中南大学自动控制理论第三章 控制系统的时域分析法33

3.3二阶系统的时域分析10/6/20231一、二阶系统的数学模型以下图所示为稳定的二阶系统的典型结构图。开环传递函数为:闭环传递函数为:-这是最常见的一种系统，很多高阶系统也可简化为二阶系统。称为典型二阶系统的传递函数，称为阻尼系数，称为无阻尼振荡圆频率或自然频率。10/6/20232特征根为：，注意：当不同时，〔极点〕有不同的形式，其阶跃响应的形式也不同。二、二阶系统的单位跃响应〔有振荡和非振荡两种情况〕特征方程为：⒈当时，特征方程有一对共轭的虚根，称为零(无)阻尼系统，系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。⒉当时，特征方程有一对实部为负的共轭复根，称为欠阻尼系统，系统的阶跃响应为衰减的振荡过程。⒊当时，特征方程有一对相等的实根，称为临界阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。⒋当时，特征方程有一对不等的实根，称为过阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。10/6/20233当输入为单位阶跃函数时，，有：[分析]：当时，极点为：此时输出将以频率做等幅振荡，所以，称为无阻尼振荡圆频率。10/6/20234两阶系统的瞬态响应阶跃响应为：当时，极点为：极点的负实部决定了指数衰减的快慢，虚部是振荡频率。称为阻尼振荡圆频率。10/6/20235两阶系统的瞬态响应阶跃响应函数为：当时，极点为：10/6/20236两阶系统的瞬态响应当时，极点为：即特征方程为特征方程还可为10/6/20237两阶系统的瞬态响应因此过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同的惯性环节的串联，其单位阶跃响应为于是闭环传函为：这里，式中10/6/20238

上述四种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统。其阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应如下表所示：单位阶跃响应极点位置特征根阻尼系数单调上升两个互异负实根单调上升一对负实重根

衰减振荡一对共轭复根(左半平面）

等幅周期振荡一对共轭虚根

典型两阶系统的瞬态响应10/6/20239典型两阶系统的瞬态响应可以看出：随着的增加，c(t)将从无衰减的周期运动变为有衰减的正弦运动，当时c(t)呈现单调上升运动(无振荡)。可见反映实际系统的阻尼情况，故称为阻尼系数。10/6/202310三、动态过程分析〔一〕欠阻尼二阶系统动态分析：⒈上升时间：根据定义，当时，。解得：10/6/202311称为阻尼角，这是由于。2、延迟时间10/6/2023123.峰值时间：当时，整理得：由于出现在第一次峰值时间，取n=1，有：其中10/6/20231310/6/2023144.最大超调量：故：将峰值时间代入10/6/20231510/6/2023165.调节时间：可见，写出调节时间的表达式是困难的。由右图可知响应曲线总在一对包络线之内。包络线为根据调节时间的定义，当t≥ts时|c(t)-c(∞)|≤c(∞)×Δ%。10/6/202317当t=t’s时，有：由于实际响应曲线的收敛速度比包络线的收敛速度要快因此可用包络线代替实际响应来估算调节时间。即认为响应曲线的包络线进入误差带时，调整过程结束。10/6/202318当较小时，近似取：，且所以10/6/202319衰减振荡瞬态过程的性能指标10/6/202320衰减振荡瞬态过程的性能指标10/6/202321衰减振荡瞬态过程的性能指标由分析知，在之间，调节时间和超调量都较小。工程上常取作为设计依据，称为最佳阻尼常数。10/6/202322非振荡瞬态过程的性能指标(二〕过阻尼二阶系统动态分析1、延迟时间2、上升时间3、调节时间10/6/202323非振荡瞬态过程的性能指标10/6/202324非振荡瞬态过程的性能指标当时，系统也具有单调非振荡的瞬间过程，是单调非振荡的临界状态。在非振荡过程中，它的最小。通常，都希望控制系统有较快的响应时间，即希望希统的阻尼系数在0~1之间。而不希望处于过阻尼情况，因为调节时间过长。但对于一些特殊的系统不希望出现超调系统（如液位控制）和大惯性系统（如加热装置），则可以处于情况。当时，极点远离虚轴，且c(t)中包含极点s2的衰减项的系数小，所以由极点s2引起的指数项衰减的很快，因此，在瞬态过程中可以忽略s2的影响，把二阶系统近似为一阶系统。10/6/202325小结当wn一定，要减小tr和tp，必须减少z值，要减少ts那么应增大zwn值，而且z值有一定范围，不能过大增大wn，能使tr，tp和ts都减少最大超调量sp只由z决定，z越小，sp越大。10/6/202326阻尼系数是二阶系统的一个重要参数，用它可以间接地判断一个二阶系统的瞬态品质。在的情况下瞬态特性为单调变化曲线，无超调和振荡，但长。当时，输出量作等幅振荡或发散振荡，系统不能稳定工作。[总结]在欠阻尼情况下工作时，若过小，则超调量大，振荡次数多，调节时间长，瞬态控制品质差。注意到只与有关，所以一般根据来选择。越大，（当一定时）为了限制超调量，并使较小，一般取0.4~0.8，则超调量在25%~1.5%之间。10/6/202327阻尼系数、阻尼角与最大超调量的关系zb=cos-1zd%zb=cos-1zd%0.184.26°72.90.6950.278.46°52.70.745.57°4.60.372.54°37.230.70745°4.30.466.42°25.380.7820.560°16.30.836.87°1.50.653.13°9.840.925.84°0.1510/6/202328瞬态过程的性能指标例子[例]：求系统的特征参数并分析与性能指标的关系：[解]：闭环传递函数为：时，。快速性好，振荡加剧；时，下面分析瞬态性能指标和系统参数之间的关系：（假设）10/6/202329四、二阶系统的单位斜坡响应

输入信号为单位斜坡函数时，系统输出为：10/6/20233010/6/20233110/6/202332

〔2〕临界阻尼单位斜坡响应10/6/202333

〔3〕过阻尼单位斜坡响应10/6/202334改善二阶系统响应特性的措施五、改善二阶系统响应特性的措施二阶系统超调产生过程[0,t1]误差信号为正，产生正向修正作用，以使误差减小，但因系统阻尼系数小，正向速度大，造成响应出现正向超调。[t1,t2]误差信号为负，产生反向修正作用，但开始反向修正作用不够大，经过一段时间才使正向速度为零，此时输出到达最大值。[t2,t3]误差信号为负，此时反向修正作用，大，使输出返回过程中又穿过稳态值，出现反向超调。[t3,t4]误差信号为正，产生正向修正作用，但开始正向修正作用不够大，经过一段时间才使反向速度为零，此时输出到达反向最大值。10/6/202335改善二阶系统响应特性的措施二阶系统超调产生原因[0,t1]正向修正作用太大，特别在靠近t1点时。[t1,t2]反向修正作用缺乏。减小二阶系统超调的思路[0,t1]减小正向修正作用。附加与原误差信号相反的信号。[t1,t2]加大反向修正作用。附加与原误差信号同向的信号。[t2,t3]减小反向修正作用。附加与原误差信号相反的信号。[t3,t4]加大正向修正作用。附加与原误差信号同向的信号。即在[0,t2]内附加一个负信号，在[t2,t4]内附加一个正信号。减去输出的微分或加上误差的微分都具有这种效果。10/6/202336改善二阶系统响应特性的措施a.输出量的速度反响控制--+-b.误差的比例+微分控制将输出量的速度信号c’(t)采用负反响形式反响到输入端并与误差信号e(t)比较，构成一个内反响回路。简称速度反响。以误差信号e(t)与误差信号的微分信号e’(t)的和产生控制作用。简称PI控制。又称微分顺馈为了改善系统性能而改变系统的结构、参数或附加具有一定功能的环节的方法称为对系统进行校正。附加环节称为校正环节。速度反响和速度顺馈是较常用的校正方法。10/6/202337改善二阶系统响应特性的措施a.输出量的速度反响控制---与典型二阶系统的标准形式比较⒈不改变无阻尼振荡频率⒉等效阻尼系数为由于，即等效阻尼系数加大，将使超调量δ%和调节时间ts变小。10/6/202338改善二阶系统响应特性的措施+-b.误差的比例+微分控制-与典型二阶系统的标准形式比较⒈不改变无阻尼振荡频率⒉等效阻尼系数为由于，即等效阻尼系数加大，将使超调量δ%和调节时间ts变小。⒊闭环传递函数有零点，将会给系统带来影响。10/6/202339改善二阶系统响应特性的措施c.比例+微分控制与速度反响控制的关系--比例+微分控制相当于分别对输入信号和反响信号进行比例+微分。其中对反响信号进行比例+微分相当于速度反响。所以误差的比例+微分控制相当于输出的速度反响构成的闭环系统再串联比例+微分环节。因此可以将其分别讨论。-10/6/202340具有零点的二阶系统零极点分布图四、具有零点的二阶系统分析具有零点的二阶系统比典型的二阶系统多一个零点，(和不变)。其闭环传递函数为：，零点为：具有零点的二阶系统的单位阶跃响应为：10/6/202341由上图可看出：使得比响应迅速且有较大超调量。具有零点的二阶系统分析10/6/202342设为零点和极点实部之比具有零点的二阶系统分析10/6/202343具有零点的二阶系统分析具有零点的二阶系统阶跃响应为：式中：，零极点分布图10/6/202344具有零点的二阶系统分析根据上式可以得出主要性能指标如下：式中：，，10/6/202345具有零点的二阶系统分析具有零点的二阶系统阶跃响应为：10/6/202346比例+微分控制的性能+-比例+微分控制的性能显然，这是一个典型二阶环节加微分顺馈。不同的是其原二阶环节的阻尼系数增加了，变为，而无阻尼振荡频率不变。我们知道，当阻尼系数不变时，附加零点会使系统的超调量增大。但是，增加了顺馈环节虽然增加了一个零点，却使系统的阻尼系数增加了。一般来讲，超调量会下降。这样，就能改善系统的瞬态性能。10/6/202347具有零点的二阶系统分析10/6/202348我们可以不证明地给出c(t)的紧凑形式：20根据上式可以得出主要性能指标如下：①②③具有零点的二阶系统分析10/6/202349瞬态过程的性能指标例3-1[解]：①③当T不变时，T=0.25，②[例3-1]：如图所示系统，试求：①和;②和③若要求时，当T不变时K=?10/6/202350瞬态过程的性能指标例3-2[解]：系统的闭环传递函数为：[例3-2]：上例中，用速度反馈改善系统的性能。如下图所示。为使，求的值。并计算加入速度反馈后的瞬态指标。--1610/6/202351这时的瞬态性能指标为：瞬态过程的性能指标例3-2显然，加入了速度反馈后，不变，而增加了倍。上例中，若要求