例谈绝对值问题的求解方法

例谈绝对值问题的求解方法A在初中数学竞赛试题中常出现绝对值问题，这是初中生较难把握的一类问题，现介绍若干种常见的解题方法，供参考。一、定义法例1若方程荷同一1一1奶只有负数解，则实数a的取值范围是：。分析与解因为方程只有负数解，故=F，原方程可化为：+1L=-1997.••顷）即1997说明绝对值的意义有两点。其一，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零；其二，在数轴上表示一个点到原点的距离。利用绝对值的定义常可达到去掉绝对值符号的日的。、利用非负性例2方程H+l^-^+iho的图象是（）皿）三条直线：x=0^=0,^-^+1=0（B） 两条直线：工=0/-y+l=0（C） 一点和一条直线：（0,0）,工-^+1=。（D） 两个点：（0,1）,（一1,0）[■^7=0,分析与解由已知，根据非负数的性质，得Jr+1=。P=o? [y=0,即[",+1=0.或tx-.y+l=O.解之得：b=L或V=o-故原方程的图象为两个点（0,1）,（一1,0）。说明利用非负数的性质，可以将绝对值符号去掉，从而将问题转化为其它的问题来解决。三、公式法::二二…的值。.・.原式=片叫f 愚酮-阶=即时（同-时）+独（同-时）=（同―时）（|响+曲）-（同-机）（-必+感）=0.说明本题根据公式/=kLk"时二1响，将原式化为含有国的式子，再根据绝对值的定义求值。四、分类讨论法|a-1TOC\o"1-5"\h\z例4实数a满足hl+^=0且心-1，那么 '分析与解由可得山三0且耳工一1。当a<-\时，耳T-a-\ ]+1|-（耳+1） .当-1<0时，岸-]-a-1 ]a+1|a+\说明有的题目中，含绝对值的代数式不能直接确定其符号，这就要求分情况对字母涉及的可能取值进行讨论。五、平方法例5设实数a、b满足不等式|同2+钏寸-^+圳，则八0且^>0*且55且罚罚且罚分析与解由于a、b满足题设的不等式，则有a-(a+刻2<a-+务『整理得|仙3+&))叩+&，由此可知心腿，从而a+&aa+&a上式仅当八腿+&>。时成立，：3—5，即^罚且,选B。说明运用此法是先对不等式进行平方去掉绝对值，然后求解。六、图示法例6在式子k+i|+k+2|+k+3|+k+4|中，由不同的x值代入，得到对应的值。在这些对应值中，最小的值是()(A)1 (B)2(C)3 (D)4分析与解问题可变化为：在数轴上有四点A、B、C、D，其对应的值分别是一1、一2,—3、-4,求一点P，使PA+PB+PC+PD最小(如图)。由于叫+扭是当P点在线段AD上取得最小值3,朋+冗是当P在线段BC上取得最小值1，故PA+PB+PG+FD的最小值是4。选D。说明由于借助图形，巧妙地把问题在图形中表示出来，形象直观，便于思考，从而达到快捷解题之日的。七、验证法例7 是一个含有4重绝对值符号的方程，则()(A)0、2、4全是根(B)0、2、4全不是根0、2、4不全是根0、2、4之外没有根分析与解从答案中给出的0、2、4容易验证都是方程的根，并且通过观察得知一2也是一根，因此可排除B、C、D，故选A。说明运用此法是从题干出发，取符合题意的某些特殊值或特殊图形，与选择支对照检验，从而判定各个选择支的正误。八、代数式零点法例8k+M+k-2|+|工-3|的最小值是。分析与解由工+1=。双-2=侦-3=0可确定零点为一1、2、3。当x<-1时，原式=-3x+4>3+4；当-l<x<2时，原式=-6x>-2+7=4；当2<x<3时，原式=x+2>2+2=4；当站3时，原式=3x-4>3x3-4=5.综上知所求最小值为4。说明运用此法解决含字母代数式绝对值化简方法是：（1）先求代数式零点，把数轴分为若干区间；（2）判定各区间内代数式的正负号；（3）依据绝对值的定义，去掉绝对值符号。九、数形结合法例9已知二次函数y=^+bx+c的图象如图所示，并设沮=k+h+d-k-8+«+|%+句-所7|，则（）（A）财）0 （B）M=0 （C）财司（D）不能确定m为正、负或为0分析与解令y=a??+bx+c中工=1，由图象得：&+A+*。；令工=-1得a-^+c>0...•顶点在第四象限，..・顶点的横坐标—慕"又仪—h）&，

:，即2^+i>o.故M=-(a+b+c)-(a-b+c)+2a+b-2a+b=-2(a-b+c)<0.选C。说明运用此法是将抽象思维和形象思维结合起来，达到以形助数，以数助形，可以使许多复杂问题获得简便的解决。十、组合计数法例10例10方程kl+M-3=0，共有几组不同整数解3溜）=（A）16 （B）14 （C）12 （D）10分析与解由已知条件可得工|+工|+[y二3./.x<3,3.当"垣时，^=0；当村±2时，,=±1；当工=±1时，^=±2；当工=0时，^=±3。共有12组不同整数解，故选C。说明此法具有较强的技巧性，必须认真分析条件，进行分类、归纳，从中找出解决问题的方法。十一、枚举法例11已知a为整数，|4/-12-初是质数，试确定a的所有可能值的和。分析与解设K"I2"27I是质数P，贝脂1A27仅有因子±1及土。4/—12—27=(2a+3)(2a-9).当2^+3=1时，^=-1，此时，山一5；当2^+3=-!时，，此时，2^(或)-9=-13；当2^-9=1时，隹=5，此时，2x5+3=13；(-5+(-2)+5+4=