数值分析 第一章绪论

数值计算方法第一章绪论应用问题举例1.湖水在夏天会出现分层现象，接近湖面温度较高，越往下温度变低，这种上热下冷的现象影响了水的对流和混合过程，使得下层水域缺氧，导致水生鱼类的死亡。如果把水温看成深度的函数T(x)，有某个湖的观测数据如下：深度（M）46674195014221634水温（oC）7.044.283.402.542.13

根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米，600米，1000米…）处的水温，也就是说我们可根据给定的数据能求出T(x)。2、铝制波纹瓦的长度问题

建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平整的铝板压制而成的.假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的高度(从中心线)为1英寸,且每个波纹以近似2π英寸为一个周期.求制做一块波纹瓦所需铝板的长度L.

这个问题就是要求由函数f(x)=sinx

给定的曲线从x=0到x=48英寸间的弧长L.由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用普通方法来计算.数值计算方法的意义、内容与方法软件的核心就是算法。20世纪最伟大的科学技术发明---计算机

计算机是对人脑的模拟，它强化了人的思维智能；算法犹如乐谱，软件犹如CD盘片，而硬件如同CD唱机。数值计算方法是计算数学的一个主要组成部分.“什么是数值计算方法？”数值计算方法又称计算方法或数值分析，是一门与计算机应用密切结合的实用性很强的数学课程，它专门研究各种数学问题的一类近似解法——数值方法，即从一组原始数据（如模型中的某些参数）出发，按照确定的运算规则进行有限步运算，最终获得数学问题数值形式的满足精度要求的近似解。数值计算方法课程主要讨论如何构造求数学模型近似解的算法，讨论算法的数学原理、误差和复杂性，配合程序设计进行计算试验并分析试验结果。

与纯数学的理论方法不同，用数值计算方法所求出的结果一般不是解的精确值或者准确的解析表达式，而是所求真解的某些近似值或近似曲线。数值计算方法的主要特点借助计算机提供切实可行的数学算法.想的精确度;收敛且稳定;误差可以分析或估计.所提出的算法必须具有：可靠的理论分析;理时间复杂性好__指节省时间；空间复杂性好__指节省存储量。计算复杂性好

通过数值实验证明算法行之有效.采用“近似替代”方法→逼近采用“构造性”方法采用“离散化”方法

把求连续变量的问题转化为求离散变量的问题采用“递推化”方法

复杂的计算归结为简单过程的多次重复，易于用循环结构来实现（迭代法）。采用各种搜索方法构造数值算法主要手段如何学好数值计算方法？1.认识建立算法和对每个算法进行理论分析是基本任务，主动适应“公式多”的特点；

2.注重各章建立算法的问题的提法，搞清问题的基本提法，逐步深入；

3.理解每个算法建立的数学背景，数学原理和基本线索，对最基本的算法要非常熟悉；

4.认真进行数值计算的训练，学习各章算法完全是为用于实际计算，必须真会算。威尔金森（JamesHardy.Wilkinson，1919-1986），Wilkinson是数值分析和数值计算的开拓者和奠基人。1940年，开始研究弹道的数学模型与数值计算。1946年成为Turing的助手，协助设计PilotACE计算机。1969年他当选为英国皇家学会院士；1970年工业和应用数学会(s1am)授予他冯·诺伊曼奖；1987年他获得美国数学会的chauvenet奖。著名的美国阿尔贡国家实验室曾聘威尔金森为荣誉高级研究员并两次向他授奖。

Wilkinson在数值分析研究领域作出了杰出贡献，是数值计算的早期开拓者，其工作加速了数字计算机(在科学计算中)的使用。他研究的主要问题是线性代数方程组和矩阵特征值问题的数值解法，特别是他的向后误差分析法(backwarderroranalysis)的创造性工作奠定了数值分析和数值计算早期的理论基础。

1975年J.H.Wilkinson成为第五位图灵奖获得者。教材及参考资料清华大学出版社《数值分析》

李庆扬王能超易大义编数值分析机械工业出版社

NumericalAnalysis

DavidKincaidWardCheney著浙江大学《数值分析》华中科技大学《数值分析》一、误差来源与分类在建立数学模型过程中,要将复杂的现象抽象归结为数学模型,往往要忽略一些次要因素的影响,而对问题作一些简化,因此和实际问题有一定的区别.—模型误差在建模和具体运算过程中所用的数据往往是通过观察和测量得到的,由于精度的限制,这些数据一般是近似的,即有观测误差求近似解——方法误差(截断误差）例如，当函数用Taylor多项式

近似代替时，数值方法的截断误差是在与0之间截断误差的大小直接影响计算结果的精度和计算工作量，是数值计算中必须考虑的一类误差.机器字长有限——

舍入误差

用计算机、计算器和笔算，都只能用有限位小数来代替无穷小数或用位数较少的小数来代替位数较多的有限小数，如：四舍五入后……在数值计算方法中，主要研究截断误差和舍入误差（包括初始数据的误差）对计算结果的影响！二、误差的概念1、绝对误差与绝对误差限例:若用以厘米为最小刻度的尺子去量桌子的长，大约为1.56米，求1.56米的绝对误差。1.56米的绝对误差=？不知道！定义：设是准确值，为

的一个近似值，称是近似值的绝对误差,简称为误差。

但实际问题往往可以估计出不超过某个正数，即则称为绝对误差限，有了绝对误差限就可以知道的范围为即落在内。在应用上，常常采用下列写法来刻划的精度。例1设x

=

=3.1415926…近似值x*=3.14,它的绝对误差是0.0015926…，有

例3而近似值x*

=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有

x-x*=0.0000926…

0.0001=0.110-3可见，绝对误差限不是唯一的，但越小越好‌‌

x-x*=0.0015926…0.002=0.210-2例2又近似值x*

=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有

x-x*=0.0000074…0.000008=0.810-5只用绝对误差还不能说明数的近似程度,例如甲打字每100个错一个,乙打字每1000个错一个,他们的误差都是错一个,但显然乙要准确些,这就启发我们除了要看绝对误差外,还必须顾及量的本身。2、相对误差与相对误差限定义：设是准确值，是近似值，是近似值的误差，通常取为近似值的相对误差，记作，称

一般情况下是不知道的，怎么办？事实上，当较小时是的二次方项级,故可忽略不计.相应地，若正数满足

则称为的相对误差限。例4.

甲打字每100个错一个，乙打字每1000个错一个，求其相对误差解：根椐定义:甲打字时的相对误差

乙打字时的相对误差3、有效数字定义：如果则说近似表示准确到小数后第位，并从这由上述定义第位起直到最左边的非零数字之间的一切数字都称为有效数字，并把有效数字的位数称为有效位数。定义:若近似值的误差限是某一位的半个单位,一般来说，有位有效数字。则称其中，是1到9中的一个数字；是0到9中一个数字；为整数，且该位到的左边第一位非零数字共有位,就说有位有效数字。解：3.141592…=0.3141592…×3.142=0.3142×

m=1|π-3.142|=|0.3141592…×-0.3142×

|＜0.000041×＜0.0005=×

m–n=1–n

=-3所以n=4，具有4位有效数字.例5.3.142作为π的近似值时有几位有效数字.

-3.141=0.3141592…101

-0.3141101

≤0.0000592101

<0.005=1/210-2

m=1,m-n=1-n=-2,

所以n=3具有3位有效数字.例6.当取3.141作为的近似值时再如3.1416作为

的近似值时

-3.1416=0.3141592…101-0.31416101

≤0.00000074101

＝0.0000074<0.00005<0.510-4

m-n=1-n=-4,所以n=5。因此，x*=

3.1416有5位有效数字。关于有效数字说明：①用四舍五入取准确值的前n位x*作为近似值,则x*必有n位有效数字。如3.142作为的近似值有4位有效数字，而3.141有3位有效数字.②有效数字相同的两个近似数，绝对误差不一定相同。例如，设x1*=12345,设x2*=12.345,两者均有5位有效数字但绝对误差不一样

x-x1*=x-12345≤0.5=1/2100

x-x2*=x-12.345≤0.0005=1/210-3③把任何数乘以10p(p=0,1,…)不影响有效位数.4、误差限与有效数字的关系定理1：

对于用式表示的近似数，若具有位有效数字，则其相对误差为:证:∵x*

=0.a1a2…an10m

∴

x*

≥a110m-1

又∵x*具有n位有效数字,则

x-x*

≤1/210m-n一般应用中可以取

r*=1/2a110-(n-1),n越大,

r*越小∴有效数字越多，相对误差就越小.例7:取3.14作为的四舍五入的近似值时，求其相对误差限。解：3.14=0.314101a1=3m=1∵四舍五入的近似值,其各位都是有效数字∴n=3

r*=1/2a110-(n-1)=1/2*310-2=0.17%定理2:若近似数x*=0.x1x2…xn10m相对误差

则该近似数具有n位有效数字.证:∵x*=0.x1x2…xn10m

∴

x*≤(x1+1)10m-1由有效数字定义可知,x*具有n位有效数字。证毕