教学测评第三章上

第三章推断统计

第一节抽样分布一、抽样分布

抽样分布是指某种样本统计量的概率分布，即把某种样本统计量看作一个随机变量，这个随机变量的全部可能值构成的新的总体所形成的分布即为某种统计量的抽样分布。平均数抽样分布有一个重要特性中心极限定理：任给一个平均数为μ。方差为S2的总体，当样本容量无限增大时，样本平均数的抽样分布趋于一个平均数为μ，方差为S2/n的正态分布（n为样本容量）二统计检验中常用的各种抽样分布1正态分布（Z分布）正态分布曲线标准正态分布曲线正态分布的应用：（1）已知Z值求面积例求以下各个区间的面积从Z=0到Z=1面积;从Z=-1到Z=1的面积.例某次升学考试，学生成绩假如呈正态分布，1000名考生数学平均分为60分，标准差为15分，问：①从理论上说在70至80分之间应当有多少人？②90分以上有多少人？（2）已知面积求Z值例已知某次测验分数呈正态分布，平均分为76分，标准差为6分，问在平均数上下多少分之间包括95%（或99%）的学生？估计录取分数线确定各等级人数不及格及格中良优图5-9确定等级人数示意图例某年级进行物理能力测试后，拟按物理能力将学生分成五个组。该次测验参加人数为300人，平均分为为60分，标准差为13.2分，问各组人数及原始分数区间都是怎样的？例某次招生考试，学生成绩符合正态分布，学生成绩的平均分为80分，标准差为10分，要择优录取25%的学生进入高一级学校学习，问最低分数线应是多少分？/p-427652438.html

例1243/49图6-2不同自由度下的t分布图2t分布

t分布也是一种抽样的概率分布，它是左右对称、高狭峰的分布，且分布形态随自由度n-1的变化而变化的一簇分布。自由度是指任何变量中可以自由变化的数目。t分布的特点⑴形状与正态分布曲线相似⑵t分布曲线随自由度不同而有一簇曲线⑶自由度一般为：⑷查t分布表时，要根据自由度、显著性水平，同时要注意是单侧还是双侧。3分布的一个操作性定义，其数学表达式是：式中f0为实得次数，fe为期待次数。

例如，从高中应届毕业生中抽取54人进行体检，健康状况属于良好的有15人，中等的有23人，差的有16人。问该校高中应届毕业生健康状况好、中、差的人数比率是否为1：2：1？

χ2分布曲线图8－4几种不同自由度的χ2分布曲线df=1df=3df=5df=10显而易见，χ2检验主要应用的是右侧概率。画在笔记本上！！4F分布设有两个正态分布的总体，从两个总体中分别随机抽取容量为n1和n2的两个独立样本，以此为基础，分别求出两个相应总体方差的估计值，这两个总体方差估计值的比率称为F比率，即F=

。F比率的抽样分布称为F分布。F比率有两个自由度.F分布曲线画在笔记本上！！或书Ｆ分布是随着分子和分母的自由度变化而变化的一簇单峰偏态分布。F分布是一种小样本分布，在实践中有广泛的用途。一般情况下，经常应用的是曲线右侧的概率值，所以Ｆ值表只列有右侧理论值（临界值）。在计算样本的Ｆ值时，要求将总体方差估计值较大的作为分子，较小的作为分母，使计算所得的Ｆ值落在1和大于1的范围内。

F=s²大/s²

小

第二节总体平均数的估计无偏性和有偏性样本平均数是总体平均数的无偏估计量样本标准差是总体标准差的有偏估计量

总体标准差的无偏估计量是总体平均数的估计有:点估计当已知时，用Z分布曲线.包含总体平均数的置信区间为：其中为总体标准差的无偏估计量，即

当n≥30时，用Z分布曲线。包含总体平均数的置信区间为：当未知时S为样本标准差总体平均数的估计有:区间估计当未知时当n<30时，用t分布曲线。包含总体平均数的置信区间为：字母意义同上例已知样本平均数=40.50,估计量S*=5.20,样本容量n=16，求与概率为0.95和0.99相联系的总体平均数的置信区间。第三节统计检验

一、统计检验的意义利用样本信息，根据一定概率，对关于总体参数或分布的某一假设作出拒绝或保留的决断，称为假设检验。我们可以知道在多少%的机会下会得到目前的结果。第三节统计检验

二、统计检验的一般原理1虚无假设与研究假设

先提出关于总体参数的取值或分布形态的假设。一般是提出两互相对立的假设。

虚无假设（又称零假设H0）零假设是样本所在总体与某个总体在某个参数值之间或在分布上没有差异的假设。

研究假设（又称备择假设H1）是与零假设相对立的假设，即存在差异的假设。在假设检验中，如何确定零假设和备择假设？

检验思路：反证法检验的目的是确定哪一个假设是应该保留的。其思路是：先假设零假设是正确的，然后以此为依据，进行统计推导。具体的推导方法是，以样本所在总体与相对总体无差异为条件，计算该样本某一统计量的概率值，然后依据该概率值的大小，来判断零假设的合理性，进而作出接受零假设、拒绝备择假设，或拒绝零假设、接受备择假设的判断。

2、显著性水平

依据判定标准，在假设检验中，面积值0.05成了判断假设取舍的依据，取名为显著性水平，用α表示。常用的显著性水平有两个：

α＝0.05和α＝0.01。

注意：0.05是判断是否存在差异的标准；0.01是判断差异程度的标准。显著性水平的值，也是进行统计推断时可能犯错误的概率。例．对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平0.05下接受，则在显著水平0.01下，下列结论中正确的是()（A）必接受H0(B）可能接受也可能拒绝H0

（C）必拒绝H0(D）不接受也不拒绝H0

3双尾检验与单尾检验在确定检验形式时，凡是检验是否与总体一致的假设检验，α被分散在概率分布曲线的两端，即采用双侧检验。双侧检验的假设形式为（以单总体平均数差异的显著性检验为例。下同）：

H0：μ＝μ0，H1：μ≠μ0凡是检验大于或小于某一特定条件的假设检验，α放在概率分布曲线的一端，即采用单侧检验。左侧检验：低于、小于假设形式为：H0：μ≥μ0，H1：μ＜μ0

右侧检验：高于、大于、进步假设形式为：H0：μ≤μ0，H1：μ＞μ0注：单侧检验的前提仍然是μ=μ0，因为检验的实际结果就是两个——存在差异和不存在差异4、假设检验中的两类错误及其控制对于总体参数的假设检验，有可能犯两种类型的错误，即α错误和β错误。表7－1假设检验中的两类错误H0为真H0为假拒绝H0α错误正确接受H0正确β错误为了将两种错误同时控制在相对最小的程度，研究者往往通过选择适当的显著性水平而对α错误进行控制，如α＝0.05、α＝0.01或更小。对β错误，则一方面使样本容量增大，另一方面采用合理的检验形式（即单侧检验或双侧检验）来使β误差得到控制。三、显著性检验的步骤1)建立虚无假设H0（即二者无显著性差异）2)确定检验统计量并计算其值3)确定显著性水平及相应的临界值4)作出判断四、假设检验的方法1两个平均数间差异的显著性检验

（1）单总体检验（2）双总体检验（1）单总体检验当已知时，用Z检验当n<30时，用t检验当n≥30时,用Z检验当未知时，当n<30时，用t检验当n≥30时,用Z检验当未知时，例某中学数学教师为了研究新的教学方法，选定中等水平的班级作为实验班，其余班作为对照班，两个月后，测验结果是全年级平均分为76分，标准差为14分，试验班平均成绩为82分，试验班学生为40人，试判断新的教学方法是否提高教学质量。例某区初三物理统一测验平均分为65分,该区某校20份试卷的分数为