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文档简介
2024届浙江省温州市瑞安市四校联考数学九年级第一学期期末综合测试试题请考生注意:1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。一、选择题(每题4分,共48分)1.如果,那么下列比例式中正确的是()A. B. C. D.2.矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是()A.邻边相等 B.四个角都是直角C.对角线相等 D.对角线互相平分3.抛物线的顶点坐标是()A.(2, 0) B.(-2, 0) C.(0, 2) D.(0, -2)4.已知二次函数y=2(x﹣3)2+1.下列说法:①其图象的开口向下;②其图象的对称轴为直线x=﹣3;③其图象顶点坐标为(3,﹣1);④当x<3时,y随x的增大而减小.则其中说法正确的有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.方程x2+2x-5=0经过配方后,其结果正确的是A. B.C. D.6.下列图形中,可以看作是中心对称图形的是()A. B. C. D.7.如图,数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高,下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m,但当她马上测量树高时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图),他先测得留在墙壁上的影高为1.2m,又测得地面的影长为2.6m,请你帮她算一下,树高是()A.4.25m B.4.45m C.4.60m D.4.75m8.下列事件为必然事件的是()A.袋中有4个蓝球,2个绿球,共6个球,随机摸出一个球是红球B.三角形的内角和为180°C.打开电视机,任选一个频道,屏幕上正在播放广告D.抛掷一枚硬币两次,第一次正面向上,第二次反面向上9.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(﹣1,2),与x轴的一个交点A在点(﹣3,0)和(﹣2,0)之间,其部分图象如图所示,则以下结论:①b2﹣4ac<0;②a+b+c<0;③c﹣a=2;④方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根.其中正确结论的个数为()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10.的绝对值是()A. B.2020 C. D.11.如图,二次函数()图象的顶点为,其图象与轴的交点,的横坐标分别为和1.下列结论:①;②;③;④当时,是等腰直角三角形.其中结论正确的个数是()A.4个 B.1个 C.2个 D.1个12.若关于x的函数y=(3-a)x2-x是二次函数,则a的取值范围()A.a≠0 B.a≠3 C.a<3 D.a>3二、填空题(每题4分,共24分)13.如图,AB是⊙O的直径,点C在AB的延长线上,CD与⊙O相切于点D,若∠CDA=122°,则∠C=_______.14.用一个圆心角为120°,半径为4的扇形作一个圆锥的侧面,这个圆锥的底面圆的半径为____.15.如图,A、B、C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则tan∠BAC的值为______.16.已知⊙O的半径为,圆心O到直线L的距离为,则直线L与⊙O的位置关系是___________.17.如图所示,在中,,垂直平分,交于点,垂足为点,,,则等于___________.18.如图,在菱形中,,,点,,分别为线段,,上的任意一点,则的最小值为__________.三、解答题(共78分)19.(8分)某校为了解每天的用电情况,抽查了该校某月10天的用电量,统计如下(单位:度):用电量9093102113114120天数112312(1)该校这10天用电量的众数是度,中位数是度;(2)估计该校这个月的用电量(用30天计算).20.(8分)一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球,这些球除颜色外都相同.(1)搅匀后从袋子中任意摸出1个球,摸到红球的概率是多少?(2)搅匀后先从袋子中任意摸出1个球,记录颜色后不放回,再从袋子中任意摸出1个球,用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果,并求出两次都摸到白球的概率.21.(8分)如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长,那么称这个三角形为“匀称三角形”,这条中线为“匀称中线”.(1)如图①,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC>BC,若Rt△ABC是“匀称三角形”.①请判断“匀称中线”是哪条边上的中线,②求BC:AC:AB的值.(2)如图②,△ABC是⊙O的内接三角形,AB>AC,∠BAC=45°,S△ABC=2,将△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE,点B的对应点为D,AD与⊙O交于点M,若△ACD是“匀称三角形”,求CD的长,并判断CM是否为△ACD的“匀称中线”.22.(10分)如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且关于直线x=1对称,点A的坐标为(﹣1,0).(1)求二次函数的表达式;(2)连接BC,若点P在y轴上时,BP和BC的夹角为15°,求线段CP的长度;(3)当a≤x≤a+1时,二次函数y=x2+bx+c的最小值为2a,求a的值.23.(10分)解方程:+3x-4=024.(10分)如果一条抛物线与坐标轴有三个交点.那么以这三个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.(1)命题“任意抛物线都有抛物线三角形”是___________(填“真”或“假”)命题;(2)若抛物线解析式为,求其“抛物线三角形”的面积.25.(12分)如图,BC是半圆O的直径,D是弧AC的中点,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E.(1)求证:△DCE∽△DBC;(2)若CE=,CD=2,求直径BC的长.26.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D作EF⊥AC于点E,交AB的延长线于点F.(1)判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)如果AB=5,BC=6,求DE的长.
参考答案一、选择题(每题4分,共48分)1、C【分析】根据比例的性质,若,则判断即可.【题目详解】解:故选:C.【题目点拨】本题主要考查了比例的性质,灵活的利用比例的性质进行比例变形是解题的关键.2、D【解题分析】矩形、菱形、正方形都是平行四边形,所以一定都具有的性质是平行四边形的性质,即对角线互相平分.故选D.3、A【分析】依据抛物线的解析式即可判断顶点坐标.【题目详解】解:∵抛物线,∴抛物线的顶点坐标为(2,0).故选A.【题目点拨】掌握抛物线y=a(x-h)2+k的顶点坐标为(h,k)是解题的关键.4、A【解题分析】结合二次函数解析式,根据函数的性质对各小题分析判断解答即可:①∵2>0,∴图象的开口向上,故本说法错误;②图象的对称轴为直线x=3,故本说法错误;③其图象顶点坐标为(3,1),故本说法错误;④当x<3时,y随x的增大而减小,故本说法正确.综上所述,说法正确的有④共1个.故选A.5、C【题目详解】解:根据配方法的意义,可知在方程的两边同时加减一次项系数的一半的平方,可知,即,配方为.故选:C.【题目点拨】此题主要考查了配方法,解题关键是明确一次项的系数,然后在方程的两边同时加减一次项系数的一半的平方,即可求解.6、B【分析】把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,根据中心对称图形的概念求解.【题目详解】A、不是中心对称图形,故本选项不合题意;
B、是中心对称图形,故本选项符合题意;
C、不中心对称图形,故本选项不合题意;
D、不中心对称图形,故本选项不合题意.
故选:B.【题目点拨】本题主要考查了中心对称图形的概念:关键是找到相关图形的对称中心,旋转180度后与原图重合.7、B【分析】此题首先要知道在同一时刻任何物体的高与其影子的比值是相同的,所以竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同,利用这个结论可以求出树高.【题目详解】如图,设BD是BC在地面的影子,树高为x,
根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得而CB=1.2,
∴BD=0.96,
∴树在地面的实际影子长是0.96+2.6=3.56,
再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得,
∴x=4.45,
∴树高是4.45m.
故选B.【题目点拨】抓住竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同是关键.8、B【解题分析】确定事件包括必然事件和不可能事件,必然事件指在一定条件下,一定发生的事件,不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件;【题目详解】A.袋中有4个蓝球,2个绿球,共6个球,随机摸出一个球是红球是不可能事件;B.三角形的内角和为180°是必然事件;C.打开电视机,任选一个频道,屏幕上正在播放广告是随机事件;D.抛掷一枚硬币两次,第一次正面向上,第二次反面向上是随机事件;故选:B.【题目点拨】此题考查随机事件,解题关键在于掌握其定义9、B【分析】先从二次函数图像获取信息,运用二次函数的性质一—判断即可.【题目详解】解:∵二次函数与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,故①错误;∵抛物线与x轴的另一个交点为在(0,0)和(1,0)之间,且抛物线开口向下,∴当x=1时,有y=a+b+c<0,故②正确;∵函数图像的顶点为(-1,2)∴a-b+c=2,又∵由函数的对称轴为x=-1,∴=-1,即b=2a∴a-b+c=a-2a+c=c-a=2,故③正确;由①得b2-4ac>0,则ax2+bx+c=0有两个不等的实数根,故④错误;综上,正确的有两个.故选:B.【题目点拨】本题考查了二次函数的图像与系数的关系,从二次函数图像上获取有用信息和灵活运用数形结合思想是解答本题的关键.10、B【分析】根据绝对值的定义直接解答.【题目详解】解:根据绝对值的概念可知:|−2121|=2121,故选:B.【题目点拨】本题考查了绝对值.解题的关键是掌握绝对值的概念,注意掌握一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;1的绝对值是1.11、C【分析】①x=1=−,即b=−2a,即可求解;②当x=1时,y=a+b+c<0,即可求解;③分别判断出a,b,c的取值,即可求解;④时,函数的表达式为:y=(x+1)(x−1)=,则点A、B、D的坐标分别为:(−1,0)、(1,0)(1,−2),即可求解.【题目详解】其图象与x轴的交点A,B的横坐标分别为−1和1,则函数的对称轴为:x=1,①x=1=−,即b=−2a,故不符合题意;②当x=1时,y=a+b+c<0,符合题意;③由图可得开口向上,a>0,对称轴x=1,∴a,b异号,b<0,图像与y轴交于负半轴,c<0∴>0,不符合题意;④时,函数的表达式为:y=(x+1)(x−1)=,则点A、B、D的坐标分别为:(−1,0)、(1,0)(1,−2),AB2=(-1-1)2+02=16,AD2=(-1-1)2+(0-2)2=8,BD2=(1-1)2+(0-2)2=8,故△ABD是等腰直角三角形符合题意;故选:C.【题目点拨】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a与b的关系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用.12、B【分析】根据二次函数的定义,二次项系数不等于0列式求解即可.【题目详解】根据二次函数的定义,二次项系数不等于0,3-a≠0,则a≠3,故选B【题目点拨】本题考查二次函数的定义,熟记概念是解题的关键.二、填空题(每题4分,共24分)13、26°【分析】连接OD,如图,根据切线的性质得∠ODC=90°,即可求得∠ODA=32°,再利用等腰三角形的性质得∠A=32°,然后根据三角形内角和定理计算即可.【题目详解】连接OD,如图,
∵CD与⊙O相切于点D,
∴OD⊥CD,
∴∠ODC=90°,
∴∠ODA=∠CDA-90°=122°-90°=32°,
∵OA=OD,
∴∠A=∠ODA=32°,
∴∠C=180°-∠ADC+∠A=180°-122°-32°=26°.
故答案为:.【题目点拨】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.14、【解题分析】试题分析:,解得r=.考点:弧长的计算.15、1【分析】连接BC,由网格求出AB,BC,AC的长,利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形,即可求出所求.【题目详解】解:连接,
由网格可得,,即,
∴为等腰直角三角形,
∴,
则,故答案为1.【题目点拨】此题考查了锐角三角函数的定义,解直角三角形,以及勾股定理,熟练掌握勾股定理是解本题的关键.16、相交【分析】先根据题意判断出直线与圆的位置关系即可得出结论.【题目详解】∵⊙O的半径为6cm,圆心O到直线l的距离为5cm,6cm>5cm,∴直线l与⊙O相交,故答案为:相交.【题目点拨】本题考查的是直线与圆的位置关系,熟知设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,当d<r时,直线与圆相交是解答此题的关键.17、3cm【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC,根据线段垂直平分线性质求出,求出,求出∠EAC,根据含30°角的直角三角形的性质求解即可.【题目详解】∵在△ABC中,∵垂直平分,故答案为:3cm.【题目点拨】本题考查了三角形的边长问题,掌握三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质是解题的关键.18、【分析】根据菱形的对称性,在AB上找到点P关于BD的对称点,过点作Q⊥CD于Q,交BD于点K,连接PK,过点A作AE⊥CD于E,根据垂线段最短和平行线之间的距离处处相等,可得此时最小,且最小值为的长,,然后利用锐角三角函数求AE即可.【题目详解】解:根据菱形的对称性,在AB上找到点P关于BD的对称点,过点作Q⊥CD于Q,交BD于点K,连接PK,过点A作AE⊥CD于E根据对称性可知:PK=K,∴此时=,根据垂线段最短和平行线之间的距离处处相等,∴此时最小,且最小值为的长,∵在菱形中,,∴,∠ADE=180°-∠A=60°在Rt△ADE中,AE=AD·sin∠ADE=∴即的最小值为故答案为.【题目点拨】此题考查的是菱形的性质、求两线段之和的最值问题和锐角三角函数,掌握菱形的性质、垂线段最短、平行线之间的距离处处相等和用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键.三、解答题(共78分)19、(1)113;113;(2)3240度.【分析】(1)分别利用众数、中位数的定义求解即可;(2)根据平均数的计算方法计算出平均用电量,再乘以总用电天数即可得解.【题目详解】解:(1)113度出现了3此,出现的次数最多,故众数为113度;将数据按从小到大的顺序排列,共10个数据,位于第5,6的数均为113,故中位数为113度;(2)(度).答:估计该校该月的用电量为3240度.【题目点拨】本题考查的知识点是中位数、众数的概念定义以及算数平均线的计算方法,属于基础题目,易于理解掌握.20、(1);(2),见解析【分析】(1)袋中一共有3个球,有3种等可能的抽取情况,抽取红球的情况只有1种,摸到红球的概率即可求出;(2)分别使用树状图法或列表法将抽取球的结果表示出来,第一次共有3种不同的抽取情况,第二次有2种不同的抽取情况,所有等可能出现的结果有6种,找出两次都是白球的的抽取结果,即可算出概率.【题目详解】解:(1)∵袋中一共有3个球,有3种等可能的抽取情况,抽取红球的情况只有1种,∴;(2)画树状图,根据题意,画树状图结果如下:一共有6种等可能出现的结果,两次都抽取到白球的次数为2次,∴;用列表法,根据题意,列表结果如下:一共有6种等可能出现的结果,两次都抽取到白球的次数为2次,∴.【题目点拨】本题考查了列表法或树状图法求概率,用图表的形式将第一次、第二次抽取所可能发生的情况一一列出,避免遗漏.21、(1)①“匀称中线”是BE,它是AC边上的中线,②BC:AC:AB=;(2)CD=a,CM不是△ACD的“匀称中线”.理由见解析.【分析】(1)①先作出Rt△ABC的三条中线AD、BE、CF,然后利用匀称中线的定义分别验证即可得出答案;②设AC=2a,利用勾股定理分别把BC,AB的长度求出来即可得出答案.(2)由②知:AC:AD:CD=,设AC=,则AD=2a,CD=,过点C作CH⊥AB,垂足为H,利用的面积建立一个关于a的方程,解方程即可求出CD的长度;假设CM是△ACD的“匀称中线”,看能否与已知的定理和推论相矛盾,如果能,则说明假设不成立,如果不能推出矛盾,说明假设成立.【题目详解】(1)①如图①,作Rt△ABC的三条中线AD、BE、CF,∵∠ACB=90°,∴CF=,即CF不是“匀称中线”.又在Rt△ACD中,AD>AC>BC,即AD不是“匀称中线”.∴“匀称中线”是BE,它是AC边上的中线,②设AC=2a,则CE=a,BE=2a,在Rt△BCE中∠BCE=90°,∴BC=,在Rt△ABC中,AB=,∴BC:AC:AB=(2)由旋转可知,∠DAE=∠BAC=45°.AD=AB>AC,∴∠DAC=∠DAE+∠BAC=90°,AD>AC,∵Rt△ACD是“匀称三角形”.由②知:AC:AD:CD=设AC=,则AD=2a,CD=,如图②,过点C作CH⊥AB,垂足为H,则∠AHC=90°,∵∠BAC=45°,∴∵解得a=2,a=﹣2(舍去),∴判断:CM不是△ACD的“匀称中线”.理由:假设CM是△ACD的“匀称中线”.则CM=AD=2AM=4,AM=2,∴又在Rt△CBH中,∠CHB=90°,CH=,BH=4-,∴即这与∠AMC=∠B相矛盾,∴假设不成立,∴CM不是△ACD的“匀称中线”.【题目点拨】本题主要为材料理解题,掌握匀称三角形和匀称中线的意义是解题的关键.22、(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)CP的长为3﹣或3﹣3;(3)a的值为1﹣或2+.【解题分析】(1)先根据题意得出点B的坐标,再利用待定系数法求解可得;
(2)分点P在点C上方和下方两种情况,先求出∠OBP的度数,再利用三角函数求出OP的长,从而得出答案;
(3)分对称轴x=1在a到a+1范围的右侧、中间和左侧三种情况,结合二次函数的性质求解可得.【题目详解】(1)∵点A(﹣1,0)与点B关于直线x=1对称,∴点B的坐标为(3,0),代入y=x2+bx+c,得:,解得,所以二次函数的表达式为y=x2﹣2x﹣3;(2)如图所示:由抛物线解析式知C(0,﹣3),则OB=OC=3,∴∠OBC=45°,若点P在点C上方,则∠OBP=∠OBC﹣∠PBC=30°,∴OP=OBtan∠OBP=3×=,∴CP=3﹣;若点P在点C下方,则∠OBP′=∠OBC+∠P′BC=60°,∴OP′=OBtan∠OBP′=3×=3,∴CP=3﹣3;综上,CP的长为3﹣或3﹣3;(3)若a+1<1,即a<0,则函数的最小值为(a+1)2﹣2(a+1)﹣3=2a,解得a=1﹣(正值舍去);若a<1<a+1,即0<a<1,则函数的最小值为1﹣2﹣3=2a,解得:a=﹣2(舍去);若a>1,则函数的最小值为a2﹣2a﹣3=2a,解得a=2+(负值舍去);综上,a的值为1﹣或2+.【题目点拨】本题是二次函数的综合问题,解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、三角函数的运用、二次函数的图象与性质及分类讨论思想的运用.23、=-4,=
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