苏XI友离散数学作业(章)

作业13·P173-7.1下列各组数中,哪些能构成无向图的度数列?哪些能构成无向简单图的度数列?(1)1,1,1,2,3.能构成无向简单图的度数列.例如,(2)3,3,3,3.可以构成无向简单图的度数列,例如,12/1/20191作业13(3)1,3,3,3.不能构成无向简单图的度数列.因为有一个悬挂点,则其余三个顶点度数不可能均为3,但可构成无向图的度数列,例如,12/1/20192作业1312/1/20193P173-7.5

下面各无向图中有几个顶点?(2)21条边,3个4度顶点,其余的都是3度顶点.解.设该图有n个顶点,则由握手定理3×4＋(n－3)×3=2×21,解得,n=13.故该图有13个顶点.P173-7.635条边,每个顶点的度数至少为3的图最多有几个顶点?解.设该图最多有n个顶点,由握手定理3n≤35×2,则

n≤[70/3]=23.故该图最多有23个顶点.作业13P173-7.13设G1,G2,G3均为4阶无向简单图,它们均有两条边,它们能彼此均非同构吗?为什么?解.G1,G2,G3彼此不能均非同构.因为4阶2条边的非同构无向简单图只有2个.事实上,因为图只有两条边,故总度数为4,且为无向简单图,因而每个顶点度数最多为2.将4分解为4个数的和且每个数

不超过2,得下面3组数:(0,0,2,2),

(0,1,1,2),

(1,1,1,1)而(0,0,2,2)不可能是一4阶2条边的无向简单图的度数列,因2个顶点为孤立点,则另两个顶点的度数最多为1,否则,会出现平行边或环.所以(4,2)图只有2个非同构的图,如上图.12/1/20194作业14补充1

(1)若无向图G中只有两个奇度顶点,则这两个奇度顶点一定是连通的.(2)若有向图D中只有两个奇度顶点,则它们一个可达另一个或相互可达吗?(1)证明.设G中的两个奇度顶点分别为u和v,若u和v不连通,即它们之间无任何通路,则G至少有两个连通分支

G1,G2,使得u和v分别属于G1和G2,于是G1和G2中各有1

个奇度顶点,这与握手定理的推论矛盾.因而u和v一定是连通的.(2)解.有向图D中只有两个奇度顶点u和v,则u与v不一定相互可达,也不一定一个可达另一个.如右图,顶点u和v的度数均为1,w的度数为2,但u不可达v,v也不可达u.12/1/20195作业1412/1/20196补充2

设G是n阶无向简单图,如果G中每一对顶

点的度数之和均大于等于n-1,那么G是连通图.证明.假设G不是连通图,则G至少有两个连通分支

G1,G2,设G1中有n1个顶点,G2中有n2个顶点,则n1+n2≤n.分别从G1和G2中任取一个顶点u,v,由于G是简单图,从而G1和G2也都是简单图,所以d(u)≤n1-1,d(v)≤n2-1,故d(u)+d(v)≤n1+n2-2≤n-2,与题设矛盾.作业14P174-7.18有向图D如下图所示.求D中长度为4的通路总数,并指出其中有多少条是回路?又有几条是v3到v4的通路?解.图D的邻接矩阵为则4由A得,∑∑aij=15,∑aii=3,a34=2,故D中长度为4的3

42条.通路有15条i=,1j其=1

中有3条i=回1

路,从v

到v

长度为4的通路有12/1/201974

4

4(4)(4)

(4)作业14P203-9.1设无向树T有3个3度顶点,2个2度顶点,其余顶点都是树叶,问T有几片树叶?解.设T有t片树叶,则T的总顶点数为3+2+t,总边数为

3+2+t-1=4+t,由握手定理,有2(4+t)=3×3+2×2+t,解得t=5,故T有5片树叶.P203-9.4已知n(n≥2)阶无向简单图G有n-1条边,G一定为树吗?解.不一定.如G为非连通图时就不是树.例如,在图G中,n=5,m=4,m=n-1,但G不是树.12/1/20198作业14P203-9.7在下图所示的无向图G中,实线边所示的子图为G的一棵生成树T,求G对应于T的基本回路系统和基本割集系统.解.对应于弦c的基本回路为:Cc=adcb,对应于弦e的基本回路为:Ce=ade,对应于弦g的基本回路为:Cg=agf,对应于弦h的基本回路为:Ch=afhb,所以对应于T的基本回路系统为:{adcb,ade,agf,afhb}.对应于树枝a的基本割集为:Sa={a,e,c,g,h},对应于树枝b的基本割集为:Sb={b,c,h},对应于树枝d的基本割集为:Sd={c,d,e},对应于树枝f的基本割集为:Sf={f,g,h},所以T的基本割集为:{{a,e,c,g,h},{b,c,h},{c,d,e},{12/1/20199作业14P203-9.8求下图所示两带权图的最小生成树,并计算它们的权.解.(a)的最小生成树为

T1,如下图.T1的权为:

W(T1)=1+2+3+1=7.(b)的最小生成树为

T2,如右图.T2的权为:

W(T2)=1+2+4+4=11.12/1/201910作业15P204-9.11下图给出的2元树表达一个算式.给出这个算式的表达式;给出算式的波兰符号法表达式;

(3)给出算式的逆波兰符号法表达式.解.(1)((a＋b×c)×d－e)÷(f＋g)＋h×i×j.(2)＋÷－×＋a×bcde＋fg××hij.(3)abc×＋d×e－fg＋÷hi×j×＋.12/1/201911作业15P204-9.13设7个字母在通信中出现的频率如下:a:35%,b:20%,c:15%,d:10%,e:10%,f:5%,g:5%.求传输这7个字母的最佳前缀码.解.以100乘各频率并由小到大排列为:w1=5,w2=5,w3=10,w4=10,w5=15,w6=20,w7=35.用huffman算法求带权为

w1,w2,w3,w4,w5,w6,w7的最优2元树如右图.最佳前缀码为:{01,11,001,100,101,0000,0001}.对应的码子传输的字母为:11传a,01传b,101传c,100传d,001传e,0001传f,0000传g.12/1/201912作业15P188-8.3完全二部图Kr,s中,边数m为多少?解.Kr,s中,边数m为:m=rs.P188-8.6画一个无向欧拉图,使它具有:(1)偶数个顶点,偶数条边;

(2)奇数个顶点,奇数条边;

(3)偶数个顶点,奇数条边;

(4)奇数个顶点,偶数条边.解.(1)

(2)

(3)(4)12/1/201913作业15P189-8.8画一个无向图,使它是:(1)既是欧拉图,又是哈密尔顿图;

(2)是欧拉图,而不是哈密尔顿图;

(3)是哈密尔顿图,而不是欧拉图;(4)既不是欧拉图,也不是哈密尔顿图.解.(1)

(2)

(3)

(4)12/1/201914作