2021年专升本资料8线性代数改

四川省普通高等学校“专升本”选拔1=《高等数学》考试大纲（理工类）总体规定考生应理解或理解《高等数学》中函数、极限、持续、一元函数微分学、一元函数积分分学、向量代数与空间解析儿何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程以及《线性代数》行列式、矩阵、向量、方程组基本概念与基本理论；掌握上述各某些基本办法。应注意各某些知识构造及知识内在联系；应具备一定抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本办法对的地推理证明，精确、简捷地计算；能综合运用所学知识分析并解决简朴实际问题。本大纲对内容规定山低到高，对概念和理论分为“理解”和“理解”两个层次；对办法和运算分为“会”、“掌握”、“纯熟掌握”三人层次。考试用时：120分钟考试范畴及规定一函数、极限和持续二一元函数微分学三一元函数积分学四向量代数与空间解析几何五多元函数微积分学六无穷级数七微分方程八线性代数（一）行列式1.理解行列式概念，掌握行列式性质。（1）行列式概念①二阶行列式:=a\\a22^a\2a2\②三阶行列式:Cl①二阶行列式:=a\\a22^a\2a2\②三阶行列式:Cl\\a\lCt\3“31 (t23 a33你«12③“阶行列式：D”=%a~2an\%"阶行列式值特点：（1）一共是有门!项代数和；（2）每一项都是〃个元素乘积，它们来自于不同行、不同列。（3）这川项中有一半是正项，另一半是负项。（2）行列式性质变换性质转置变换：Dt=D7/为D转置行列式。互换变换：D,=-D,0为D互换两行（列）后所得。rq匚,qo勺倍乘变换：D严k・D,卩为D某行（列）元素都乘后来R所得。kr「kc.倍乘变换：D严D,。为D某行（列）乘以£加到此外行（列）后所得。零值性质如果行列式某行（列）元素全为零，则此行列式值为零.如果行列式某两行（列）元素相似，则此行列式值为零.如果行列式某两行（列）相应元素成比例，则此行列式值为零.会用行列式性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。（1）行列式余子式和代数余子式余子式必口：划去s所在第"亍和第丿•列所有元素后剩余元素构成〃-1阶行列式。代数余子式：A.=（-iy+>A/,..

（2）阶行列式按行（列）展开Dn=勺/门+542+…+5盅=工險（-1）»叽或〜】 斤・1Dn=5/心+"2/“+・・+勺/心=2＞約兀=工"（-1）5”川"1（3）行列式计算办法先运用行列式性质使行列式某一行（列）元素尽量多化为零，再按该行（列）展开。②可将行列式化为特殊行列式后计算.特别是化为三角形行列式。②可将行列式化为特殊行列式后计算.特别是化为三角形行列式。例1 计算下列行列式2-5122310abbb-37-14;②4-2-1-1:③babb5-927-2121bhab4-6120110bbba①（二）矩阵1-理解矩阵概念,理解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、1-理解矩阵概念,理解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们性质。叫矩阵;（1）叫矩阵;由mxn个数呦Q=12…,加;/=12…并）排成加行"列数表ntn/记为仏,或A=（讥“当〃y时，矩阵A称为川阶方阵•记作生.当〃7=1时，矩阵A称为行矩阵（或行向量）•记为4=（呦）呦二（仆勺，…"）•/、当八=1时，矩阵A称为列矩阵（或列向量）.记为A二5或A=（aiJ）/nxl.（2）特殊矩阵零矩阵：矩阵元素都为0时。单位矩阵：主对角线都为1对角矩阵。记为©或E.对角矩阵(或对角阵)：在"阶方阵中，主对角线以外元素都为零矩阵。上三角矩阵：在〃阶方阵中，主对角线如下元素都为零。下三角矩阵：在"阶方阵中，主对角线以上元素都为零。对称矩阵：或at=a反对称矩阵：gj=7ji或At=-A掌握矩阵线性运算、乘法、转置、方阵乘积行列式及它们运算规律。矩阵线性运算设4=(知)恥“，B=(bjj)mxn矩阵和：A+B=矩阵差：A-B=g-b片"数乘矩阵：kA=(现)mxn矩阵乘法定义设人=(5)血，8=(如)叶，令C=(c/,”“是由下面加“个元素//\b'jby.5广(。门，©2,…，％)?门切+卩2如+…+构成加行“列矩阵。称矩阵C=(c几x”为矩阵A与矩阵3乘积。记为：C=AB运算律结合律：(AB)C=A(BC)分派律：(A+B)C=AC+BC, +C)=AC+ABC0一1律：AE„=E„A=A,AOn=O„A=O不具备互换律：ABH84，两非0矩阵乘积也许是0矩阵。即AB=0不能推出：4=0或3=0。矩阵乘方设A为“阶方阵，称矩阵A自乘加次称为矩阵A加次方。A{)=E,A1=A,A2=AAAm=AA-A5个A)屮=A阳， (屮)'=A灯，矩阵转置定义：把A行、列互换所得得矩阵叫做矩阵A转置矩阵。记为屮\转置矩阵性质：(Ar)r=A04+叩=屮+刃(M)r=kA!'(初)—刃屮方阵行列式定义：Ilin阶方阵A元素按本来顺序构成行列式称为方阵A行列式。记为IAI或det⑷。矩阵行式性质①IAf1=1AI；②IRAWIAI；③IABITBAITro-r10、例1已知：A=210»B=31；求A3。<32-1；1°2,理解逆矩阵概念，掌握矩阵可逆充分必要条件，理解随着矩阵概念，会用伴随着矩阵求矩阵逆矩阵。(1)逆矩阵定义设A是”阶方阵，如果存在一种"阶方阵3,使得AB=BA=E；则称矩阵A是可逆，称矩

阵3是矩阵A逆矩阵。A逆矩阵记为A'1,即B=A~\逆矩阵性质方阵A可逆nA逆矩阵是唯一。且AAT1=A~lA=E.A可逆二＞人7也可逆。且(A“)T=A.A可逆，数2^0=＞凡4可逆.且(/U)-1=丄A4可逆二＞A7■也可逆，且(A7)-1=(^-*)7'.A可逆，则有IA"1=1AP1.A、3为同阶方阵且均可逆=＞A3可逆.且炉(儿生…九尸=心…可A]矩阵可逆性质鉴别A可逆OIAIH0・求矩阵逆矩阵公式随着矩阵：/!阶方阵A行列式IAI各个元素代数余子式每构成矩阵企1•…A}"=4]2°22…A2n、4“•…4刖＞称为矩阵A随着矩阵.求矩阵逆矩阵公式(/f为(/f为A随着矩阵)・若矩阵4可逆，则A"=—IAI523、例1判断人=321与否可逆，如果可逆，求逆矩阵.〔101丿掌握矩阵初等变换，理解矩阵秩概念，掌握用初等变换求矩阵秩和逆矩阵办法。(1)矩阵初等变换定义：矩阵下列三种变换称为矩阵初等行（列）变换。①对换变换：互换矩阵i、j两行（列）。倍乘变换：把i行（列）各元素都乘以非零k常数。倍加变换：把j行（列）若干倍，加到i行（列）上。矩阵A通过有限次初等行变换转化为矩阵则称矩阵A与矩阵3等价，记为A〜B.（2）矩阵秩①矩阵斤阶子式在一种mx“矩阵A中任意取k行和k列，位于这些行与列相交位置上元素所构成一种k阶行列式称为矩阵Ak阶子式。矩阵A”旳k阶子式共有C：•C；个。矩阵秩定义在mxn矩阵A中，一切非零子式最高阶数r称为矩阵A秩。也就是说，若矩阵A中至少有一种r阶子式不等于零，而所有r+1阶子式（如果有话）都等于零，则称矩阵A秩为r,记为R（A）=r.注意：R（A）<min（/n,n）<> 零矩阵秩为零；非零矩阵秩一定不为零。（3）矩阵秩求法①阶梯形矩阵及其秩矩阵A若满足：（1）零行（元素全为0行）在矩阵最下方；（2）各非零行第1个非零元素列标随着行标递增而严格增大。满足这样条件矩阵称为阶梯形矩阵，阶梯形矩阵秩为：非全零行行数。‘2-10 3-2、如矩阵II：一71有三个非全零行’则它秩为3。0004一3,00000;②矩阵初等变换不变化矩阵秩办法：先用初等变换将矩阵变为与它等价阶梯形矩阵，再观测非全零行行数，其行数即为矩阵秩。(3)逆矩阵求法:(A,E„)t(E”,A'1)将矩阵（A,瓦）通过一系列初等变换，将前面某些变成为单位矩阵后，其背面部份就变成了A逆矩阵。‘1 -1 3、例：求矩阵2-14逆矩阵。<-1 2 -4,（三）向量理解n维向量概念，向量线性组合与线性表达。（1）n维向量定义“个数仆“2,…，勺构成有序数组（5，心，…，心）称为"维向量。数©称为"维向量第i个分量。向量中个数称为向量维数。向量普通用小写黑体希腊字母0,0』，…表达。行向量：把向量写成一行；可当作一行n列矩阵。列向量：把向量写成一列：可当作n行一列矩阵。（2） n维向量运算两向量相等：两向量各分量相应相等。向量加法：两向量各分量相应相加。向量减法：两向量各分量相应相减。数乘向量：将数Q乘以向量各分量。例设0=（2,1,3）,0=（—2,3,6）,卩=（2,-1,4）,求向量2a+30_y°（3） n维向量线性组合给定向量组A:- 对于任何一组实数心,则称为向量组一种线性组合。实数力S…&”称为组合系数。（4）向量线性表达一种向量由向量组线性表达给定向量组al,a2>-,al„,如果存在一组数册，xv--,xm使0=耐？+x2a2+--x,„aWI则称P是向量组④,6?2，…'am一种线性组合。也称向是0可山向量组Q],&2，…'a,n线性表达。召，勺，…％称为表出系数（组合系数）"维原则单位向量组：£=（0,…，0,1,0,…，0）,（/=1,2,■■,»）任何一种向量"维向量0=（⑷，心，…，〜）都可以唯一地山原则单位向量组线性表达。②线性组合矩阵方式表达卩=X\（X\+x2a2+--xmam=（勺，勺，…,乞”）（“，勺，=AX,其中A=（e，a2,…,％），X=（坷宀,…宀）丁表达系数求法求表出系数"，勺，…，心就是求解线性方程组：AX=p.若线性方程组AX=/3有唯一解，则表达法是唯一。若线性方程组AX=/3有无穷各种解，则表达法不是唯一。若线性方程组AX=p无解，则0不能山向量组內©2,…，如线性表达。例问0=（-1,1,5）「能否表达到=（1,2,3/,勺=（°，1，4）「，勺二门”门卩线性组厶no理解向量组线性有关或线性无关定义，掌握鉴别向量组线性有关办法。（1）向量组线性有关性概念①向量组线性有关、线性无关定义:给定向量组…，如果存在不全为零数匕，眼，…,J使k}ax+k2a2+-+kma,n=0则称向量组3，勺，…％是线性有关，«，£，…，匕称为有关系数。否则称它线性无关。②向量组线性有关性鉴别结论1：具有零向量向量组一定线性有关。结论2：单个非零向量一定线性无关。结论3：两个非零向量线线有关O两向量分量相应成比例。结论4：?心2,…心,”线性有关O至少存在某个向量④能山别的向量线性表出。结论5： 线性无关O任意一种向量都不能山别的向量线性表出。结论6：Q],&2,…，如线性无关，添加一种向量后es，…，如，0线性有关=>0—定可山向量组少,冬，线性表出，且表达法唯一。结论7：勺，冬，…,线性有关二>添加向量后向量组也一定线性有关。简说：部份有关则整体有关。结论7：设有两个向量组，它们前”个分量相应相似匕=（®，®2,…，©“），P.=（你“2,…，勺”，勺”1，…S”+p），（心1,2,…，血）a】s，…，如线性无关=A,02,…，0皿线性无关01,02‘…‘0川线性冇关=>alya2,--,alll线性有关简说：无关组接长后仍无关。有关组截短后仍有关。（2）向量组线性有关鉴别办法。设向量印心2,…d”组，如何鉴别其线性有关性呢？%=（術，坷2,…,也）, （,=1,2,…，〃?），令A=（a],Q2,…,a“J，X=（册,花,…，兀，es，…，％线性有关O存在不全为零热，匕，…，红使如+匕勺+…+和％=0⑷內+%£+…+仏心=0o加个变元齐次方程组曲："沁[二3”二°有非零解。4內+~2兀2+…+%””兀”=°oAX=0与否有非零解。<=>R(A)<in例1鉴别向量组0=(1,1,1),他=(1，I，。)，«3=(1,0,0)线性有关性。例2鉴别向量组0=(1,2,3),a2=(-l,l,4),@=(3,3,2),久=(4,5,5)线性有关性。结论1："个"维向量组al,a2,--,all线性无关O同=|(as，…心)|=0结论2：、"|向量组中向量个数加不不大于其维数”时=>向量组qs，…,如一定线性有关。理解关于向量组极大线性无关组和向量组秩概念，会求向量组极大无关组和秩。向量组极大线性无关组定义设向量组T山若干个“维向量构成，若存在厂一种某些向量组少，勺，…，8满足以：(1)«],a2,-••,£Zr线性无关；(2)对于任意向量0wT,向量组…，线性有关。则称冬，勺，…，匕是向量组厂一种极大无关组。向量组极大无关组性质：一种向量组任意两个极大无关组所具有向量个数相似。向量组秩定义向量组了任意一种极大无关组中所含向量个数叫做T秩，记为：R(T)向量组秩性质、结论若向量S可以由向量组T线性表出,则R(S)<R(T)。(3)向量组秩、极大无关组求法向量组秩求法设向量组01,02，…，0”「是加个"维列向量，现构成一种nxm矩阵A=（01,02，…，0m），则有R（0],02，…，0,”）=R（A）设向量组勺，勺是加个“维行向量，现构成一种"X〃7矩阵B=（a/,勺丁，…，aj）,则有/?（a1r^J,--,a//）=/?（B）把求向量组秩问题转化为求矩阵秩问题。向量组极大无关组求法第一步：将向量组构成一种矩阵设S=&,a2，…，a,n}为n维列向量组，现构成口xin矩阵A=（a,,a?，…，如）第二步：用初等行变换将其变为阶梯形矩阵A=（d],勺，…2”）T（0],02，…，0”）=B第三步：考察九维列向量组T={a，02，-，0,”}，iIi于行初等变换不变化矩阵列秩，向量组T={A,02,…,0”.}中极大无关组就相应S={?中极大无关组。注：只用行初等变换，仅求列向量中极大无关组。例1求出下列向量一种极大线性无关组。(1'TT19a、=2，=4,a.=3,J=21■3J9峠7□5J丿116丿<13>2例2求出下行向量一种极大线性无关组。©=(1,1,-2,7),a2=(-1,-2,2,-9),a3=(-1,1,-6,6),a4=(2,4,4,3),心5=(2,1,4,3),（四）线性方程组

1.掌握克莱姆法则。克莱姆法则：设具有"个未知数坷，心,…,耳n个方程构成"元线性方程组为：⑷內+山2吃+…⑷”兀=5a2ixA+a21X2+'ChnX2=方2<耳內+%勺+…％©=bnU\\ •…Cl\n如果线性方程组系数行列式D不等于零，即 工05 •…%则方程组(1.7)有且仅有唯一解：州=2,左=21,…，x”=2lD D D其中Dj(j=1,2,...,n)是把系数行列式D中第丿列元素用方程组右端常数代替后所得到阶行% 5肿…5a2J-l% 5肿…5a2J-l方2 心J+I…a2nmi例1用克拉默法则解线性方程组例1用克拉默法则解线性方程组佔+ _Xy—2a?4半常数项全为零时，方程组称为〃元齐次线性方程组。®內+心2+・5兀=°色內+“22巾+…如儿=°anlXl+an2X2+"annX„=°齐次线性方程组系数行列式D工0O齐次方程组只有零解o齐次线性方程组系数行列式£>=0O齐次方程组有非零解o+2x42.理解齐次线性方程组有非零解充分必要条件及非齐次线性方程组有解充分必要条件。

如内+如勺+・・•％&=b\设加个方程组“个未知数齐次线性方程组①内+如吃+"2人=b2卩“内+〜2七+…(仏兀=叽Cll\ a\2%“12…%A=^21。22…"2“〜A=^21«22…吆•••••••••••••••••••••••••••1“加1 "川2•…Clmn>9aml…amn/、［们X=勺b=b29九丿(1)齐次线性方程组R(A)="时=>齐次线性方程组AX=0只有唯一零解；R(A)<n时二>齐次线性方程组AX=0有无穷多组非零解。齐次线性方程组R(A)=/?(A)<=>AX=b有解。若/?(A)=/?(A)=n,则线性方程组AX=b有唯一一组解.若R(A)=/?(石v“，则次线性方程组AX=b有无穷多组解.当AX=b有无穷多解时，其普通解中自山未知量个数为n-r.若R(A)H/?U),则非齐次线性方程组AX=b无解理解齐次线性方程组基本解系.通解概念。(1)齐次线性方程组解向量anx{+a[2x2+-+alnxn=O设有齐次线性方程组<设有齐次线性方程组<«21XI+a22X2+'^+a2nXn=000则内+52七+…+5〃兀=°记人=MG%记人=MG%则上述方程组可耳成向量方程山=0・若M=^ll9x2=纟21，・・・，兀『=^|为方程Ax=O解，则“刍=站为方程山=0解向量，它也就是向量方程山=0解.(2)齐次线性方程组基本解系如果(1)〃1，〃2,…4是Av=0—组线性无关解，(2)Ax=0任意一种解都可以由…4线性表达；则称〃切2,…4为齐次方程组山=0基本系。齐次线性方程组基本解系拟定定理：设A是inxn矩阵，r(A)=r,则Ax=0基本系中解向量个数为："-「；山=0任意“7个线性无关解向量都是基本解系。Ax=0只冇零解Or(A)=/?<=>Ax=0没冇"展本解系：Ar=0有非零解Or(A)O心=0有无穷各种基本解系。加=0基本系：⑴必要是山=0解，(2)必要是线性无关向量组，(3)必要有〃"个向量。齐次线性方程组解构造如果｛巾，〃2,为齐次方程组心=0—种基本系，那么心=0通解可表达为：X=R］〃i+心〃2+—+/-"“，其中人人，…，«r是任意常数。理解非齐次线性方程组解构造及通解概念。(1)解向量概念

设有非齐次线性方程组®设有非齐次线性方程组®內+血2乃+…+弘耳=6

勺內+(i22x2+…+alnxn=by4內+勺”2乞+…+%兀=乞⑷2al\a22…勺”,X=/、尤2,b=(b、b2•…%)'饥)简写成向量方程Ax=b.称A为方程组Ax=b系数矩阵；x为〃维未知列向量；”为加维常数向量：A=(A,b)为方程组=b增广矩阵;满足A〃=b"维列I旬量"称为人丫=6解向量，简称为解。(2)非齐次线性方程组解构造非齐次线性方程组解性质性质1：设7，“2都是非齐次方程组Ax=b解，则77,-72是相应齐次方程组心=0解。性质2：设“是非齐次方程组Ax=b解，纟是相应相应齐次方程组Ax=0解，则§+〃必是非齐次方程组Ax=b解。非齐次线性方程组解构造设人是mxn矩阵，且r(A,b)=r(A)=r,〃•是非齐次方程组Ax=b~种解，告，冬…乩｝是相应齐次方程组Ax=O基本解系。则非齐次方程组Ax=b通解为：x=rf+空2+••+/—§”_『；其中k\,k“是任意常数。掌握用矩阵行初等变换求线性方程组通解办法。(1)齐次线性方程组通解求法用行初等变换将齐次方程组Av=O系数矩阵A化为阶梯开矩阵T写出矩阵丁相应齐次方程组〃=0得出齐次方程组解，指明自山未知量让自山未知量取成原则单位向量，得到基本解系各向量写出通解Xj+x2+x3-x4=0(\11—n+(-2)^Xj+x2+x3-x4=0(\11—n+(-2)^"111-1]21-230-1-25〔32-12)<0-1-45丿(T)八解：A=0101-201-10-120_1]50>0、01"十（“近 〉02“+x2-2x3+3x4=0例1求解线性方程组3x,+2x2-x3+2x4=0通解。、°4、-50丿=T简化后阶梯形矩阵T相应方程组为X]—尤3+4七=0

一x2一2x3+5x4=0州一节"，这里心，些为自由未知量。x2=-2x3+5x4取x3=\9些=0得坷=1, =—2取£=0，兀=1得X,=-4»x2=5；于是得到原方程组一种基本解系G=(l,—2,1,0)G=(l,—2,1,0)G=(-4,501)因而所给齐次方程通解为：©= 因而所给齐次方程通解为：©= 其中人,心为任意常数。（2）非齐次线性方程组通解求法求给出非齐次方程组Ax=b通解，用初等变换将增广矩阵（A,〃）化为行阶梯形矩阵（7\〃）,这样Ax=b与7k=d是同解方程组，于是Tx=d通解就是Ax=b通解了。求通解环节：用行初等变换将增广矩阵（A上）化为行阶梯形矩阵（「〃）写出矩阵（7\〃）相应非齐次方程组Tx=d、并得出其解。让自山未知量都取0得到方程组一特解〃・。写出相应齐次方程组7a