排列组合加乘、排列、组合、捆绑、插空、隔板

计数专题学习目标1.正确理解“标数〞法计算路径数目；2.正确理解“加法原理〞、“乘法原理〞的意义和运用场景；2.正确理解“排列〞、“组合〞的意义、区别和计算公式；3.正确掌握“优选法〞“捆绑法〞、“插空法〞、“隔板法〞这些排列组合解题技巧，理解各种排列组合解题技巧的原理，所解决的问题类型及其解题方法；一.标数法例题：在左以下图中，从A点沿实线走最短路径到B点，共有多少条不同路线？分析与解：题目要求从左下向右上走，所以走到任一点，例如右上图中的D点，不是经过左边的E点，就是经过下边的F点。如果到E点有a种走法〔此处a＝6〕，到F点有b种走法〔此处b＝4〕，根据加法原理，到D点就有〔a＋b〕种走法〔此处为6＋4=10〕。我们可以从左下角A点开场，按加法原理，依次向上、向右填上到各点的走法数〔见右上图〕，最后得到共有35条不同路线。二.加乘原理加法原理：分情况、分类计数；乘法原理：分步骤完成，各步骤单独计数，再连乘；加乘混合：加法、乘法混合使用；〔1〕一个步骤有多种情况时，在计算本步骤时用加法，再总体用乘法计算出所有情况；〔2〕总体分几种情况，分别计算各种情况时分步骤用乘法，再将各种情况汇总用加法加法原理与乘法原理的区别：乘法原理和加法原理是两个重要而常用的计数法则，在应用时一定要注意它们的区别。乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积；加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务〔一步完成任务〕，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和。ABC例题：由A村去B村有2条路可走，由B村去C村有4条路可走，问从A村经B村去ABC三.排列组合排列：有顺序要求〔交换顺序，就产生新的计数〕乘法原理；A52=5×4从个不同的元素中取出()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．〔1〕两个排列一样，指的是两个排列的元素完全一样，并且元素的排列顺序也一样．〔2〕如果两个排列中，元素不完全一样，它们是不同的排列；〔3〕如果两个排列中，虽然元素完全一样，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．计算：乘法原理：从个不同元素中取出个元素的排列数是，即，这里，，且等号右边从开场，共有个因数相乘。组合：无顺序要求〔交换顺序，不产生新的计数〕除法原理；C52=〔5×4〕÷〔2×1〕从个不同元素中取出个()元素组成一组不计较组各元素的次序，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．〔1〕从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．〔2〕如果两个组合中，元素不完全一样，它们是不同的组合；〔3〕如果两个组合中的元素完全一样，则不管元素的顺序如何，都是一样的组合．计算：除法原理：从个不同元素中取出个元素()的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数．记作。一般地，求从个不同元素中取出的个元素的排列数可分成以下两步：第一步：从个不同元素中取出个元素组成一组，共有种方法；第二步：将每一个组合中的个元素进展全排列，共有种排法．根据乘法原理，得到．因此，组合数．〔运用除法，将元素完全一样，元素顺序不同的多种排列合并成一种组合〕．小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在以下条件下有多少种站法？〔1〕七个人排成一排；〔2〕七个人排成一排，小新必须站在中间.〔3〕七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间.〔4〕七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边.〔5〕七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.〔6〕七个人战成两排，前排三人，后排四人.〔7〕七个人战成两排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排。〔1〕〔种〕。〔2〕只需排其余6个人站剩下的6个位置．〔种〕.〔3〕先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2×=1440(种)．〔4〕先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．(种)．〔5〕先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，〔种〕.〔6〕七个人排成一排时，7个位置就是各不一样的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不一样的，所以此题实质就是7个元素的全排列．〔种〕.〔7〕可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后〞和“小新在前，阿呆在后〞，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可．4×3××2=2880(种)．排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列。现有男同学3人，女同学4人(女同学中有一人叫王红)，从中选出男女同学各2人，分别参加数学、英语、音乐、美术四个兴趣小组：(1)共有多少种选法"(2)其中参加美术小组的是女同学的选法有多少种"(3)参加数学小组的不是女同学王红的选法有多少种"(4)参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有多少种"〔1〕从3个男同学中选出2人，有=3种选法。从4个女同学中选出2人，有=6种选法。在四个人确定的情况下，参加四个不同的小组有4×3×2×1=24种选法。3×6×24=432，共有432种选法。〔2〕在四个人确定的情况下，参加美术小组的是女同学时有2×3×2×1=12种选法。3×6×12=216，所以其中参加美术小组的是女同学的选法有216种。〔3〕考虑参加数学小组的是王红时的选法，此时的问题相当于从3个男同学中选出2人，从3个女同学中选出1人，3个人参加3个小组时的选法。3×3×3×2×1=54，所以参加数学小组的是王红时的选法有54种，432-54=378，所以参加数学小组的不是女同学王红的选法有378种。〔4〕考虑参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法，此时的问题相当于从3个男同学中选出2人参加两个不同的小组，从3个女同学中选出1人参加美术小组时的选法。3×2×3=18，所以参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法有18种，216-18=198，所以参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有198种。四.优选法优选法：对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排确定。在操作时，针对实际问题，有时“元素优先〞，有时“位置优先〞。注意：看特殊，分步、分类，限制完，自由排，注意“0〞。难点：不管是位置优先还是元素优先，都要看清是分类还是分步来解决问题；注意“0〞，题目中往往对于“0〞有暗含的限制条件。例题.由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有多少个？解析一：利用位置优先方法。偶数则要求个位为偶数，小于50000则首位要小于5。:第一步，首先看个位，从2个偶数中选择有C12种选法；第二步，看首位，从个数上已选数字和5之外的数字选，则有C13种选法；第三步，对于剩下的三个位置没有限制，则可以随意选择剩下的三个数字排上去，则有A33种选法。根据乘法计数原则，共有：C12×C13×A33=36。解析二：利用元素优先方法。第一步，从数字2、4中选一个放在个位上，有C12种选法；第二步，从个数上已选数字和5之外的数字选一个放在首位上，则有C13种选法；第三步，对于剩下的三个数字没有限制，则可以随意安排到剩下的三个数位上去，则有A33种选法。根据乘法计数原则，共有：C12×C13×A44=36。五.〞捆绑法〞捆绑法：用于解决"相邻问题"，即在解决对于*几个元素要求相邻的问题时，先将其"捆绑"后整体考虑，也就是将相邻元素视作"一个"大元素进展排序，然后再考虑大元素部各元素间排列顺序的解题策略。注意：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意"捆绑"起来的大元素部的顺序问题。解题过程是"先捆绑，再排列"。例题：假设有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人"捆绑"，视其为"一个人"，也即对"A，B"、C、D、E"四个人"进展排列，有种排法。又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序，有种排法。根据分步乘法原理，总的排法有种。六.“插空法〞插空法：用于解决"不邻问题"，即在解决对于*几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。注意：运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素"中间空位"和"两端空位"。解题过程是"先排列，再插空"。例题：假设有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开。首先将C、D、E三个人排列，有种排法；假设排成DCE，则D、C、E"中间"和"两端"共有四个空位置，也即是：︺D︺C︺E︺，此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有种插法。由乘法原理，共有排队方法：。七.“隔板法〞〔插板法〕隔板法：有n个一样的元素，要求分到m组中，并且要求每组中至少有一个元素问有多少种分法？根本思路：将n个一样的元素排成一行，n个元素之间出现了〔n-1〕个空档，现在我们用〔m-1〕个“档板〞插入〔n-1〕个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素〔可能是1个、2个、3个、4个、….〕，这样不同的插入方法就对应着n个一样的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板〞分配元素的方法称之为插板法。【基此题型】【例1】共有10完全一样的球分到7个班里，要求每个班至少要分到一个球，问有几种不同分法？解析一：我们首先用常规方法。假设想将10个球分到7个班里，球的分法共三类：第一类：有3个班每个班分到2个球，其余4个班每班分到1个球。这样，第一步，我们从7个班中选出3个班，每个班分2个球；第二步，从剩下的4个班中选4个班，每班分1球。其分法种数为：C〔7，3〕*C〔4，4〕=35注明：由于排版的关系，我用C〔n，m〕和A〔n，m〕代替原来的组合与排列公式。第二类：有1个班分到3个球，1个班分到2个球，其余5个班每班分到1个球。其分法种数：C〔7，1〕*C〔6，1〕*C〔5，5〕=42第三类：有1个班分到4个球，其余的6个班每班分到1个球。其分法种数：C〔7，1〕*C〔6，6〕=7所以，10个球分给7个班，每班至少一个球的分法种数为：35+42+7=87〔种〕。解析二：从上面的解题过程可以看出，用常规方法解这类题，需要分类计算，计算过程繁琐。并且如果元素个数较多的话处理起来就变得十分的困难了。因此我们需要寻求一种新的方法解决问题，也就是——插板法。我们可以将10个一样的球排成一行，10个球之间出现了9个空隙，现在我们用6个档板〞插入这9个空隙中，就“把10个球隔成有序的7份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球〔可能是1个、2个、3个、4个〕，这样，借助于虚拟“档板〞就可以把10个球分到了7个班中。由上述分析可知，原问题就可以转化成：在9个空档之中插入6个“档板〞〔6个档板可把球分为7组〕的问题，这是一个很简单的组合问题，其方法种数为：C〔9，6〕=84【总结】：对于这种要求每组元素至少要分到一个的情况，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有C〔n-1，m-1〕种不同方法。【注意】：这种插板法解决一样元素分到不同组的问题非常简单，但同时也提醒各位考友，这类问题模型适用前提相当严格，必须同时满足以下3个条件：〔1〕所有要分的元素须完全一样；〔2〕所要分的元素必须分完，决不允许有剩余；〔3〕参与分元素的每组至少分到1个，决不允许出现分不到元素的组。这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。【基此题型的变形〔一〕】题型：有n个一样的元素，要求分到m组中，问有多少种不同的分法？解题思路：这种问题是允许有些组中分到的元素为“0〞，也就是组中可以为空的。对于这样的题，我们就首先将每组都填上1个，这样所要元素总数就m个，问题也就是转变成将〔n+m〕个元素分到m组，并且每组至少分到一个的问题，也就可以用插板法来解决。【例2】有8个一样的球放到三个不同的盒子里，共有〔〕种不同方法.解析：这道题很多同学错选C，错误的原因是直接套用“插板法〞，而忽略了题中并没有说每个盒子至少要分到一个球，也就是可以出现空盒子。原题并不符合“插板法〞的条件不过，此题只要我们多一个小变化，就可以将其转化为用“插板法〞解题的类型了。我们可以人为地在每个盒子增加一个球，原有8个一样的球放到三个不同的盒子里这样这个问题就变成了，11个一样的球放到3个不同盒子里面。要求每个盒子里最少有一个的问题了。这样，此题就有C〔10，2〕=45〔种〕分法了，选项D为正确答案。总结：对于这种要求每组元素至少要分到一个的情况，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有C〔n+m-1，m-1〕种不同方法。【基此题型的变形〔二〕】题型：有n个一样的元素，要求分到m组，要求各组中分到的元素至少*个确定值s〔s＞1，且每组的s值可以不同〕，问有多少种不同的分法？解题思路：这种问题是要求组中分到的元素不能少*个确定值s，各组分到的不是至少为一个了。对于这样的题，我们就首先将各组都填满，即各组就填上对应确实定值s则多个，这样就满足了题目中要求的最起码的条件，之后我们