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2007年硕士学位研究生入学统一考试试题量子力学A卷、在一维无限深方势阱(OVxVa)中运动的粒子受到微扰6

一叫0<6

一叫0<x<a/3^ 2a/3<x<a作用。试求基态能量的一级修正。二、粒子在势场V(x)中运动并处于束缚定态/(x)中。试证明粒子所受势场n作用力的平均值为零。考虑自旋为孑的系统。试在表象中求算符E7.的本征值及归一化的本征态。其中'3是角动量算符，而A,B为实常数。假定此系统处于以上算符的一个本征态上，求测量)得到结果为2的概率。四、两个无相互作用的粒子(质量均为m)置于一维无限深方势阱(OVxVa)中。对下列两种情况写出：两粒子体系可具有的两个最低总能量值，相应的简并度以及上述能级对应的所有二粒子波函数。两个自旋为2的可区分粒子；1两个自旋为2的全同粒子。五、一个质量为m的粒子被限制在r二a和r=b的两个不可穿透的同心球面之间运动。不存在其它势，求粒子的基杰能量和归一化波函数。2007年量子力学A卷参考答案一、解：能级 ，n=1,2,3…。相应的能量本征函数为IQ因此基态能量的一级修正为(0<xIQ因此基态能量的一级修正为(0<x<«)、解：粒子所受势场作用的力算符尸为二、解：a）设，则在11■表象中有A—r二、解：a）设，则在11■表象中有A—r有乂=士Ja'+月」设本征值为；设lb丿为归一化的本征态，a+b=l,22则由本征方程◎I诅-S\bj(B-iAa解得本征态为A2+個不订召』）2b）在表象中b）在表象中S的本征态为为2匝b故发现*2的概率「1（另一?1卡4护尸四、解：a）对于自旋》的二个可区分粒子，波函数不必对称化。其基态：总能量为2F，而波函数为1:囂跚有4重瓜鼬）為（也）|00瓜鼬）為（也）|00）I燼輛）曲（花）卩»叙切|00〉‘冲，吗怡（毛）|1»有8重简总能量为2E，1简并。第一激发态：总能量为E+E，其波函数为12并。b）自旋于的二个全同粒子，总波函数必须是反对称的。故基态:波函数为殴W旳比）|0可，非简并。第一激发态：总能量为E+E，波函数为12⑺妙％）+必（阳）如和】W。〉（X妙（观）-妙区城曲加Q四重简并。其中，—sin (0<_r<a) 科吻芳(X(x<Q.x>a)1°°〉代表二粒子自旋单态，11»Xa±i）代表自旋三重态。d2u十则u（r）满足约化径向方程'd2u十则u（r）满足约化径向方程''詈（―畑）-響u(r)=0其中V(r)=r<a7r>b

a<r<b*(厂)二&对于基态1=0,则方程变为。由边界条件可又由归'一化备-件a酚)*(厂)二&对于基态1=0,则方程变为。由边界条件可又由归'一化备-件a酚)匸其中以定解。其通解为u(r)二Asin(kr+§

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