固体物理学习题解答

固体物理学》部分习题参考解答第一章1.1有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R和R代表面心立方和体心立方结构中fb最近邻原子间的距离，试问R/R等于多少？fb答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a：对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：Rf=对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R=b那么，Rf那么，RfV2aV6Rb\T3a=丁1.2晶面指数为(123)的晶面ABC是离原点0最近的晶面，OA、0B和0C分别与基失a「a?和a3重合，除0点外，OA，0B和0C上是否有格点？若ABC面的指数为(234)，情况又如何?答：根据题意，由于OA、0B和0C分别与基失ai，a2和a3重合，那么1.3二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示：1.4在六方晶系中，六面常用4个指数矩形kil)来表示，带心图所示，前3个行数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a】，a2,a3上的截距a/h,a2/k，&/i，第四个指数表示该晶面的六重热"=上的截距c/la证明0O1i=-(h+3k)l"b并将0下列用(h*l)表示的晶面改用(hkil)表示：(001)(133)(110)(323)(100)()(213)答：证明设晶面族(hkil)的晶面间距为d,晶面法线方向的单位矢量为n°。因为晶面族(hkil)中最靠近原点的晶面ABC在a、a、a轴上的截距分别为a/h,a/k，a/i,因此123123agto=hd1agto=kd(1)2agno=id3由于a=-(a+a)312agn°=-(a+a)gn°313把(1)式的关系代入，即得

id=-(hd+kd)i=-(h+k)根据上面的证明，可以转换晶面族为(001)—(0001),(133)-(1323),(110)一(1100),(323)一(3213),(100)-(1010),()一(0110),(213)-(2133)1.5如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为（1）简立兀运Tl近兀方：一（2）体心立方：（3）面心立方：（4）六方密堆积：（5）金刚石:6866<3tIT。答：令Z表示一个立方晶胞中的硬球数，Ni是位于晶胞的球数，Nf是在晶胞面上的球数，Ne是在晶胞棱上的球数，Nc是在晶胞角隅上的球数。于是有：Z=N+-N+-N+-Ni2f4e8c边长为a的立方晶胞中堆积比率为a3假设硬球的半径都为r，占据的最大面积与总体积之比为0,依据题意（1）对于简立方，晶胞中只含一个原子，简立方边长为2r,那么：4/3Tr3T(2r)362）对于体心立方，晶胞中有两个原子，其体对角线的长度为4r，则其边长为2）对于体心立方，晶胞中有两个原子，其体对角线的长度为4r，则其边长为r，那么：2*(4/3兀r3)x-'3t(4/吕)3（3）对于面心立方，晶胞中有四个原子，面对角线的长度为4r，则其边长为2迈r,那么:4*(4/4*(4/3Tr3)2t~6~（4）对于六方密堆积一个晶胞有两个原子，其坐标为（000）（1/3，2/3，1/2），在理想的密堆积情况下，密排六方结构中点阵常数与原子半径的关系为a=2r，因此

a2c25)对于金刚石结构4r3433兀Z=8a、；3=8r那么F=Z*—兀=8x—x兀()3=3a338161.6有一晶格，每个格点上有一个原子，基失(以nm为单位)a=3i,b=3j,c=1.5(i+j+k),此处i,j，k为笛卡儿坐标系中x,y，z方向的单位失量.问：这种晶格属于哪种布拉维格子？原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？答：(1)因为a=3i,b=3j，而c=1.5(i+j+k)=1/2(3i+3j+3k)=1/2(a+b+cz)式中c‘=3c。显然，a、b、c‘构成一个边长为3*lO-10m的立方晶胞，基矢c正处于此晶胞的体心上。因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子。(2)晶胞的体积二c'gaxb)=3k$3ix3j)=27*lO-3o(m3)原胞的体积二cgaxb)=—(3i+3j+3k)g[3i+3j)=13.5*lO-3o(m原胞的体积二cgax2c=ckc=ck1.7六方晶胞的基失为：b=—ai+/1.7六方晶胞的基失为：——求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区.答：根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得：正格子的体积Q=ab*c)=12兀正格子的体积Q=ab*c)=12兀(bxc)那么，倒格子的基矢为冒一^~2兀.2兀.=畐1+V72兀.2兀.TOC\o"1-5"\h\z丫2兀(axb)—nb==——k3Qc其第一布里渊区如图所示:1.8若基失a,b，c构成正交晶系，求证：晶面族(hkl)的面间距为dhkldhkl答：根据晶面指数的定义，平面族(hkl)中距原点最近平面在三个晶轴a1,a2,a3±的截距aaa分别为亍,—,3。该平面(ABC)法线方向的单位矢量是hkldhdkdln=x+y+zaaa123hklhklh2+k2+12hklhklh2+k2+12这里d是原点到平面ABC的垂直距离，即面间距。由|n|=l得到dhdkdl（）2+（）2+（—）2二1aaa123故d—[()2+()2+(—)2]2aaa123序号12345e/(°)19.61128.13635.15641.15647.7691.9用波长为0.15405nm的X射线投射到钽的粉末上，得到前面几条衍射谱线的布拉格角0如下已知钽为体心立方结构，试求：（1）各谱线对应的衍射晶面族的面指数；（2）上述各晶面族的面间距；（3）利用上两项结果计算晶格常数.答：对于体心立方结构，衍射光束的相对强度由下式决定IsFI=f2[1+cos兀n(h+k+/)]2+f2sin2兀n(h+k+/)hkl考虑一级衍射，n=1。显然，当衍射面指数之和（h+k+l）为奇数时，衍射条纹消失。只有当（h+k+l）为偶数时，才能产生相长干涉。因此，题给的谱线应依次对应于晶面（110）、（200）、211）、（220）和（310）的散射。由布喇格公式d1101.5405小==2.295x10-10(m)2sin02sin19.611o1同法得d200九/=1.6334x10-io(m)2sin02d211九=1.3377x10-1o(m)2sin03d220九/=1.1609xlO-io(m)2sin03d310九==1.0403x10-1o(m)2sin04应用立方晶系面间距公式d11可得晶格常数a=dh2+k2+12hkl把上面各晶面指数和它们对应的面间距数值代入，依次可得a的数值*10-110为3.2456，3.2668，3.2767，3.2835，3.2897取其平均值则得a=3.2725x10-io（m）1.10平面正三角形，相邻原子的间距为a,试给出此晶格的正格矢和倒格矢；画出第一和第二布里渊区.答：参看下图，晶体点阵初基矢量为a—ai1-丄ai+至aj22用正交关系式bga—2nd=<0，/十j♦•♦•/TT"••ijij2ni—j求出倒易点阵初基矢量b1,b2。设b—bi+bjb—bi+bj11x1y22x2y由bga—2nbga—0bga—0bga—2n11122122得到下面四个方程式aig(bi+bj)—2n(1)1x1y(ai+2aj)g(bi+bj)—01x1(ai+2aj)g(bi+bj)—01x1y2）aig(bi+bj)—02x2y(ai+2T妙叫xi+b2yj)—2"3)4)由（1）式可得：b—王1xa由（2）式可得：1y2n由（3）式可得：b—02x由⑷式可得：b2y卞于是得出倒易点阵基矢2兀.——i-a

第三章习题答案3.1试求由5个原子组成的一堆单原子晶格的格波频率，设原子质量m=8.35X10-27kg，恢复力常数B=15N•m-i第三章习题答案解：一维单原子链的解为X=Aei0-qna)n据周期边界条件X二X，此处N=5,代入上式即得TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1N+1e-i(5a)q=1所以5aq=2兀九(九为整数)\o"CurrentDocument"兀兀由于格波波矢取值围：-—<q<。aa故九可取一2,—1,4兀相应波矢：-厂,由于①=.qasm^—20，1，2这五个值2兀由于①=.qasm^—20，1，2这五个值2兀4兀5a5a则得到五个频率依次为(以rad/sec为单位)8.06X1013,4.99X1013,0,4.99X1013,8.06X10133.2求证由N个相同原子组成的一维单原子晶格格波的频率分布函数可以表示为p(®)=2N(®2-®2)-：式中®=(40/是格波的最髙频率，并求证它的振动模总数恰为兀mm\fmN1)2)解：对一维单原子链，dN=p(①)d®=p(q)dq=2p(q)dq所以p6)=2pC)如1)2)/dq由色散关系®=.qasm°—\m2求得d®'40qaa40aqa、ar,40、=cos•=(1—sm2)1/2=[()-®2]1/2TOC\o"1-5"\h\zdqm22m222m而p(q)==,则由(1)式可得2兀2兀p(®)=沁0[坐-®2]1/2=2N(®2-®2)-1/22兀/2m兀mN=wm0由于匸半=®mN=wm02N(®2-®)-1/2d®兀m23)3)令=sin0，则积分限为0到兀/2,故mN=J*还(cos0Lcos0d0=2N02=N0兀兀03.3设晶体由N个原子组成，试用德拜模型证明格波的频率分布函数为p(co)=9N①2&3m解：由书上(3—69)式可得pCo)=gd=■2*2v3由(3—71)可得①=w=I兀2n)/3vDm由此可得2冗2v3=w3:3n，代入(1)式得m()9NpW=W23m3.4对一堆双原子链，已知原子的质量m=8.35X10-27kg,另一种原子的质量M=4m，力常数B=15N・m-i,试求(1)光学波的最髙频率和最低频率Wo和Wo；maxmin2)声学波的最髙频率A；max(3)相应的声子能量(以eV为单位);(4)在300K可以激发频率为Wo，w。和WA的声子的数目;maxminmax5)如果用电磁波来激发长光学波振动，电磁波的波长大小。解：Mm4⑴一MZm解：Mm4⑴一MZm=5m;2p沁6.70x1013rad/sec沁1.07x10i3HzWo=min—a5.99x1013rad/sec沁0.95x1013Hzmomaxa='2^-3.00x1013rad/sec沁0.48x1013HzmaxM(2)r\Woa4.41x10-2eVmaxrmoina3.95x10-2eVrA=1.97x10-2eVmax1eAw/kT—1

n：Woa0.221，'max■n'Woa0.276n：Woa0.221，'maxl丿min'maxcc・2兀Womax(4)O光速c—Xv，.•.九—一—a2.8x10-5m—28Womaxv3.5设有一维晶体，其原子的质量均为m,而最近邻原子间的力常数交替地等于卩和10卩,最近邻的距离为a/2，试画出色散关系曲线，并给出q=0和q=±n/a处的W(q)o解：设标为奇数的原子和附近为偶数的原子所处的环境不同，参看图，p100P10卩xx2n-1xx2n-12nxx2n+12n+2fm級—10p(x—x)—p(x—x)2n+1TOC\o"1-5"\h\z原子的运动方程应是n=pQ2n+1x2n)p(2n2^12n+12n+22n+12n+12n即m鈕=p(10x+x一11x)2n2n+12n—12n—B2n+1+10x—11x2n)2n+—B2n+1+10x—11x2n)2n+1求格波解，令彳［Cn严—Wtx—AeL2

2nx2n+1Bi(2n+1^2-Wt]代入运动方程，可导出线性方程组为frup)A——w2A—丿B[L10eiqa/2+e-iqa/2~B—0mB—eiqa/2+10e—iqa/2mVmB令二—W2，从A,B有非零解的系数行列式等于零的条件可得m0C1W2—W2)—W4l(10eiqa/2+e-iqa/2)(giqa/2+10e—iqa/2)^=000可解出W2—W2(1±^20cosqa+101)色散关系见下图q—0时，cosqa—1，W=、.；22w，w—0+0一q=+—时，cosqa=一1,⑷=、20w,⑷=、；2切a+o-o?0!!?0!!g3.6.在一维双原子链中，如Mm>>1，求证Isinqa|\M2mcos2Isinqa|\M2mcos2qa)2M［证］由书中（3.22）式知，双一维原子链声学支ro2=_L(m+M》1—[1-4mMsin2qa"}1Mm(m+M)24mM0M>>4mM0M>>m，mMB(m+M)14mM={1-[1-sm2qa]1/2}mM2(m+M)2得roi2<<1由近似式G-xLu1-nx，(当x<<1)nx，坐sin坐sin2qam+Mu坐sin2qa,M.•.ro1sinqa|.•.ro1sinqa|对®；，由于M>>m，ro2ro2=B(m+M){1+[1-2mM4mM(.\]smqa加2}(M+m)2BM+m、4Mm4Mm、um{1+[(e)2一+cos2qa]1/2}丄{1+[()2+4mcos2qa]1/2}mM+mM

丄{1+1+丄也cos2qa}m2M〜坐{1+竺cos2qa}mM：1+mcos2qa：1+mcos2qa)2Mcos2qaM兀3.7在一维双原子晶格振动情况中，证明在布里渊区边界q=±处，声学支格波中所有2a轻原子m静止，而光学支格波中所有重原子M静止。画出这时原子振动的图象。A2Bcosqa兀小［证］由（3—18）第一式得右=，当q=±时cosqa=0且对声学B2B-m®22a1/2代入上式即得：_0，故A=0,轻原子静止再由（3—_0，故A=0,轻原子静止再由（3—18）第二式得彳_A2Bcosqa2卩-M®2时cosqa_01/2且对光学支，，代入上式即得故B=0,重原子静止B_0故B=0,重原子静止A2B-2p—M3.8设固体的熔点T对应原子的振幅等于原子间距a的10%的振动，推证，对于简单晶格,m接近熔点时原子的振动频率®_-接近熔点时原子的振动频率®_-1/2其中M是原子质量。［解］当质量为M的原子以频率®及等于原子间距a的10%的振幅振动时，其振动能为:2M®22M®2m1（a）2即一个一维原子的平均能量为kT，于是有2泌2（帀|_kBTm，由此得2(50kTa2(50kTavM)1/2丿3.9按德拜近似，试证明髙温时晶格热容Cv=3NkB[1-2oexx4dx证明：由书(3.73)式可知C=9Nk(T/T0)3J0DT在髙温时，T»0D，则在整个积分围x为小量，因此可将上式中被积函数化简为(exx\=(在髙温时，T»0D，则在整个积分围x为小量，因此可将上式中被积函数化简为(exx\=(心卜匕一12Vx/2一e-x/2丿(x4X4沁x22X3)2X+——24丿1+乂12(、-X2

=X21一一I12丿将上式代入C的表达式，得C=9Nkvv(T/T0)3BD一1一601T0)51一丄1一丄2丫20・•・E=丄叱•6兀2Nv33

016兀2v3V=9Nk(T/T0)3-(空|bd31T丿二3NkB3.10设晶格中每个振子的零点振动能为号，试用德拜模型求三维晶格的零点振动能解：由八9）式知，状态密度P（3）=g（3》=羡3则E=J3d8p(3)73=J3d—n3-3^—d3000022兀2v3=哑丄化33〃3=丄nV344兀2v3016兀2v3=丄nv3416兀2v3DV)1/3v9|=_v\N^D8D3.11在德拜近似的基础上，讨论由一个N个原子组成的二维晶格的比热，证明在低温下其比热正比于T2证明：此题可推广到任意维m,由于dN=gS>dq=Cdqm=C1qm—1dq=g心加3661661•••g6)=Ciqm-1/dP|-1<dq•••g6)=Ciqm-1/dP|-1<dq丿而德拜模型中p=vq,故g6)cqm-1C①m-1CcJkvBkjgVnpkB令巴=x,

kT则上式变为Tm-iTOCTmJxp在低温时rpx=DT8dkT则积分卩严十dx为一个于T无关的常数故CcTm对三维m=3CCT3vv对本题研究的二维m=2CcT2v对一维m=lCcTve2b3.12设某离子晶体中相邻两离子的相互作用势为U「）=-+,b为待定常数，平rra衡间距ro=3xI。-10m，求线膨胀系数。解：由书上（3.114）式知，线膨胀系数gkB

解：由书上（3.114）式知，线膨胀系数gkB

f2r0'd2U1,g=——'d3U'dr21，g3!idr3丿ar0其中：f=2•r0由平衡条件Idr由平衡条件Idr丿r09bb=0r1004e22e24e22e290b0f=-+—2r32r11r30001(6e2990b)r40ri2丿0=52e23r40由于r=3x10-8m,e=4.806x10-ioCGSE0kkB=1.381x10-16erg/KkkB=1.381x10-16erg/K.•.a=13r0kBa1.46x10-5/K16e23.13已知三维晶体在q=0附近一支光学波的色散关系为3.133（q）=3—CAq2+Bq2+Cq2），试求格波的频谱密度pO0xyz解：冋3—3=Aq2+Bq2+Cq20xyz-C-=13—3―0-C-=13—3―0C则3—3+3—3+―00—\o"CurrentDocument"AB4这是q空间的一个椭球面，其体积为-兀abc，而3—3—31/2—0B3—31/2—0Cq空间的状态密度q空间的状态密度p（q）=（丄=話，故椭球的总状态数N为3J3JABC丿1/23—313/20故p（3故p（3）=d3=d34兀2JABC丿1/23—3|l/2=0V3—31/204兀2ABC第四章4.1晶体中空位和间隙原子的浓度是否相同？为什么？答：晶体中空位和间隙原子的浓度是相同的。在离子晶体中，由于电中性的要求，所以晶体中的空位和间隙原子一般都是成对出现，所以它们的浓度是相同的。4.2试从能量角度说明滑移方向必定是密排方向.试问当温度为300K时在金里肖特基缺陷数与格点数那么由公式4.3试问当温度为300K时在金里肖特基缺陷数与格点数那么由公式之比是多少？答：设肖特基缺陷数为n,格点数为N。nNnN二ekB-Eu可得n—0.67x1.6x10—19=ei.38xio-23x3oo=5.682*10-12N4.4某间隙原子在晶格的间隙位置间跳跃。该间隙原子在晶格中振动的频率为2*10】5s-1,如该间隙原子在跳跃过程中需要克服的势垒髙度为O.leV,求该原子在Is跳跃的次数。答：由公式-E-—av二vekBTo可得———0.1eV——v=vei.38xio-23x3oo=2*1015*0.02=4*1013o4.5在离子晶体中，由于电中性的要求，肖特基缺陷多成对地产生，令n代表正、负离子空位的对数，W是产生一对缺陷所需要的能量，N是原有的正、负离子对的数目。试证明：n/N=Bexp(-W/2kT)；B试求有肖特基缺陷后体积的变化△V/V，其中V为原有的体积。答：(1)设n对肖特基缺陷是从晶体部移去n个正离子和n个负离子而形成的。从N个正离子中形成n个正离子空位的可能方式数为N!N!W=1(N—n)!n!同时，从N个负离子中形成n个负离子空位的可能方式数也是N!N!W=2(N—n)!n!于是，在整个晶体中形成n对正、负离子空位的可能方式数N!N!W=吧广[(n—n)!n!]2由此而引起晶体熵的增量为N!AS=kInW=2kInBB(N-n)!n!设形成一对正、负离子空位需要能量N!AS=kInW=2kInBB(N-n)!n!设形成一对正、负离子空位需要能量w,若不考虑缺陷出现对原子振动状态的影响，则晶体自由能的改变N!AF=AU-TAS=nw-2kTinB(N-n)!n!1）dAF热平衡时，（）=o，并应用斯特令公式InN!=NInN—n，从（1）式得dnTdAFdN-n()=w-2kT[NInN-(N-n)In(N-n)-ninn]=w-2kT[In(N-n)-Inn]=w-2kTin=0dnTBdnBBndntBdnn-w口=e2养因为实际上Nn,于是得n，n/N=Bexp（-W/2kT）2）对离子晶体的肖特基缺陷来说，每产生一对缺陷同时便产生了两个新的结点，使体积增加。当产生n对正、负离子空位时，所增加的体积应该是AV=2na3式中a为离子最近邻距离。因为V=2Na3为晶体原有的体积，有上式可得AV2na3nV2Na3N4.6已知扩散系数与温度之间的关系为：D=De-ea/kBTo下列数据是锌在铜晶体中扩散的实验结果：T/K8781007117612531322D/m2•s-11.6*10-204.0*10-181.1*10-184.0*10-171.0*10-16试确定常数Do和扩散激活能EA.A答：由公式D=De-EA/kBT，可得o当T=878,D=1.6*10-20时,D=014.7铜和硅的空位形成能Eu分别是0.3eV和2.8eV。试求T=1000K时，铜和硅的空位浓度。答：由公式n_皿N=ekBBn-可得：对于铜—=e8.6x10-5X1000=0.03可得：Nn28对于硅—=e8.6xio-5xiooo=7.247x10-15N

4.8碘化钾在不同温度下的钾蒸汽中增色，通过测试F带的光吸收就可得F心的形成能EB。当温度从5701上升到6201时，吸收常数增加了3.9%左右。假设光吸收的增加是由F心的数目增加引起的，试计算F心形成能E。B答：4.9考虑一体心立方晶格：（1）试画出（110）面上原子的分布图；（2）设有一沿［111］方向滑移、位错线和［110］平行的刃位错。试画出在（110）面上原子的投影图。答：如图所示：4.10求体心立方、面心立方、六方密堆积等晶体结构的最小滑移矢量的长度。答：滑移面往往是那些原子面密度较大的晶面，滑移向也总是原子密度较大的晶向（即沿该方向的周期最小）。（1）体心立方：滑移面为（110）面，滑移向为［111］，最小滑移矢量b即［111］晶向上一个格点间距的长度。设晶格常数为a,则Ib1=a2（2）面心立方：滑移面为（111）,滑移向为［101］。最小滑移矢量b等于［101］方向上相邻格点间的距离，即IbI=a2（3）六角密堆：滑移面是基面（0001）,滑移向是［2110］。［2110］晶向上原子间距为a,因此，IbI=a4.11在FCC晶格中存在一个位错，其位错线的方向用晶向指数表示为［11°］,该位错滑移的方1-向和大小用伯格斯矢量表示为b=2［110］°试确定该滑移面的晶面指数，并问该位错是刃位错还是螺位错。第六章6.】一维周期场中电子的波函数屮卜）应满足布洛赫定理，若晶格常数为a，电子的波函数为⑴屮k（X）=.兀sm—xamama2mama2(2)屮(x)——icos3!xka（3）屮（x）二无f（x—Xa）f是某个确定的函数）ki——一g试求电子在这些状态的波矢解：布洛赫函数为屮（x+a）——（x）kk1111)一(x+a)——sin(—x+兀)——一sin—xaaa110sm—(x+a)——eikasm—xaa兀eika=—1，ka=±兀，k=±一a⑵icos%+⑵icos%+a)=icosaf31x+3』Ia丿.3兀=一cosxa兀同理，/.eika=—1，ka=±兀，k=±—a九=一8(3)艺f(x—Xa+a)——艺fCx—(X—1)a1X———g九=一8X'=—8X=—g、、2neika——1，ka——0或2兀，k——0或—a6.2已知一维晶格中电子的能带可写成E6.2已知一维晶格中电子的能带可写成E（k）——叩f71)——coska+—cos2ka

ma2188丿，式中a是晶格常数，m是晶格常数，m是电子的质量，求（1）能带的宽度，（2）电子的平均速度,（3）在带顶和带底的电子的有效质量2耳2dE(k)TOC\o"1-5"\h\z解：能带宽度为AE——E一E，由极值条件——0,得maxmindksinka一—sin2ka——sinka一—sinkacoska——0\o"CurrentDocument"42上式的唯一解是sinka=0的解，此式在第一布里渊区的解为k=0或—a当k=0时，E（k）取极小值E.,且有Eminmin当k——时，E（k）取极大值E，且有Eamaxmax=2=2兀3=2=2兀3由以上的可得能带宽度为Ae=Emax-Emin2叩ma2（2）电子的平均速度为v=丄°字ndkma(1、sinka-—sin2kaI43）带顶和带底电子的有效质量分别为m*n2=叫coska-icos2ka、2=一―m3h2(1A-im*==mcoska-—cos2kak=0d2Edk212Jdk20k=0k=±伉ak=±ak=±壬a=2m6.3一维周期势场为V(x)=~mW2b2-(x-naJ0当na-b<x<na+b当(n-1)a+b<x<na-b其中a=4b,W为常数，求此晶体第一及第二禁带宽度解：据自由电子近似得知禁带宽度的表示式为E=2VI，gn其中Vn是周期势场V（x）傅立叶级数的系数，该系数为:V=丄『V(x2一ianxdxna-a/2求得，第一禁带宽度为Eg1=2V.I=21fV(x1-曽xdxa-a/24肿b2-x21一,九丄fbmW2b2-x24b-b2os匚x]dx12b丿8mW2b2第二禁带宽度为22I22IEg1=2V1=21-lx'adxa-a/2os^x]dx

os^x]dx

Ib丿E(k)=E-J00(glka+e—ika丄fbmW2b2-x24b-b2mW2b2兀26.4用紧束缚近似计算最近邻近似下一维晶格s态电子能带，画出E(k),m*(k)与波矢的关系，证明只有在原点和布里渊区边界附近，有效质量才和波矢无关。解：根据紧束缚近似，E()=E—J—J丫elka001Rs对一维，最近邻R=±as=E—J—Jcoska

001E(k)为余弦函数(图省)有效质量m*=”E=―厂)d2EVJa2coska丿idk2m*(k)的图也省在原点附近，ka很小，coskaq1:.m*沁a:.m*沁1兀在布里渊区边界，k=±，ka=±兀，coskaq—1a2Ja2丿=^-12Ja216.5某晶体电子的等能面是椭球面，坐标轴1，2，3互相垂直。「k2k，坐标轴1，2，3互相垂直。mmm丿123求能态密度。zzzz解：由已知条件可将波矢空间电子能带满足的方程化为TOC\o"1-5"\h\zk2k2k22mE+2mE+2mE123—叩叩叩将上式与椭球公式一+「+=1a2b2c2比较可知，在波矢空间电子的等能面是一椭球面，与椭球的体积43兀abc比较可得到，能量为E的等能面围成的椭球体积42—兀一'：2mmmE3/2'123dTdTE1/2dE能量区间ET（E+dE）电子的状态数目VdzVdz二2&c)dTc2mmmE1/2dE兀2^3123V是晶体体积，电子的能态密度cN(E)==-Ve2mmmE1/2dE兀2叩'123Pcosakz6.6已知能带为：ECk)=—a(osak+cosakPcosakz其中a>0，p>0，a为晶格常数，试求（1）能带宽度兀（2）电子在波矢亍（1,1,1）状态下的速度2a（3）能带底附近电子的能态密度TOC\o"1-5"\h\zQE.解：（1）=aasinak=0，/.ka=n兀dkxxxQE.=aasinak=0，/.ka=n兀QkyyyQE=aasinak=0，ka=n兀Qkzz兀兀2兀兀2可看出，n为偶数时E为极小值，n为奇数时为极大值E=-aL1+C1)]-P-(-I)=2a+P顶E=-al+1]-P-1=-2a-P底故，能带宽度A故，能带宽度AE二E-E=4a+2p底(2)v=vi+vj(2)v=vi+vj+vk其中v=x1dE1.7=—aasinaknx1亜=1aasinaknyndky1dE1r=—apsinaknz兀在k=—(1,1,1)时2a=vy1=—apnv=—laaG+j)+apk]n(3)能带底n为偶数,可取为零，故(3)能带底n为偶数,可取为零，故kaxka均很小z据cosx沁1-—2(x<<1)有有E(k)=—a|I1——k2a2I+11——k2a2=-2a-p+丁=-2a-p+丁+aa2k2aa2k2pa2k2r+z22k2+2+k2aa2aa2aa2pa2用和6.5用和6.5题相同的方法，其中—E—EtE+2a+p，mn21pa2则：p(则：p(E)=叵古j2a+p)1/26.7用紧束缚模型求最近邻近似的s态电子能带公式，写出二维正三角形网络的能带，计算电子的速度及有效质量量。6个最近邻的坐标为6.7用紧束缚模型求最近邻近似的s态电子能带公式，写出二维正三角形网络的能带，计算电子的速度及有效质量量。6个最近邻的坐标为(a,0),(-a,0),faJ3]—,—a22l丿，12'~2代入上式并化简得：E(k)=E(k)=E—J00Jcoska+2cos1fxka37xcoska22y电子速度：v二vi+vj，其中xy16E16Ev=xqQkxfsinka+sinka37xcoska22y1QE1QEv=yqQky2J3Jafcoska37xsinka22y由于1Q2E叩QkQkxyijxxa2J1q22coska+由于1Q2E叩QkQkxyijxxa2J1q22coska+ka\；37

cos^^coska22yyy3a2Jq2ka<37cosrcoska22yxy—、：3a2Jq2.ka.x：37

sinlsinka22y6.8用紧束缚近似计算面心立方晶格最近邻近似下s态电子能带(1)证明在k=0附近，能带的等能面是球形的，导出有效质量。(2)画出［100］与［111］方向的E(k)曲线。(3)画出k-k平面能量的等值线。xy解：(1)QE(k)=E—J—J工e洗gRs001Rs面心立方最近邻有十二个原子，其Rs位置在ijk+a-2+a_20+a-20+a-20+a_2+a-2将这些R代入上式并简化可得:kakakakakaxkakakakakaxCOS—y+COS—ycosr+cosrcos22222E()=E-J-4Jcos0=0附近，k,xkykz则得故E(k)=E01(ka)21(ka)21(ka)21(ka)21—-—x—1—-+1—-1—-z212丿212丿212丿2I2丿+1—2—x—I2丿1(ka¥1(ka¥均很小，利用COSx祖1—琴，(X〈〈l,—J—4J01(2+k2+k2)xyz,(I(I162E8J(a\2由于广1=切*广1=ii叩6k2in22Ja1其余m*=0ij2)在［100］方向，k=k=0，则yzE(k)=E—J—4J—8Jcoskxa00112即可按此函数作图(图省)在［111］方向，k=k=k=kxyz・•・E(k)=E—J—3x4Jcos2—=E—J—12Jcos2—00120012可据上函数作图(图省)4)在k—k平面，k=0xyz81ii81ii81ii81iiE—J—4J(cos匕cos1E—J—4J(cos匕cos1ka十cos空十cos1ka22y22x丿/.E(k)=001等值线即E(k)=C(C为常数)6.9对体心立方晶格，用紧束缚法近似计算最近邻近似下s态电子能带，证明在带底和带顶附近等能面近似为球形，写出电子的有效质量。解：s态电子能带可表示为E(k)=E—J—J工eikr01Rs+a+a+a

土一，土一，土一222对体心立方，最近邻原子为8个，其Rs为:E()=E—J—J[el0+ei2"x+ky-k)严(一k+k)iaCk+k+k)

十e2xyz十e2xyz01)+e：化简后即得：(J—8Jcos故E()(J—8Jcos故E()=E—001ka1717)—cos—kacos—kay2z丿22由于-1<cosxJ1，可看出学”时,ka〜Cos~i=—12E(k)为极大值，即Emax=8J1kaCOST=kaCOST=1

2在带底附近，由于kT0，ix2用cosx沁1——，则W=0，o即k.=o时，2iE(k)为极小值，即E=—8Jmin1故带宽AE=E—E=16Jmaxmin1(ka¥i1(ka¥i-2(ka¥I2丿a2E(k)=E—J—8J001J一8J1一一(k2+k2+k2)yz这显然是一个球形有效质量(m=所以m*h22所以m*h22Ja21ka在带顶附近，可写为于一人i，Ai很小则coskia=cos(兀一Ai)=一cosAi沁这显然也是个球形而(m*)-1而(m*)-1=(m*)-1=ii叩ak2x8J1ak2xh2m*2Ja216.10金属铋的导带底部有效质量倒数量为C*)1=aC*)1=axx0ayyayzayzazz求有效质量量的各分量，并确定此能带底部附近等能面的性质解：C*)1的逆矩阵即为m*矩阵，用矩阵计算方法，可求得m*=

xxaxxm*yyam*=

xxaxxm*yya-a2yyzzyzm*=zz■yya-a2yyzzyzm*=m*=yzzy■yza-a2yyzzyz其余为0为确定等能面，在作为k矢量原点的能带底部附近泰勒展开(有用的仅二阶项),aE1a2E()并假定能带底E=0,在能带底一阶导数为0,即=0，且=%*丿-1=aak叩akakjjiij故有E(k)=—h2(a2k2+ak2故有E(k)=—h2(a2xxxxyyyyzzzyzyz显然等能面E(k)=c是一个椭球面固体物理第七章答案7.3（1）先决定导带底及价带顶的极值位置dE(K)2h2k2h2(k-k)2++=03mcdkdE(k)_6h2k_v=—=0

dkm导带极小值的能量h2k2h2E(k)=l+(k-k)2cc3mmc1h2k2a=4m4m(a丿价带极大值的能量E==v6m6m(a丿禁带宽度Eg为oE=E(E=E(k)-E(k)=gccvv4m(a丿6m(a丿12m(a丿2）导带底电子有效质量m*=cm*=c-1「22］=———+——_3mm_3=—m81d2E(k)ch2dk2价带顶电子有效质量m*=m*=c1d2E(k)h2dk2-13)Ap=hk一hkcvh2k2E=2m*h7.4重空穴能量比轻空穴小

7.57.5=e(npPe=2.51x10-19m-=2.51x10-19m-3pe(p+p)0.47xl.6xlO-19x(0.36+0.17)en7.6(1)利用类氢模型，InSb中施主杂质的电离能为e4mE=——严=6.28x10-4eVd2s2h2(2)施主杂质的玻尔半径8h2h2ma==(—)8=6.36x10-8cmdme2me2mee(3)锑化铟为fee结构，晶体的总体积V=Na3=2.72x10-22Ncm34兀一个施主杂质所波及的体积为a3=10.77x10-10cm3d因此，杂质之间不发生重迭的临界杂质数为：V——=2.526x10-7N4兀a33d每个原胞中含有4个原子，所以使杂质间不发生重迭的最小杂质浓度为2.526x2.526x10-7N4N=6.32x10-6at.%7.7运动方程m—+—V=-e(E+VxB)Vdte丿B平行于Z轴，载流子是电子时，=—e(E+BV)x

eVye=—e(E+BV)ye稳态时，时间导数为0，eTeT2E—OTV—BV

mxeceyemyeet=—E+cotV

myecexe叟Emze其中，o其中，o=eB/m，称为回旋频率,c解得V

xeVVye1+(OT)2ce1eTeT—eE+emxmee(®t)Eyce1+(ot)2eete(OT)E+meeEycexmej=—(—e)nVxexej=—(—e)nVxexeeeE—―e—ec_eE1+(OT)2x1+(OT)2ycece=Q)E—Q)E11ex12eyj=—(—e)nVye其中ye=Q)E—Q)E11ey12exQ11L同理，np(ot)eece'v1+(OT)2ce…、‘Q)1+(OT)212ece当载流子是空穴时：TOC\o"1-5"\h\zj=Q)E—Q)Exh11hx12hyj=Q)E+Q)Eyh11hy12hx总电流j=(Q)+Q))E-(Q)+Q))Ex11e11hx12e12hyj=(Q)+Q))E—(Q)+Q))Ey11e11hy12e12hx2222令j=o求得：E11e11(hE代入j表达式，并由霍耳系数定义式得:yx(Q)+(Q)yx12e1