第五讲函数的单调性、奇偶性、周期性讲义解析版

第五讲：函数的单调性、奇偶性、周期性【考点梳理】1．增函数与减函数一般地，设函数的定义域为：(1)如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数．(2)如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数．2．函数的最大值与最小值一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：(1)对于任意的，都有；存在，使得，那么，我们称是函数的最大值．(2)对于任意的，都有；存在，使得，那么我们称是函数的最小值．3．函数单调性的两个等价结论设则(1)(或在上单调递增。(2)(或⇔f(x)在上单调递减．4．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果函数的定义域内任意一个都有，那么函数是偶函数关于对称奇函数如果函数的定义域内任意一个都有，那么函数是奇函数关于原点对称5.奇偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内(ⅰ)两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数.(ⅱ)两个偶函数的和函数、积函数是偶函数.(ⅲ)一个奇函数与一个偶函数的积函数是奇函数.(3)若是奇函数且处有意义，则.6．函数的周期性(1)周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．(3)常见结论：若，则；若，则；若，则.【典型题型讲解】考点一：函数的单调性【典例例题】例1.若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有（

）A．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数C．函数f(x)先增后减 D．函数f(x)先减后增【答案】A【详解】由>0知f(a)-f(b)与a-b同号，即当a<b时，f(a)<f(b)，或当a>b时，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函数.故选：A.【方法技巧与总结】函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．【变式训练】1.已知函数，若，则实数的取值范围是___.【答案】解：和在上都是单调递减，在上单调递减，由，可得，解得，即．故答案为：2.已知函数的定义域为，且对任意两个不相等的实数，都有，则不等式的解集为（

）．A． B． C． D．【答案】B【详解】不妨设，因为，所以，故是上的增函数，原不等式等价于，解得．故选：B.3．（2022·广东惠州·一模）已知，则当时，与的大小关系是（

）A．B．C．D．不确定【答案】B【详解】解：由函数，得函数在上递增，在上递减，在上递增，作出函数和的图像，如图所示，令，得或，结合图像可知，当时，，则，当时，，则，当时，，则，综上所述，当时，.故选：B.4.“”是“函数是在上的单调函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】依题意，函数是在上的单调函数，由于在上递增，所以在上递增，所以且，即.所以“”是“函数是在上的单调函数”的必要不充分条件.故选：B5．已知函数若，，，且仅有1个零点，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为R，有，即，即与同号，所以在R上单调递增，即在上单调递增，则，故；因为在处的切线方程为，即，又，所以与没有公共点，若函数仅有一个零点，所以函数与图象仅有一个交点，则与有且仅有1个公共点，且为，所以在处的切线的斜率k大于等于1，而，得，即，解得，综上，的取值范围为.故选：C.6．若函数是上的单调函数，则的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为分段函数在上的单调函数，由于开口向上，故在上单调递增，故分段函数在在上的单调递增，所以要满足：，解得：故选：B考点二：判断函数的奇偶性【典例例题】例1.已知函数，则（

）A．是偶函数，且在是单调递增 B．是奇函数，且在是单调递增C．是偶函数，且在是单调递减 D．是奇函数，且在是单调递减【答案】B【详解】解：定义域为，且，所以为奇函数，又与在定义域上单调递增，所以在上单调递增；故选：B【方法技巧与总结】函数的奇偶性的判断：图像法、解析式法；常见函数的奇偶性。【变式训练】1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】是奇函数，但整个定义域内不是减函数，故A错误；在定义域（0，+∞）上是减函数，但不是奇函数，故B错误；在R上既是奇函数又是减函数，故C正确；在R上是奇函数但不是单调函数，故D错误.故选：C.2．（2022·广东·二模）存在函数使得对于都有，则函数可能为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为对于都有，且为偶函数，所以必为偶函数.对于A：为奇函数.故A错误；对于B：为非奇非偶函数.故B错误；对于C：对于.定义域为R.因为，所以为奇函数.故C错误；对于D：对于.定义域为R.因为，所以为偶函数.故D正确；故选：D3．（2022·广东湛江·一模）下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，所以函数为奇函数；因为，又，所以，故A正确；因为，故是非奇非偶函数，故B错误；函数满足为偶函数，故C错误；因为，故D错误，故选：A.4．（2022·广东广东·一模）下列四个函数中，以为周期且在上单调递增的偶函数有（

）A． B．C． D．【答案】．BD【详解】对于选项A，因为在上单调递减，所以上单调递减，故A错；对于选项B，结合的图象性质，易知是以为周期且在上单调递增的偶函数，故B正确；对于选项C，结合的图象性质，易知没有周期性，故C错；对于选项D，令，易知是以为周期且在上单调递增的偶函数，因也是单调递增的，所以是以为周期且在上单调递增的偶函数，故D正确.故选：BD.考点三：函数的奇偶性的应用【典例例题】例1．（2022·广东中山·高三期末）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数是偶函数 B．函数是奇函数C．函数在上为增函数 D．函数的值域为【答案】AD【详解】由题意，函数的定义域为关于原点对称，又由，所以函数是偶函数，所以A正确，B错误；由函数，可得，当时，，可得，所以在区间单调递减；当时，，可得，所以在区间单调递增，所以当时，函数取得最小值，最小值为，所以函数的值域为，所以C不正确，D正确.故选：AD.例2．（2022·广东汕尾·高三期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来研究函数图象的特征，函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】．A【详解】所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B，D；又，排除C，故选：A．【方法技巧与总结】函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性.【变式训练】1.（2021·广东汕头·高三期末）已知偶函数f(x)在区间上单调递减，若f(-1)=0，则满足f(m)>0的实数m的取值范围是______．【答案】．【详解】由题意，偶函数在上单调递增，，所以在上单调递减，，的实数的取值范围是．故答案为：2．（2022·广东·金山中学高三期末）已知函数，则________．【答案】．2【详解】令，则函数定义域为，关于原点对称，又，所以函数为奇函数，所以所以.故答案为：2.3．（2022·广东深圳·一模）已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，则_________．【答案】.-2【详解】由题设，，又，所以.故答案为：.4．（2022·广东韶关·一模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则【答案】.-1【详解】由函数是定义在上的奇函数得，，又当时，，所以，所以5．（2022·广东·一模）已知函数，，则图象如图的函数可能是(

)A． B． C． D．【答案】．D【详解】由图可知，该函数为奇函数，和为非奇非偶函数，故A、B不符；当x＞0时，单调递增，与图像不符，故C不符；为奇函数，当x→＋时，∵y＝的增长速度快于y＝lnx的增长速度，故＞0且单调递减，故图像应该在x轴上方且无限靠近x轴，与图像相符.故选：D.6．（2022·广东湛江·一模）下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是（

）A． B．C． D．【答案】．A【详解】因为，所以函数为奇函数；因为，又，所以，故A正确；因为，故是非奇非偶函数，故B错误；函数满足为偶函数，故C错误；因为，故D错误，故选：A.7．（2022·广东广州·一模）若函数的大致图象如图，则的解析式可能是(

) B． C． D．【答案】．D【详解】由图可知函数定义域为{x|x≠0}，由此排除A；该函数图像关于原点对称，则该函数为奇函数，需满足f(x)＋f(－x)＝0，对于B项：f(x)＋f(－x)≠0，故排除B；C和D均满足f(x)＋f(－x)＝0，对于C：，当x→＋∞时，→0，故，∵y＝增长的速率比y＝增长的速率慢，∴，即图像在x轴上方无限接近于x轴正半轴，与题意不符，故排除C.综上，D选项正确.故选：D.8．（2022·广东广东·一模）函数的部分图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】．C【详解】，所以是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，B.当且无限趋近于0时，趋近于，排除D，故选：C.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.考点四：函数的对称性和周期性【典例例题】例1．设函数的定义域为D，若对任意的，且，恒有，则称函数具有对称性，其中点为函数的对称中心，研究函数的对称中心，求（

）A．2022 B．4043 C．4044 D．8086【答案】C【详解】令函数，则，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可得的图象关于点中心对称，即当，可得，设，所以所以.故选：C.【方法技巧与总结】（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.【变式训练】1．（2022·广东珠海·高三期末）已知是定义域在上的奇函数，且满足．当时，，则（

）A． B． C．4 D．【答案】A【详解】解：由得，所以是周期为2的周期函数，且是定义域在上的奇函数，所以，所以，故选：A．2．已知定义在R上的函数满足，且是奇函数，则（

）A．是偶函数 B．的图象关于直线对称C．是奇函数 D．的图象关于点对称【答案】C【详解】由可得2是函数的周期，因为是奇函数，所以函数的图象关于点对称，所以，，所以是奇函数，故选：C.2．已知函数的定义域为R，且对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且，则（

）A．2021 B． C．2022 D．【答案】C【详解】因为函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称，即函数为奇函数；因为对任意，都有，令，得，又函数为奇函数，故，解得，则，即，所以4是函数的一个周期；所以.故选：C.3．已知定义在R上的偶函数满足，且当时，，则下面结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】，时，单调递增；，，单调递增；，，综上所述，.故选：A.4．已知函数满足对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为对任意，都有令得解得则即所以函数的图象关于直线对称.又函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称，即函数为奇函数，所以所以所以8是函数的一个周期，所以故选：D.5．已知函数是上的奇函数，且，且当时，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，因此函数的周期为，所以，又函数是上的奇函数，所以，所以，即，所以原式，又当时，，可得，因此原式.故选：B．6．已知是定义在R上的奇函数，若为偶函数且，则（

）A． B． C． D．6【答案】C【详解】解：因为是定义在R上的奇函数，又为偶函数，所以、且，则，即，所以，即是以为周期的周期函数，由，所以，，，所以；故选：C【巩固练习】一、单选题1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】是奇函数，但整个定义域内不是减函数，故A错误；在定义域（0，+∞）上是减函数，但不是奇函数，故B错误；在R上既是奇函数又是减函数，故C正确；在R上是奇函数但不是单调函数，故D错误.故选：C.2．已知函数，不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：因为，所以，所以在上单调递减，则等价于，解得，即原不等式的解集为.故选：B.3．已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于(

)A．0 B．10 C． D．【答案】C【详解】令，则，∴f(x)和g(x)在上单调性相同，∴设g(x)在上有最大值，有最小值.∵，∴，∴g(x)在上为奇函数，∴，∴，∴，.故选：C.4．已知函数的图象关于原点对称，且，当时，，则（

）A．-11 B．-8 C． D．【答案】A【详解】因为函数图象关于原点对称，所以，由知，函数是以4为周期的函数，又当时，，则.故选：A.二、多选题5．下面关于函数的性质，说法正确的是（

）A．的定义域为 B．的值域为C．在定义域上单调递减 D．点是图象的对称中心【答案】AD【详解】解：由向右平移个单位，再向上平移个单位得到，因为关于对称，所以关于对称，故D正确；函数的定义域为，值域为，故A正确，B错误；函数在和上单调递减，故C错误；故选：AD6．已知定义在R上的偶函数的图像是连续的，，在区间上是增函数，则下列结论正确的是（

）A．的一个周期为6 B．在区间上单调递减C．的图像关于直线对称 D．在区间上共有100个零点【答案】BC【详解】因为，取，得，故，又是偶函数，所以，所以，故，即的一个周期为12，故A项错误；又在区间上是增函数，所以在区间上为减函数，由周期性可知，在区间上单调递减，故B项正确；因为是偶函数，所以的图像关于y轴对称，由周期性可知的图像关于直线对称，故C项正确；因为在区间上是增函数，所以在区间上为减函数，，由周期性可知，在区间上，，而区间上有168个周期，故在区间上有336个零点，又，所以在区间上有337个零点，由为偶函数，可知在区间上有674个零点，故D项错误．故选：BC项．7．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数对任意都有，若函数的图象关于对称，且对任意的，且，都有，若，则下列结论正确的是（

）A．是偶函数 B．C．的图象关于点对称 D．【答案】ABCD【详解】对于选项A：由函数的图像关于对称，根据函数的图象变换，可得函数的图象关于对称，所以函数为偶函数，所以A正确；对于选项B：由函数对任意都有，可得，所以函数是周期为4的周期函数，因为，可得，则，所以B正确；又因为函数为偶函数，即，所以，可得，所以函数关于中心对称，所以C正确；由对任意的，且，都有，可得函数在区间上为单调递增函数，又因为函数为偶函数，故函数在区间上为单调递减函数，故，所以D正确.故选：ABCD8．已知函数，，，则（

）A．的图象关于对称B．的图象没有对称中心C．对任意的，的最大值与最小值之和为D．若，则实数的取值范围是【答案】ACD【详解】由题意知的定义域为，因为，所以的图象关于对称，故A