北京101中学2024届数学高一上期末预测试题含解析

北京101中学2024届数学高一上期末预测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸单位：，可得这个几何体得体积是A. B.C.2 D.42．郑州地铁1号线的开通运营，极大方便了市民的出行．某时刻从二七广场站驶往博学路站的过程中，10个车站上车的人数统计如下：70，60，60，60，50，40，40，30，30，10．这组数据的平均数，众数，90%分位数的和为（）A.125 B.135C.165 D.1703．定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.4．下列命题中，真命题是．A.xR，x2＋1＝x B.xR，x2＋1＜2xC.xR，x2＋1＞x D.xR，x2＋2x＞15．设p：关于x的方程有解；q：函数在区间上恒为正值，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半这条直线被后人称之为三角形的欧拉线若的顶点，，且的欧拉线的方程为，则顶点C的坐标为A. B.C. D.7．与圆关于直线对称的圆的方程为（）A. B.C. D.8．已知，则的大小关系为A. B.C. D.9．，是两个平面，，是两条直线，则下列命题中错误的是（）A.如果，，，那么B.如果，，那么C.如果，，，那么D.如果，，，那么10．集合，，则（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在中，，则等于______12．全集，集合，则______13．设定义在区间上的函数与的图象交于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线与函数的图象交于点，则线段的长为__________14．给出如下五个结论：①存在使②函数是偶函数③最小正周期为④若是第一象限的角，且，则⑤函数的图象关于点对称其中正确结论序号为______________15．已知函数.（1）当函数取得最大值时，求自变量x的集合；（2）完成下表，并在平面直角坐标系内作出函数在的图象.x0y16．已知球有个内接正方体，且球的表面积为，则正方体的边长为__________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数（，为常数，且）的图象经过点，（1）求函数的解析式；（2）若关于不等式对都成立，求实数的取值范围18．已知函数（1）求的单调递增区间；（2）求在区间上的值域19．如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，E是CD中点，PA底面ABCD，（I）证明：平面PBE平面PAB；（II）求二面角A—BE—P和的大小20．证明：（1）；（2）21．设函数（1）求的最小正周期；（2）若函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，求函数在上的最值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】先根据三视图得到几何体的形状，然后再根据条件中的数据求得几何体的体积【题目详解】由三视图可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，如下图中的四棱锥由题意得其底面面积，高，故几何体的体积故选B【题目点拨】由三视图还原几何体的方法（1）还原后的几何体一般为较熟悉的柱、锥、台、球的组合体（2）注意图中实、虚线，实际是原几何体中的可视线与被遮挡线（3）想象原形，并画出草图后进行三视图还原，把握三视图和几何体之间的关系，与所给三视图比较，通过调整准确画出原几何体2、D【解题分析】利用公式可求平均数和90%分位数，再求出众数后可得所求的和.【题目详解】这组数据的平均数为，而，故90%分位数，众数为，故三者之和为，故选：D.3、B【解题分析】对变形得到，构造新函数，得到在上单调递减，再对变形为，结合，得到，根据的单调性，得到解集.【题目详解】，不妨设，故，即，令，则，故在上单调递减，，不等式两边同除以得：，因为，所以，即，根据在上单调递减，故，综上：故选：B4、C【解题分析】根据全称命题和特称命题的含义，以及不等式性质的应用，即可求解.【题目详解】对于A中，，所以，所以不正确；对于B中，，所以，所以不正确；对于C中，，所以，所以正确；对于D中，，所以不正确，故选C.【题目点拨】本题主要考查了全称命题与特称命题的真假判定，其中解答中正确理解全称命题和特称命题的含义，以及不等式性质的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5、B【解题分析】先化简p,q，再利用充分条件和必要条件的定义判断.【题目详解】因为方程有解,即方程有解，令，则，即；因为函数在区间上恒为正值，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，解得，所以p是q的必要不充分条件，故选：B6、A【解题分析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标【题目详解】设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为（，），代入欧拉线方程得：2＝0，整理得：m﹣n+4＝0①AB的中点为（1，2），直线AB的斜率k2，AB的中垂线方程为y﹣2（x﹣1），即x﹣2y+3＝0联立，解得∴△ABC的外心为（﹣1，1）则（m+1）2+（n﹣1）2＝32+12＝10，整理得：m2+n2+2m﹣2n＝8②联立①②得：m＝﹣4，n＝0或m＝0，n＝4当m＝0，n＝4时B，C重合，舍去∴顶点C的坐标是（﹣4，0）故选A【题目点拨】本题考查直线方程的求法，训练了直线方程的点斜式，考查了方程组的解法7、A【解题分析】设所求圆的圆心坐标为，列出方程组，求得圆心关于的对称点，即可求解所求圆的方程.【题目详解】由题意，圆的圆心坐标，设所求圆的圆心坐标为，则圆心关于的对称点，满足，解得，即所求圆的圆心坐标为，且半径与圆相等，所以所求圆方程为，故选A.【题目点拨】本题主要考查了圆的方程的求解，其中解答中熟记圆的方程，以及准确求解点关于直线的对称点的坐标是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8、D【解题分析】,且,,,故选D.9、D【解题分析】A.由面面垂直的判定定理判断；B.由面面平行的性质定理判断；C.由线面平行的性质定理判断；D.由平面与平面的位置关系判断；【题目详解】A.如果，，，由面面垂直的判定定理得，故正确；B.如果，，由面面平行的性质定理得，故正确；C.如果，，，由线面平行的性质定理得，故正确；D如果，，，那么相交或平行，故错误；故选：D【题目点拨】本题主要考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，还考查了理解辨析和逻辑推理的能力，属于中档题.10、B【解题分析】解不等式可求得集合，由交集定义可得结果.【题目详解】，，.故选：B.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】由题；，又，代入得：考点：三角函数的公式变形能力及求值.12、【解题分析】直接利用补集的定义求解【题目详解】因为全集，集合，所以，故答案为：13、【解题分析】不妨设坐标为则的长为与的图象交于点，即解得则线段的长为点睛：本题主要考查的知识点是三角函数的图象及三角函数公式的应用．突出考查了数形结合的思想，同时也考查了考生的运算能力，本题的关键是解出是这三点的横坐标，而就是线段的长14、②③【解题分析】利用正弦函数的图像与性质，逐一判断即可.【题目详解】对于①，，，故错误；对于②，，显然为偶函数，故正确；对于③，∵y＝sin（2x）的最小正周期为π，∴y＝|sin（2x）|最小正周期为．故正确；对于④，令α，β，满足，但，故错误；对于⑤，令则故对称中心为，故错误.故答案为：②③【题目点拨】本题主要考查三角函数图象与性质，考查辅助角公式和诱导公式、正弦函数的图象的对称性和单调性，属于基础题15、（1）（2）答案见解析【解题分析】(1)由三角恒等变换求出解析式，再求得最大值时的x的集合,(2)由五点法作图,列出表格,并画图即可.【小问1详解】令，函数取得最大值，解得，所以此时x的集合为.【小问2详解】表格如下：x0y11作图如下，16、【解题分析】设正方体的棱长为x，则=36π，解得x=故答案为三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】（1）将，，代入函数，利用待定系数法即可得出答案；（2）对都成立，即，，令，，令，求出函数的最小值即可得解.【小问1详解】解：∵函数的图象经过点，，∴，即，又∵，∴，，∴，即；【小问2详解】解：由（1）知，，∴对都成立，即对都成立，∴，，令，，则，令，即，，∴的图象是开口向下且关于直线对称的抛物线，∴，∴，∴的取值区间为18、(1)；(2)【解题分析】（1）利用两角差余弦和诱导公式化简f(x),再求单调区间即可；（2）由结合三角函数性质求值域即可详解】（1）令，得，的单调递增区间为；（2）由得，故而【题目点拨】本题考查三角恒等变换，三角函数单调性及值域问题，熟记公式准确计算是关键，是基础题19、（I）同解析（II）二面角的大小为【解题分析】解：解法一（I）如图所示,连结由是菱形且知，是等边三角形.因为E是CD的中点，所以又所以又因为PA平面ABCD，平面ABCD，所以而因此平面PAB.又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.（II）由（I）知，平面PAB,平面PAB,所以又所以是二面角的平面角在中,故二面角的大小为解法二：如图所示,以A为原点，建立空间直角坐标系则相关各点的坐标分别是：（I）因为平面PAB的一个法向量是所以和共线.从而平面PAB.又因为平面PBE，所以平面PBE平面PAB.（II）易知设是平面PBE的一个法向量,则由得所以故可取而平面ABE的一个法向量是于是,故二面角的大小为20、（1）证明见解析（2）证明见解析【解题分析】(1)利用三角函数的和差公式，分别将两边化简后即可；（2）利用和2倍角公式构造出齐次式，再同时除