潍坊第一中学2024届高一上数学期末质量检测试题含解析

潍坊第一中学2024届高一上数学期末质量检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于（

）A. B.C. D.2．在四棱锥中，平面，中，，，则三棱锥的外接球的表面积为A. B.C. D.3．在如图所示的多面体ABCDB1C1D1中，四边形ABCD、四边形BCC1B1、四边形CDC1C1都是边长为6的正方形，则此多面体ABCDB1C1D1的体积（）A.72 B.144C.180 D.2164．已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是A. B.C. D.5．下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则6．下列函数中哪个是幂函数（）A. B.C. D.7．已知函数，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为 B.的图象关于直线C.的一个零点为 D.在区间的最小值为18．已知菱形的边长为2，，点分别在边上，,.若，则等于()A. B.C. D.9．函数的图像大致为（）A. B.C. D.10．命题“”的否定是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数的值域为___________.12．已知函数，若对任意的、，，都有成立，则实数的取值范围是______.13．向量与，则向量在方向上的投影为______14．经过原点并且与直线相切于点的圆的标准方程是__________15．如图，在正方体中，、分别是、上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的大小是______.16．设定义在区间上的函数与的图象交于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线与函数的图象交于点，则线段的长为__________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数，（1）试比较与的大小关系，并给出证明；（2）解方程：；（3）求函数，（是实数）的最小值18．化简或求值：（1）；（2）19．已知A，B，C为的内角.（1）若，求的取值范围；（2）求证：；（3）设，且，，，求证：20．解关于的不等式.21．阅读材料：我们研究了函数的单调性、奇偶性和周期性，但是这些还不能够准确地描述出函数的图象，例如函数和，虽然它们都是增函数，图象在上都是上升的，但是却有着显著的不同.如图1所示，函数的图象是向下凸的，在上任意取两个点，函数的图象总是在线段的下方，此时函数称为下凸函数；函数的图象是向上凸的，在上任意取两个点，函数的图象总是在线段的上方，则函数称为上凸函数.具有这样特征的函数通常称做凸函数.定义1：设函数是定义在区间I上的连续函数，若，都有，则称为区间I上的下凸函数.如图2.下凸函数的形状特征：曲线上任意两点之间的部分位于线段的下方.定义2：设函数是定义在区间I上的连续函数，若，都有，则称为区间I上的上凸函数.如图3.上凸函数的形状特征：曲线上任意两点之间的部分位于线段的上方.上凸（下凸）函数与函数的定义域密切相关的.例如，函数在为上凸函数，在上为下凸函数.函数的奇偶性和周期性分别反映的是函数图象的对称性和循环往复，属于整体性质；而函数的单调性和凸性分别刻画的是函数图象的升降和弯曲方向，属于局部性质.关于函数性质的探索，对我们的启示是：在认识事物和研究问题时，只有从多角度、全方位加以考查，才能使认识和研究更加准确.结合阅读材料回答下面的问题：（1）请尝试列举一个下凸函数：___________；（2）求证：二次函数是上凸函数；（3）已知函数，若对任意，恒有，尝试数形结合探究实数a的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】根据圆心角可以得出弧长与半径的关系，根据面积公式可得出弧长【题目详解】由题意可得，所以【题目点拨】本题考查扇形的面积公式、弧长公式，属于基础题2、B【解题分析】由题意，求长，即可求外接圆半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球的表面积.【题目详解】由题意中，，，则是等腰直角三角形，平面可得，，平面，，则的中点为球心设外接圆半径为，则，设球心到平面的距离为，则，由勾股定理得，则三棱锥的外接球的表面积故选：【题目点拨】本题考查三棱锥外接球表面积的求法，利用球的对称性确定球心到平面的距离，培养空间感知能力，中等题型.3、C【解题分析】把该几何体补成正方体ABCD-A1B1C1D1，此多面体ABCDB1C1D1的体积V=-，求之即可【题目详解】如图，把该几何体补成正方体ABCD-A1B1C1D1，此多面体ABCDB1C1D1的体积V=-=63-=180故选C【题目点拨】本题主要考查四棱锥体积的求法，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题4、D【解题分析】本题首先可以求出函数关于轴对称的函数的解析式，然后根据题意得出函数与函数的图像至少有3个交点，最后根据图像计算得出结果【题目详解】若，则，因为时，，所以，所以若关于轴对称，则有，即，设，画出函数的图像，结合函数的单调性和函数图像的凹凸性可知对数函数与三角函数在点处相交为临界情况，即要使与的图像至少有3个交点，需要且满足，即，解得，故选D【题目点拨】本题考查的是函数的对称性、对数函数以及三角函数的相关性质，主要考查如何根据函数对称性来求出函数解析式，考查学生对对数函数以及三角函数的图像的理解，考查推理能力，考查数形结合思想，是难题5、C【解题分析】当时，不正确；当时，不正确；正确；当时，不正确.【题目详解】对于，当时，不成立，不正确；对于，当时，不成立，不正确；对于，若，则，正确；对于，当时，不成立，不正确.故选：C.【题目点拨】关键点点睛：利用不等式的性质求解是解题关键.6、A【解题分析】直接利用幂函数的定义判断即可【题目详解】解：幂函数是，，显然，是幂函数.，，都不满足幂函数的定义，所以A正确故选：A【题目点拨】本题考查了幂函数的概念，属基础题.7、D【解题分析】根据余弦函数的图象与性质判断其周期、对称轴、零点、最值即可.【题目详解】函数，周期为，故A错误；函数图像的对称轴为，，，不是对称轴，故B错误；函数的零点为，，，所以不是零点，故C错误；时，，所以，即，所以，故D正确.故选：D8、C【解题分析】，，即①，同理可得②，①+②得，故选C考点：1．平面向量共线充要条件；2．向量的数量积运算9、A【解题分析】先判断函数为偶函数排除；再根据当时，，排除得到答案.【题目详解】，偶函数，排除；当时，，排除故选【题目点拨】本题考查了函数图像的识别，通过函数的奇偶性和特殊函数点可以排除选项快速得到答案.10、D【解题分析】直接利用全称命题的否定为特称命题进行求解.【题目详解】命题“”为全称命题，按照改量词否结论的法则，所以否定为：，故选：D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】由函数定义域求出的取值范围，再由的单调性即可得解.【题目详解】函数的定义域为R，而，当且仅当x=0时取“=”，又在R上单调递减，于是有，所以函数的值域为.故答案为：12、【解题分析】分析出函数为上的减函数，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【题目详解】设，则，由可得，即，所以，函数为上的减函数.由于，由题意可知，函数在上为减函数，则，函数在上为减函数，则，且有，所以，解得.因此，实数的取值范围是.故答案：.【题目点拨】关键点点睛：在利用分段函数的单调性求参数时，除了分析每支函数的单调性外，还应由间断点处函数值的大小关系得出关于参数的不等式组求解.13、【解题分析】在方向上的投影为考点：向量的投影14、【解题分析】设圆心坐标，则，，，根据这三个方程组可以计算得：，所以所求方程为：点睛：设出圆心与半径，根据题意列出方程组，解出圆心和半径即可15、【解题分析】连接，可得出，证明出四边形为平行四边形，可得，可得出异面直线与所成角为或其补角，分析的形状，即可得出的大小，即可得出答案.【题目详解】连接、、，，，在正方体中，，，，所以，四边形为平行四边形，，所以，异面直线与所成的角为.易知为等边三角形，.故答案为：.【题目点拨】本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线法，选择合适的三角形求解，考查计算能力，属于中等题.16、【解题分析】不妨设坐标为则的长为与的图象交于点，即解得则线段的长为点睛：本题主要考查的知识点是三角函数的图象及三角函数公式的应用．突出考查了数形结合的思想，同时也考查了考生的运算能力，本题的关键是解出是这三点的横坐标，而就是线段的长三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）或．（3）【解题分析】（1）与作差，配方后即可得；（2）原方程化为，设，可得，进而可得结果；（3）令，则，函数可化为，利用二次函数的性质分情况讨论，分别求出两段函数的最小值，比较大小后可得各种情况下函数，（是实数）的最小值.试题解析：（1）因为，所以（2）由，得，令，则，故原方程可化为，解得，或（舍去），则，即，解得或，所以或（3）令，则，函数可化为①若，当时，，对称轴，此时；当时，，对称轴，此时，故，②若，当，，对称轴，此时；当时，，对称轴，此时，故，③若，当时，，对称轴，此时；当时，，对称轴，此时，故，；④若，当时，，对称轴，此时；当时，，对称轴，此时，则时，，时，，故，⑤若，当时，，对称轴，此时；当时，，对称轴，此时，因为时，，故，综述：【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质分段函数的解析式和性质、分类讨论思想及方程的根与系数的关系.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.18、(1)99;(2)2.【解题分析】（1）根据指数幂的运算公式将式子进行化简求值即可；（2）对式子提公因式，结合同底的对数运算得到最终结果解析：（1）原式（2）原式19、（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解题分析】（1）根据两角和的正切公式及均值不等式求解；（2）先证明，再由不等式证明即可；（3）找出不等式的等价条件，换元后再根据函数的单调性构造不等式，利用不等式性质即可得证.【小问1详解】,为锐角，，，解得，当且仅当时，等号成立，即.【小问2详解】在中，，,,.【小问3详解】由（2）知，令，原不等式等价为，在上为增函数，，，同理可得，，，，故不等式成立，问题得证.【题目点拨】本题第3问的证明需要用到，换元后转换为，再构造不等式是证明的关键，本题的难点就在利用函数单调性构造出不等式.20、答案见解析【解题分析】不等式等价于，再分，和三种情况讨论解不等式.【题目详解】原不等式可化为，即，①当，即时，；②当，即时，原不等式的解集为；③当，即时，.综上知：当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集