题目详解】，其中，．因为，所以，，解得，，则故答案为：.12、【解题分析】讨论函数在的单调性即可得解.【题目详解】函数，时，单调递增，时，单调递减，，，，所以在内有两个不同的实数值满足等式，则，所以.故答案为：13、【解题分析】先求出时，，，然后解不等式，即可求解，得到答案【题目详解】由题意，可知时，为增函数，所以，又是上的奇函数，所以时，，又由在上的最大值为，所以，，使得，所以.故答案为【题目点拨】本题主要考查了函数的奇偶性的判定与应用，以及函数的最值的应用，其中解答中转化为是解答的关键，着重考查了转化思想，推理与运算能力，属于基础题.14、【解题分析】正方体的对角线等于球的直径．求得正方体的对角线，则球的表面积为考点：球的表面积点评：若长方体的长、宽和高分别为ａ、ｂ、ｃ，则球的直径等于长方体的对角线15、【解题分析】由题意可得，从而可得答案.【题目详解】函数的定义域满足即，所以函数的定义域为故答案为：16、【解题分析】先求解，判断的终边在第四象限，计算，结合，即得解【题目详解】由题意，故点，故终边在第四象限且，又故故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)单调递增区间为，单调递减区间为：;(2)对称中心为：,对称轴方程为：.【解题分析】详解】试题分析：（1）将看作一个整体，根据余弦函数的单调区间求解即可．（2）将看作一个整体，根据余弦函数的对称中心和对称轴建立方程可求得函数的对称轴和对称中心试题解析：（1）由，得，∴函数的单调递增区间为；由，得，∴函数的单调递减区间为（2）令，得，∴函数图象的对称轴方程为：.令，得，∴函数图象的对称中心为.18、（1）（2）见解析.【解题分析】(1)由求a的值即可；(2)根据a的大小分类讨论即可.【小问1详解】；【小问2详解】任取，且，则，，，①时，，在单调递增；②时，(i)时，单调递减；(ii)时，单调递增；即时，f(x)在单调递减，在单调递增；③时，，在单调递减.综上所述，时，在单调递增；时，f(x)在单调递减，在单调递增；时，在单调递减.19、(1)；(2)【解题分析】（1）利用两角差余弦和诱导公式化简f(x),再求单调区间即可；（2）由结合三角函数性质求值域即可详解】（1）令，得，的单调递增区间为；（2）由得，故而【题目点拨】本题考查三角恒等变换，三角函数单调性及值域问题，熟记公式准确计算是关键，是基础题20、（1）为奇函数，证明见解析（2）证明见解析（3）【解题分析】（1）求出函数的定义域，然后验证、之间的关系，即可证得函数为奇函数；（2）任取、，且，作差，因式分解后判断差值的符号，即可证得结论成立；（3）由参变量分离法可得出，令，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.【小问1详解】证明：函数为奇函数，理由如下：函数的定义域为，，所以为奇函数.【小问2详解】证明：任取、，且，则，，，所以，，所以在区间上单调递增.【小问3