内蒙古自治区乌兰察布市集宁区2022-2023学年高一数学上学期10月期中试题

Page13内蒙古乌兰察布市集宁区2022-2023学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）若A、B是全集I的真子集，则下列四个命题：①A∩B=A； ②A∪B=A; ③A∩(∁IA.1个 B.2个 C.3个 D.4个有下列关系式：①{a,b}={b,a}；②{a,b}⊆{b,a}；③⌀={⌀}；④{0}=∅；⑤∅⫋{0}；⑥0∈{0}.其中不正确的是A.①③ B.②④⑤ C.①②⑤⑥ D.③④下列说法正确的是(

)A.0与{0}的意义相同

B.高一(1)班个子比较高的同学可以形成一个集合

C.集合A={(x,y)|3x+y=2,x∈N}是有限集

已知集合A={x|a+1⩽x⩽3a-5}，B={x|3<x<22}，且A.(-∞,9] B.(-∞,9) 若全集U= {1,2,3,4,5,6}，M={1,4}，N=A.M∪N B.M∩N C.(∁UM)∪(设a∈R，若关于x的不等式x2-ax+1≥0在1≤x≤2上有解，则(

)A.a≤2 B.a≥2 C.a≤52 设a∈R，若关于x的不等式x2-ax+1≥0在区间A.a≤2 B.a≥2 C.a≥52 已知二次方程2x2+ax+12=0的一个根为1A.14 B.12 C.2 下列各组函数表示同一函数的是(

)A.f(x)=x2，g(x)=(x)2 B.f(x)=1，g(x)=x0

C.已知函数f(x)=x,x≥2,3-x,x<2,则f(f(-1))等于(

)A.4 B.-2 C.2 D.2设a>0，b>0，a+b=1，则下列说法错误的是．(

)A.ab的最大值为14 B.a2+b2的最小值为12

C.4a如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t(0<t≤2)左侧的图形的面积为f(t)，则函数y=f(t)A.B.

C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）方程x2-(p-1)x+q=0的解集为A，方程x2+(q-1)x+p=0的解集为B，已知A∩B={-2}，则A∪B=若x>0时，1-x-16x的最大值是若a>1，则关于x的不等式(x-a)(x-1a)>0的解集为

函数f(x)=x+1x-2(x≥6)的最小值为

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(本小题10.0分)

设全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={1,3,4}，B={1,4,5,6}．

(1)求A∩B及A∪B；

(2)求(∁U(本小题12.0分)

已知p：2x2-3x+1≤0，q：x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0．

(1)若a=12，且p与q均为真命题，求实数x的取值范围；

(2)若(本小题12.0分)

已知函数f(x)=x+1x．

(1)根据定义证明f(x)在[1,+∞)上为增函数；

(2)若对∀x∈[2,4]，恒有f(x)≤2m-1，求实数m(本小题12.0分)

比较大小．

(1)比较x2+y2+1与2(x+y-1)的大小；

(2)a>b>0，m>0，比较(本小题12.0分)已知非空集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，Q={x|-2≤x≤5}．(1)若a=3，求(∁(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．(本小题12.0分)

设p：实数x满足x2-4ax+3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足x2-x-6≤0x2+2x-8>0．

(1)若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

(2)若答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】本题主要考查了集合的包含关系的判断及应用，考查集合的基本运算，考查了Venn图的应用，属于基础题．

直接根据集合的交集、并集、补集的定义判断集合间的关系，从而求出结论．【解答】解：由A⊆B得Venn图，

①A∩B=A⇔A⊆B; ②A∪B=A⇔B⊆A; ③A∩(∁IB)=⌀⇔A⊆B;

 ④A∩B=I，与A、B是全集I的真子集矛盾，不可能存在;

⑤x∈B是x∈A的必要不充分条件⇔A⫋B;

故和命题

2.【答案】D

【解析】【分析】本题主要考查元素与集合，集合与集合之间的关系，空集和集合的关系，属于基础题．

根据集合元素的无序性判断①；根据子集的定义判断②；根据集合及空集的定义判断③④⑤；利用元素与集合的关系判断⑥．【解答】解：对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确；

对②：因为集合{a,b}={b,a}，故{a,b}⊆{b,a}正确，即②正确；

对③：⌀是一个集合，而集合{⌀}是以空集为元素的一个集合，因此有⌀⊆{⌀}，故③不正确；

对④：{0}是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是{0}≠⌀，故④不正确；

对⑤：由④可知，{0}非空，于是有⌀⫋{0}，因此⑤正确；

对⑥：显然0∈{0}成立，因此⑥正确．

综上，本题不正确的有③④．

故选：D．

3.【答案】D

【解析】【分析】本题考查集合的定义，考查集合中元素的个数，属于基础题．

关键是理解集合的定义以及集合中元素的特点．逐一判断得出结论．【解答】解：A.0是元素，而{0}是集合，两者的意义不同，故A错误；

B.高一(1)班个子比较高没有明确的标准，不符合集合元素的确定性，不能形成一个集合，故B错误；

C.集合A={(x,y)|3x+y=2，x∈N}的元素是直线3x+y=2上的点，且x可以取所有自然数，是无限集，故C错误；

D.方程x2+2x+1=0的解为x=-1，故其解集中只有一个元素，故D正确．

故选：

4.【答案】B

【解析】【分析】本题考查了描述法、交集的定义及运算，子集的定义，分类讨论的思想，考查了计算能力．

根据A∩B=A可得出A⊆B，从而可讨论A是否为空集：

A=⌀时，a+1>3a-5；

A≠⌀时，a+1≤3a-5  a+1>33a-5<22，解出【解答】解：∵A∩B=A，

∴A⊆B，且A={x|a+1≤x≤3a-5}，B={x|3<x<22}，

∴①A=⌀时，a+1>3a-5，解得a<3；

②A≠⌀时，a+1≤3a-5  a+1>33a-5<22，解得3≤a<9，

∴综上得，实数a的取值范围是(-∞,9)．

故选：

5.【答案】D

【解析】【分析】本题考查了交、并、补集的混合运算，属于基础题．

由全集U，以及M和N，分别求出M和N的补集，即可作出判断．

【解答】解：∵全集U={1,2,3,4,5,6}，M=1,4，N=2,3，

∴∁UN={1,4,5,6}，∁UM={2,3,5,6}，M∩N=⌀，M∪N={1,2,3,4}，

∴(∁UM)∩(∁U

6.【答案】C

【解析】【分析】本题主要考查了含参一元二次不等式中参数的取值范围，属于中档题．

根据题意得不等式对应的二次函数fx=x【解答】解：由二次函数fx=x2-ax+1的图象开口向上，

当Δ=0⇒a=±2，满足题意，

当Δ>0f(1)≥0或 f(2)≥0，解得a<-2或2<a≤52，

当

7.【答案】D

【解析】【分析】本题考查一元二次不等式的解的存在性问题，考查转化思想，属于中档题；

由x∈[1,2]时，x2【解答】解：当x∈[1,2]时，x2-ax+1≥0等价于a⩽x+1x，

设f(x)=x+1x，

则关于x的不等式x2-ax+1≥0在区间[1,

8.【答案】A

【解析】【分析】本题考查了二次方程根于系数的关系，属于基础题．

根据韦达定理可求另外一根．【解答】解：设另一根为x，由韦达定理可知：

1×x=122=14

9.【答案】C

【解析】【分析】本题考查函数的定义，两个函数是否相同的判断法则．属于基础题．

判断函数的定义域与对应法则是否相同即可．【解答】解：对于A，f(x)=x2=|x|，g(x)=(x)2=x(x⩾0)，定义域和对应法则不一样，故不为同一函数;

对于B，f(x)=1(x∈R)，g(x)=x0=1(x≠0)，定义域不同，故不为同一函数;

对于C，f(x)=x，g(x)=3x3=x

10.【答案】D

【解析】【分析】本题主要考查分段函数的求函数值问题，属于基础题．

根据分段函数的解析式求函数的值即可．【解答】解：由题意得，f(-1)=3--1=4,

ff-1

11.【答案】D

【解析】【分析】本题考查不等式性质，基本不等式以及利用基本不等式求最值，属于中等题．

根据题意，利用不等式性质以及基本不等式逐项判断即可．【解答】解：由题意，对各选项依次进行分析：

对A，因为正实数a，b满足a+b=1，

所以1=a+b≥2ab，当且仅当a=b=12时等号成立，

所以ab≤14，当且仅当a=b=12时等号成立，故ab有最大值14，故A正确;

对B，因为(a+b)2=a2+b2+2ab=1，

所以a2+b2=1-2ab≥1-2×14=12，当且仅当a=b=12时等号成立，

所以a2+b2有最小值12，故B正确．

对C，利用基本不等式，有

12.【答案】A

【解析】【分析】本题考查有关函数图象的选择问题，涉及到的知识点有三角形的面积公式、函数解析式的求法、根据解析式选择合适的函数图象．首先求出f(t)的解析式，在求其解析式的时候，关键是要根据题中所给的图，对t的取值进行恰当的分类，然后分类讨论，给出分段函数的解析式后，再根据解析式画出函数的图象，求得结果．【解答】解：分两种情况讨论：(1)当0<t≤1时，可以求得直角三角形的两条直角边分别为t,3从而可以求得f(t)=1(2)当1<t≤2时，阴影部分可以看做大三角形减去一个小三角形，可求得f(t)=3所以f(t)=根据函数解析式从而可选出正确的图象，故选A．

13.【答案】{-2,-1,1}

【解析】【分析】本题考查集合的运算以及元素与集合的关系，属于基础题．

首先根据交集得到-2是A，B的元素，求出p，q的值，即可求出A，B集合，从而求出并集．【解答】解：由题意可-2∈A，-2∈B，则4+2(p-1)+q=0且4-2(q-1)+p=0，解得p=-2，q=2，则A={x|x2+3x+2=0}={-1,-2}则A∪B={-2,-1,1}．故答案为{-2,-1,1}．

14.【答案】-7

【解析】【分析】本题考查了利用基本不等式的性质求最值，属于基础题．

可先变形为1-x-16x=1-(x+【解答】解：∵x+16x≥2x·16x，(x>0)

即x+16x≥216，

得到x+16x≥8，

当且仅当x=16x，即x=4

15.【答案】{x|x<1a或【解析】【分析】本题主要考查不等式的性质，一元二次不等式的解法，属于基础题．

由a>1可得0<1【解答】解：∵a>1，

∴0<1a<1，

∵(x-a)(x-1a)>0，

∴x<1a

16.【答案】254【解析】【分析】本题考查对勾函数的单调性和运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．

由x≥6，可得x-2≥4，令t=x-2，t≥4，则g(t)=t+1t在【解答】解：由x≥6，可得x-2≥4，

f(x)=x+1x-2=(x-2)+1x-2+2，

令t=x-2，t≥4，则g(t)=t+1t在[4,+∞)递增，可得g(t)的最小值为g(4)=17

17.【答案】解：(1)集合A={1,3,4}，B={1,4,5,6}，

所以A∩B={1,3,4}∩{1,4,5,6}={1,4}，

A∪B={1,3,4}∪{1,4,5,6}={1,3,4,5,6}．

(2)因为U={1,2,3,4,5,6}，

所以∁UA={2,5,6}，

所以(【解析】(1)利用交集定义和并集定义直接求解．

(2)先求出∁UA，由此能求出(∁18.【答案】解：p：x12≤x≤1，q：xa≤x≤a+1．

(1)若a=12，则q：x12≤x≤32，

∵p，q都为真，

∴12≤x≤112≤x≤32,∴12≤x≤1,

∴实数x的取值范围为[12,1]；

(2)若p是q【解析】本题考查解一元二次不等式，以及充分不必要条件的概念，属于基础题．

(1)先解不等式，得到p：x12≤x≤1，q：xa≤x≤a+1.所以a=12时，q：x12≤x≤32，取交集即得实数x的取值范围；19.【答案】(1)证明：设1≤x1<x2，则：

f(x2)-f(x1)=x2+1x2-x1-1x1=(x2-x1)+x1-x2x1x2=(x2-x【解析】(1)设1≤x1<x2，然后利用函数单调性的定义即可证得函数为增函数；

(2)结合(1)中的结论首先求得f(x)的最大值，然后求解关于实数m20.【答案】解：(1)x2+y2+1-2(x+y-1)=x2-2x+1+y2-2y+2=(x-1)2+(y-1)2+1>0，

【解析】(1)(2)利用作差法比较不等式大小即可．

本题考查了不等式的性质，作差法比较不等式大小，属于基础题．

21.【答案】解：因为P是非空集合，

所以2a+1≥a+1，即a≥0．(1)当a=3时，P={x|4⩽x⩽7}，

∁RP={x|x<4或x>7}，所以(∁(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，即P⫋Q，即a+1≥-22a+1≤5a≥0且a+1≥-2和解得0≤a≤2，即实数a的取值范围为{a|0⩽a⩽2}．

【解析】本题主要考查充分不必要条件的应用，考查集合交集、补集．

先根据P是非空集合得到a⩾0；(1)先求得∁RP，然后求得(2)根据充分、必要条件的知识得到P⫋Q，由此列不等式组，解不等式组求得a的取值范围．

22.【答案】解：p：实数x满足x2-4ax+3a2<0，其中a>0，解得a<x<3a．

命题q：实数x满足x2-x-6≤0x2+2x-8>0.化为(x-3)(x+