江苏省南通市田家炳中学2024届数学高一上期末综合测试模拟试题含解析

江苏省南通市田家炳中学2024届数学高一上期末综合测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知，则a，b，c的大小关系是（）A. B.C. D.2．如果函数对任意的实数x，都有，且当时，，那么函数在的最大值为A.1 B.2C.3 D.43．化简：A.1 B.C. D.24．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比是A. B.C. D.5．已知函数：①y＝2x；②y＝log2x；③y＝x－1；④y＝；则下列函数图像(第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序是()A.②①③④ B.②③①④C.④①③② D.④③①②6．若，，则的值为（）A. B.C. D.7．已知集合M={x|1≤x＜3}，N={1，2}，则M∩N=（）A. B.C. D.8．设实数满足，函数的最小值为（）A. B.C. D.69．已知等边的边长为2，为内（包括三条边上）一点，则的最大值是A.2 B.C.0 D.10．设函数则A.1 B.4C.5 D.9二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数(且)恒过的定点坐标为_____，若直线经过点且，则的最小值为___________.12．设集合，,则_________13．已知关于不等式的解集为，则的最小值是___________.14．已知一个扇形的弧长为，其圆心角为，则这扇形的面积为______15．函数(a>0且a≠1)的图象恒过点定，若角终边经过点，则___________.16．已知上的奇函数是增函数，若，则的取值范围是________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设是两个不共线的非零向量.（1）若求证：A，B，D三点共线；（2）试求实数k的值，使向量和共线.18．已知（1）若，求的值；（2）若，且，求实数的值19．已知,当时，.（1）若函数的图象过点，求此时函数的解析式；（2）若函数只有一个零点，求实数a的值.20．已知角终边经过点，求21．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1，1)在AD边所在直线上．求：(1)AD边所在直线的方程；(2)DC边所在直线的方程

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】根据指数函数的单调性、对数函数的单调性可得答案.【题目详解】根据指数函数的单调性可知，，即，即c＞1，由对数函数的单调性可知，即．所以c＞a＞b故选：B2、C【解题分析】由题意可得的图象关于直线对称，由条件可得时，为递增函数，时，为递减函数，函数在递减，即为最大值，由，代入计算可得所求最大值【题目详解】函数对任意的实数x，都有，可得的图象关于直线对称，当时，，且为递增函数，可得时，为递减函数，函数在递减，可得取得最大值，由，则在的最大值为3故选C【题目点拨】本题考查函数的最值求法，以及函数对称性和单调性，以及对数的运算性质的应用，属于中档题．将对称性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据对称性判断出函数在对称区间上的单调性(轴对称函数在对称区间上单调性相反，中心对称函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性求解.3、C【解题分析】根据二倍角公式以及两角差的余弦公式进行化简即可.【题目详解】原式.故选C.【题目点拨】这个题目考查了二倍角公式的应用，涉及两角差的余弦公式以及特殊角的三角函数值的应用属于基础题.4、C【解题分析】设圆锥的底面半径为，则高为，母线长则，，，选C.5、D【解题分析】图一与幂函数图像相对应，所以应④；图二与反比例函数相对应，所以应为③；图三与指数函数相对应，所以应为①；图四与对数函数图像相对应，所以应为②所以对应顺序为④③①②，故选D6、D【解题分析】根据诱导公式即可直接求值.【题目详解】因为，所以，又因为，所以，所以.故选：D.7、B【解题分析】根据集合交集的定义可得所求结果【题目详解】∵，∴故选B【题目点拨】本题考查集合的交集运算，解题的关键是弄清两集合交集中元素的特征，进而得到所求集合，属于基础题8、A【解题分析】将函数变形为，再根据基本不等式求解即可得答案.详解】解：由题意，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以函数的最小值为.故选：A【题目点拨】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方9、A【解题分析】建立如图所示的平面直角坐标系，则，设点P的坐标为，则故令，则t表示内（包括三条边上）上的一点与点间的距离的平方．结合图形可得当点与点B或C重合时t可取得最大值，且最大值为，故的最大值为．选A点睛：通过建立坐标系，将问题转化为向量的坐标运算可使得本题的解答代数化，在得到向量数量积的表达式后，根据表达式的特征再利用数形结合的思路求解是解题的关键，借助图形的直观性可容易得到答案10、C【解题分析】根据题意，由函数的解析式求出与的值，相加即可得答案【题目详解】根据题意，函数，则，又由，则，则；故选C【题目点拨】本题考查对数的运算，及函数求值问题，其中解答中熟记对数的运算，以及合理利用分段函数的解析式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、①.②.【解题分析】根据对数函数过定点得过定点，再根据基本不等式“1”的用法求解即可.【题目详解】解：函数(且)由函数(且)向上平移1个单位得到，函数(且)过定点，所以函数过定点，即，所以，因为，所以所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为故答案为：；12、【解题分析】根据集合的交集的概念得到.故答案为13、【解题分析】由题知，进而根据基本不等式求解即可.【题目详解】解：因为关于的不等式的解集为，所以是方程的实数根，所以，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是故答案为：14、2【解题分析】根据弧长公式求出对应的半径，然后根据扇形的面积公式求面积即可.【题目详解】设扇形的半径为，圆心角为，弧长，可得=4，这条弧所在的扇形面积为，故答案为.【题目点拨】本题主要考查扇形的面积公式和弧长公式，意在考查对基础知识与基本公式掌握的熟练程度，属于中档题.15、【解题分析】利用指数函数的性质得出定点，由任意角三角函数的定义得出三角函数值，结合诱导公式代入求值即可【题目详解】，且故答案为：16、【解题分析】先通过函数为奇函数将原式变形，进而根据函数为增函数求得答案.【题目详解】因为函数为奇函数，所以，而函数在R上为增函数，则.故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】（1）利用向量共线定理证明向量与共线即可；（2）利用向量共线定理即可求出【题目详解】（1）∵，∴//，又有公共点B∴A、B、D三点共线（2）设，化为，∴，解得k＝±118、（1）（2）【解题分析】（1）根据同角三角函数的关系，平方化简可得，计算即可得答案.（2）由题意得，可得或，根据的范围，可求得的值，代入即可得答案.【小问1详解】由，可得所以，即，所以【小问2详解】由，可得，解得或，而，所以，解得，所以19、(1)(2)或.【解题分析】（1）由计算；（2）只有一个解，由对数函数性质转化为方程只有一个正根，分，和讨论【题目详解】（1）,当时，.函数的图象过点，，解得，此时函数.（2），∵函数只有一个零点，只有一个正解，∴当时，，满足题意；当时，只有一个正根，若，解得，此时，满足题意；若方程有两个相异实根，则两根之积为，此时方程有一个正根，符合题意；综上，或.【题目点拨】本题考查函数零点与方程根的分布问题．解题时注意函数的定义域，在转化时要正确确定方程根的范围，对多项式方程，要按最高次项系数为0和不为0进行分类讨论20、7【解题分析】要求值的三角函数式可化简为，再利用任意角三角函数的定义求出，代入即得所求【题目详解】因为角终边经过点，则又21、（1）；（2）【解题分析】分析：（1）先由AD与AB垂直，求得AD的斜率，再由点斜式求得其直线方程；（2）根据矩形特点可以设DC的直线方程为，然后由点到直线的距离得出，就可以求出m的值，即可求出结果.详解：(1)由题意：ABCD为矩形，则AB⊥AD，又AB边所在的直线方程为：x－3y－6＝0，所以AD所在直线的斜率kAD＝－3，而点T(－1，1)在直线AD上所以AD边所在直线的方程为：3x＋y＋2＝0.(2)方法一：由ABCD为矩形可得，AB∥DC，所以设直线CD的方程为x－3y＋m＝0.由矩形性质可知点M到AB、CD的距离相等所以＝,解得m＝2或m＝－6(舍)所以DC边所在的直线方程为x－3y＋2＝0.方法二：方程x－3y－6＝0与方程3x＋