定积分在几何学的应用课件

典型例题体积平面曲线的弧长第二节定积分在几何学上的应用第六章定积分的应用1典型例题体积平面曲线的弧长第二节定积分在几何学上圆柱圆锥圆台一、体积旋转体这直线叫做旋转轴．由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．1.旋转体的体积2圆柱圆锥圆台一、体积旋转体这直线叫做旋转轴．由一个平面图形旋转体的体积采用元素法如果旋转体是由连续曲线直线及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体,体积为多少?取积分变量为x,为底的小曲边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积元素(1)3旋转体的体积采用元素法如果旋转体是由连续曲线直线及x轴所如果旋转体是由连续曲线及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体,体积为多少?(2)直线体积元素旋转体的体积4如果旋转体是由连续曲线及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转解体积元素例取积分变量为x,oxy旋转体的体积：

5解体积元素例取积分变量为x,oxy旋转体的体积：5解两曲线的交点为绕y轴旋转ò-=104d)(yyyp例6解两曲线的交点为绕y轴旋转ò-=104d

例

连接坐标原点O及点P(h,

r)的直线、直线x

h及x轴围成一个直角三角形.将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体.计算这圆锥体的体积.

圆锥体的体积公式推导：

解

7例连接坐标原点O及点P(h,r)的直线解（1）则旋转椭球体的体积为椭球体的体积公式推导：

例

计算由椭圆所成的图形分别绕x,y轴旋转而成的旋转体的体积。

8解（1）则旋转椭球体的体积为椭球体的体积公式推导：此题也可利用椭圆的参数方程求解则特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积9此题也可利用椭圆的参数方程求解则特别当b=a时,就得解（2）

10解（2）10解例求摆线的一拱与y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积.绕x轴旋转的旋转体体积变量代换11解例求摆线的一拱与y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成绕y轴旋转的旋转体体积可看作平面图OABC与OBC分别绕y轴旋转构成的旋转体的体积之差.摆线令ò--=pp2023dsin)sin(tttta12绕y轴旋转的旋转体体积可看作平面图OABC与OBC分别绕2.平行截面面积为已知的立体的体积上垂直于一定轴的各个截面面积,立体体积如果一个立体不是旋转体,但却知道该立体的体积也可用定积分来计算.那么,这个立体表示过点x且垂直于x轴的截面面积,为x的已知连续函数.采用元素法体积元素132.平行截面面积为已知的立体的体积上垂直于一定轴的各个截面解取坐标系如图底圆方程例一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角计算这平面截圆柱体所得立体的体积.垂直于x轴的截面为直角三角形.底高截面面积立体体积ò=V14解取坐标系如图底圆方程例一平面经过半径为R的圆柱体的底圆作一下垂直于y轴的截面是截面长为宽为矩形截面面积可否选择y作积分变量?此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?思考15作一下垂直于y轴的截面是截面长为宽为矩形截面面积可否选择y解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积垂直于x轴的截面为等腰三角形例求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.16解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积垂直于x轴的截面为等二、平面曲线的弧长设A、B是曲线弧上在弧上插入分点并依次连接相邻分点得一内接折线,当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时,此折线的长的极限存在,则称此极限为曲线弧AB的弧长.1.平面曲线弧长的概念的两个端点,定理光滑曲线弧是可求长.17二、平面曲线的弧长设A、B是曲线弧上在弧上插入分点并依次连接弧长元素弧长2.直角坐标情形小切线段的长以对应小切线段的长代替小线段的长设曲线弧为其中有一阶连续导数.取积分变量为x,任取小区间}18弧长元素弧长2.直角坐标情形小切线段的长以对应小切线段的长

例

长度.

因此,所求弧长为

解

曲线y

f(x)(a

x

b)的弧长：

19例长度.因此,所求弧长为例.求连续曲线段解:的弧长.20例.求连续曲线段解:的弧长.20曲线弧为弧长3.参数方程情形其中具有连续导数.21曲线弧为弧长3.参数方程情形其中具有连续导数.21解星形线的参数方程为对称性第一象限部分的弧长例求星形线的全长.22解星形线的参数方程为对称性第一象限部分的弧长例求星形线的全长曲线x

(t)、y

(t)(

t

)的弧长：

例

求摆线x

a(q

sinq),

y

a(1

cosq)的一拱(0

2

)的长度.

解

于是所求弧长为弧长元素为23曲线x(t)、y(t)(t)的弧长：曲线弧为弧长4.极坐标情形其中具有连续导数.24曲线弧为弧长4.极坐标情形其中具有连续导数.24解25解25

例

求阿基米德螺线

a

(a>0)相应于

从0到2

一段的弧长.

解

于是所求弧长为弧长元素为曲线

(

)(

)的弧长：26例求阿基米德螺线a(a>0)相应例解27例解27三、典型例题选解28三、典型例题选解28解由对称性,有由对称性,有29解由对称性,有由对称性,有29由对称性,有30由对称性,有30例解圆环的面积31例解圆环的面积313232例.

求抛物线在(0,1)内的一条切线,使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解:设抛物线上切点为则该点处的切线方程为它与x,y轴的交点分别为所指面积33例.求抛物线在(0,1)内的一条切线,使它与两坐标轴和且为最小点.故所求切线为得[0,1]上的唯一驻点34且为最小点.故所求切线为得[0,1]上的唯一驻点3例.

设非负函数曲线与直线及坐标轴所围图形(1)求函数(2)

a为何值时,所围图形绕x轴一周所得旋转体解:(1)由方程得面积为2,体积最小?即故得35例.设非负函数曲线与直线及坐标轴所围图形(1)求函数又(2)旋转体体积又为唯一极小点,因此时V取最小值.36又(2)旋转体体积又为唯一极小点,因此时V取最小值.思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积A及边界长s.提示:交点为弧线段部分直线段部分以x为积分变量,则要分两段积分,故以y为积分变量.37思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积A及边界长2.试用定积分求圆绕x轴上半圆为下求体积:提示:方法利用对称性旋转而成的环体体积V及表面积S.382.试用定积分求圆绕x轴上半圆为下求体积:提示:方法3.求曲线图形的公共部分的面积.解：